Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường THPT chuyên năm học 2014 – 2015 môn: Toán (chung)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN (chung) Thời gian làm bài: 120 phút. ( Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (1,5 điểm): 1) Tìm điều kiện xác định của biểu thức 2x  2) Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có độ dài cạnh huyền là 10cm. 3) Cho biểu thức 2 4 2P x x    . Tính giá trị của P khi 2x  . 4) Tìm tọa độ của điểm thuộc parbol y = 2x2 biết điểm đó có hoành độ x = 1. Bài 2: (1,5 điểm): Cho biểu thức 2 1 1 2 1 1 1 a a a Q a a a a a a              với 0; 1a a  . 1) Rút gọn biểu thức Q. 2) Chứng minh rằng khi a > 1 thì giá trị biểu thức Q nhỏ hơn 1. Bài 3: (2,5 điểm): 1) Cho phương trình 2 2 2 0 ( )x x m     ( m là tham số). a) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm. b) Giả sử 1 2;x x là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  2 2 2 21 2 1 23 4A x x x x    2) Giải hệ phương trình: 3 3 3 2 1 5 5 1. x y x x y        . Bài 4: (3,0 điểm): Cho hai đường tròn  1 1;O R và  2 2;O R với 1 2R R tiếp xúc trong với nhau tại A. Đường thẳng 1 2O O cắt  1 1;O R và  2 2;O R lần lượt tại B và C khác A. Đường thẳng đi qua trung điểm D của BC vuông góc với BC cắt  1 1;O R tại P và Q. 1) Chứng minh C là trực tâm tam giác APQ. 2) Chứng minh 2 2 21 2 .DP R R  3) Giả sử 1 2 3 4; ; ;D D D D lần lượt là hình chiếu vuông góc của D xuống các đường thẳng ; ; ;BP PA AQ QB . Chứng minh  1 2 3 4 1 2 DD DD DD DD BP PA AQ QB       Bài 5: (1,5 điểm): 1) Giải phương trình   2 1 2 1 1.x x x      2) Xét các số thực x, y, z thỏa mãn  2 2 22 3 36y yz z x    . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức .A x y z   Hết ĐỀ CHÍNH THỨC HD một số câu: Bài 3: 2)     3 3 3 2 1 5 5 1 1 2 x y x x y        trừ từng vế tương ứng của (1) và (2) ta được     3 3 2 2 2 25 0 5 0 5 0(3) x y x y x y x y x xy y x xy y                  PT (3) 2 21 3 5 0 2 4 x y y           vô nghiệm Với 3 3 3 3 1 4 2 2 1 2 2 x y x y x y        . Vậy hpt có nghiệm duy nhất   3 34 4 ; ; 2 2 x y        Bài 4: 1) PBQC là hình thoi => QC // BP CM // BP (cùng vuông góc với PA) => Q, C, M thẳng hàng Tam giác APQ có 2 đường cao AD và QM cắt nhau tại C => C là trực tâm tam giác APQ 2) c/minh DM là tiếp tuyến tại M của (O2) Cminh được PD2 = DB.DA = DC.DA = DM2 = O2D2 – O2M2 = O2D2 – R22 Ta đi cminh O2D = R1 Ta có 12 2 1 2 2 2 2 2 AC BC AB R O D O A CD R       Vậy ta có đpcm. c)  1 2 3 4 1 2 DD DD DD DD BP PA AQ QB       Dễ dàng cminh được 1 4 2 3; ; ;DD DD DD DD BP QB PA AQ    Nên    1 2 3 4 1 2 1 2 2 DD DD DD DD BP PA AQ QB DD DD PB PA           Ap dụng BĐT Cô-si ta có 2 2 2 2 2 22 . 2 . ( )DB DP DB DP BP DB DP Pi ta go DB DP BP        1 2 . 2DD DB DP BP BP    (dấu « = » xảy ra khi DP = DB) (1) Cminh tương tự ta có 2 2 . 2DD DA DP AP AP   (dấu « = » xảy ra khi DP = DA) (2) TỪ (1) và (2) =>  1 22 DD DD PB PA   (dấu « = » xảy ra khi DP = DA =DB) D4 D3 D2 D1 O2O1 M Q P D CB A Bài 5: 1) ĐKXĐ 21  x   2 1 2 1 1.x x x            1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 3 2 2 1 1 3 2 2 2 1 1 3 2 2 3 2 (*) 2 2 1 1 2 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                                     Xét PT (*) ta có: +) x = 2 thỏa mãn +) 1 x < 2 Vế trái âm vế phải dương Vô lí ! +) x > 2 không thuộc ĐKXĐ Vậy x = 2 là nghiệm PT đã cho 2) Ta có:     2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 3 ( 2 ) ( 2 ) 36 ( ) ( ) 36 x y z x y z xy yz xz y z yz x x xy y x xz z x y z x y x z                           Nên 66  zyx => Max(x+y+z) = 6 khi x = y = z = 2 Min(x+y+z) = –6 khi x = y = z = – 2