Đề thi giao lưu học sinh khá, giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH KHÁ,GIỎI LỚP 7 HUYỆN VĨNH LỘC NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 11/04/2017 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm).  1   1 1  a) Tính giá trị biểu thức A = 2 + 3,5 : − 4 + 3  +7,5  3   6 7  2.84 .272+ 4.69 b) Rút gọn biểu thức: B = 277 .6+ 2 7 .40.94 c) T×m ®a thøc M biÕt r»ng : M+( 5x2−2xy) =6 x2+9xy− y2 . Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn ( 25x−) 2012+( 34y +) 2014 ≤ 0 . Bài 2: (4,0 điểm). 1 1 1 a) Tìm x : − x + = 2 5 3 b) Tìm x, y, z biết: 2x = 3y; 4y = 5z và x + y +z = 11 ++ c) Tìm x, biết : ( x+2) n1=( x + 2) n 11 (Với n là số tự nhiên) Bài 3: (4,0 điểm). a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm. b) Tìm x, y nguyên biết : 2xy – x – y = 2 Bài 4: (6,0 điểm). Cho tam giác ABC ( AB< AC , góc B = 600 ). Hai phân giác AD và CE của ∆ABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K. a) Tính AIC· b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm. c) Chứng minh ∆ IDE cân. Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ. .............. Hết............. Giám thị xem thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh::........................................... SBD........................................ Giám thị 1:.................................................... Giám thị 2:.............................. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN : TOÁN. Nội dung Điểm Câu a: (1 điểm)  1   1 1  A = 2 + 3,5 : − 4 + 3  +7,5  3   6 7   7 7   − 25 22  15 =  +  :  +  +  3 2   6 7  2 0.5 đ − = 35 : 43 + 15 6 42 2 − 245 15 − 490 645 155 = + = + = 43 2 86 86 86 0,5đ Câu b: ( 1 điểm) 2×84 × 27 2 + 4× 69 B= 27 × 67 + 27 × 40× 94 213 × 36 + 211 × 39 0,5đ = 214 × 37 + 210 × 38 × 5 211 × 36 × ( 22 + 33 ) 2 = = 210 × 37 × ( 24 + 3× 5) 3 0.5 . Câu c: (2 điểm) M+( 5x2−2xy) =6 x2+9xy− y2 => M =6x2 +9xy−− y2( 5 x2 − 2xy ) 0.5 22222 => M=6x+9xy−− y5 x+2xy=+ x11 xy − y 0,5 Ta có ( 25x−) 2012+( 34y +) 2014 ≤ 0 2012 ( 25x −) ≥ 0 Ta cã :  =>( 25x −) 2012+( 34y +) 2014 ≥ 0 0.25 2014 ( 34y +) ≥ 0 Mµ ( 25x−) 2012+( 34y +) 2014 ≤ 0 => ( 25x−) 2012+( 34y +) 2014 = 0  1  1 2012 x = 2 x = 2 ( 25x −) = 0   Bài 1 => =>  2 . VËy  2 ( +) 2014 = 1 1 (4,0đ) 34y 0 y = −1 y = −1 0.5  3  3  5  2 5  4   − 4  2 25 110 16 −1159 Vậy M =   + 11× × −  -  = - - = 0.25  2  2  3   3  4 3 9 36 2. 1 1 1 − x + = (1,0đ 2 5 3 ) 1 1 1 x + = − 5 2 3 0,25đ 1 1 x + = 5 6 0,25đ 1 1 TH1: x+ = 5 6 1 x = - 30 1 1 TH2: x+ = - 0,25đ 5 6 1 1 11 x = - - = = - 6 5 30 1 11 Vậy x= - ; x = - 0,25đ 30 30 x y xy 0.25đ Ta có : 2x = 3y suy ra = hay = 3 2 15 10 yz yz 4y = 5z suy ra = hay = 5 4 10 8 b. xyz Vậy = = (1,5đ 15 10 8 0.5đ ) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau xyz x+ y + z 11 1 = = = = = 0.5đ 15 10 8 15+ 10 + 8 33 3 10 8 Suy ra x = 5, y = , z = 0.25 3 3 ( x +2)n+1 = ( x +2)n+11 ( x +2)n+1 - ( x +2)n+11 =0 0.25 −( + ) 10  n+1 1x 2  c (x+2) =0 0.5 1,5 TH 1: (x+2)n+1 = 0 suy ra x = -2 10 điểm TH2: 1 - (x +2) = 0 0.25 (x +2)10 = 1 x + 2 = 1 suy ra x = -1 x + 2 = -1 suy ra x = -3 0.5 Vậy x = -2; x=-1; x=-3 Bài 3 a Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0) 0,25 đ (4.0đ) (2.0đ Theo bài ra ta có : x +y + z = 13 ) và 2x= 3y =4z = 2 SABC xy z Suy ra = = 6 4 3 0,75 đ Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau xy z x+ y + z 13 = = = = =1 6 4 3 6+ 4 + 3 13 0,75 suy ra x = 6, y = 4 ; z = 3 0.25 KL: 2xy – x – y = 2 4xy - 2x -2y =4 2x(2y-1) - 2y + 1 = 5 0,5 đ b. (2y -1) ( 2x -1) =5 (2,0đ { ( 1;3) ;( 3;1) ;( − 2;0) ;( 0;− 2) } 0,5 đ ) HS xét 4 trường hợp tìm ra ( x,y) = ( Mỗi trường hợp đúng cho 0.25 đ) Vậy ( x,y) = { ( 1;3) ;( 3;1) ;( − 2;0) ;( 0;− 2) } 1 đ Bài 4 (6.0đ) a/ Ta có ∠ ABC = 600 suy ra ∠ BAC + ∠ BCA = 1200 0.5đ 1 AD là phân giác của ∠ BAC suy ra ∠ IAC = ∠ BAC 2 0.5đ 1 1 CE là phân giác của ∠ ACB suy ra ∠ ICA = ∠ BCA (2.0đ 2 0.5đ 1 ) Suy ra ∠ IAC + ∠ ICA = . 1200 = 600 2 0.25đ 0 Vây ∠ AIC = 120 0.25đ b/ Xét ∆ AHP và ∆ AHK có ∠ PAH = ∠ KAH ( AH là phân giác của ∠ BAC) 0.5 đ AH chung ∠ PHA = ∠ KHA = 900 2 Suy ra ∆ AHP = ∆ AHK (g-c-g) suy ra PH = KH ( 2 cạnh tương 0,5 đ (2đ) ứng). Vậy HK= 3cm Vì ∆ AHK vuông ở H theo định lý Pitago ta có 0.5 AK2 = AH2 + HK2 = 42 +32 = 25 0.25 Suy ra AK = 5 cm 0.25 c Vì ∠ AIC = 1200 (2.0đ Do đó ∠ AIE = ∠ DIC = 600 ) Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF = AE 0,25 đ Xét ∆ EAI và ∆ FAI có 0,5 đ AE = AF ∠ EAI = ∠ FAI AI chung Vậy ∆ EAI = ∆ FAI (c-g-c) suy ra IE =IF (hai cạnh tương ứng) (1) ∠ AIE = ∠ AIF = 600 suy ra ∠ FIC = ∠ AIC - ∠ AIF = 600 0.25 Xét ∆ DIC và ∆ FIC có ∠ DIC = ∠ FIC = 600 0.5 Cạnh IC chung ∠ DIC = ∠ FCI Suy ra ∆ DIC = ∆ FIC( g-c-g) Suy ra ID = IF (hai cạnh tương ứng) (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra ∆ IDE cân tại I 0.25 Bài 5 Giả sử 10 là số hữu tỷ 0.25đ (2,0đ) a 0.5đ 10 = ( a,b là số tự nhiên , b khác 0 ; (a;b) = 1 ) b a2 0.25đ = 10 b2 Suy ra a2 = 10b2 0.25đ aM 2 ⇒ a2 M 4 ⇒ 10b2 M 4 ⇒ b2 M 2 ⇒ b M 2 0.5đ Vậy ( a;b) ≠ 1 Nên 10 là số vô tỷ 0.25đ Chú ý: Nếu HS làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.