Đề tài Một số ứng dụng của định lí Vi-Ét trong việc giải toán

sự liên quan giữa các nghiệm của hai phương trình và hệ số của các phương trình đó. Vì vậy chúng ta phải nắm vững định lý Vi-ét và vận dụng định lý đó vào trong quá trình biến đổi hai vế của đẳng thức để suy ra hai vế bằng nhau. Bài giải: Vì a,b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0 b,c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0. Theo định lý Vi-ét ta có: và Do đó : (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3 (1) pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3 Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm) Ví dụ 2: Cho các hệ số a, b, c thoả mãn: a + b + c = - 2 (1); a2 + b2 + c2 = 2 (2) Chứng minh rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn khi biểu diễn trên trục số: Bài giải: Bình phương hai vế của (1) ta được: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4 Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1 Þ bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 + 2a + 1 Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phương trình: x2 + (a + 2)x + (a2 + 2a + 1) = 0 (*) Để (*) có nghiệm thì ta phải có: D = (a+2)2 - 4(a2+2a+1) ³ 0 Û a(3a + 4) £ 0 Û - £ a £ 0 Chứng minh tương tự ta được: - £ b £ 0; - £ c £ 0 2. Bài tập: Bài tập 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0 Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2 Bài tập 2: Chứng minh rằng khi viết số x = ()200 dưới dạng thập phân, ta được chữ số liền trước dấu phẩy là 1,chữ số liền sau đấu phẩy là 9. Bài tập 3: Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ( m là tham số) Chứng minh rằng: Và xác định giá trị của m để đẳng thức xảy ra (Kỳ thi vào lớp 10 THPT Phan bội Châu-2004-2005) iV. ¸p dông ®Þnh lý vi-Ðt gi¶i ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh. 1.Ví dụ : Ví dụ 1: Giải phương trình: =6 Định hướng: - Tìm ĐKXĐ: - Đặt Þ - Tính u, v rồi suy ra x. Bài giải: ĐKXĐ: {x Î R ½ x ¹ - 1} Đặt :(*) Þ Þ u, v là nghiệm của phương trình : x2 - 5x + 6 = 0 D = 25 – 24 = 1 x1 = = 3 x2 = = 2 u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3 Nếu: thì (*) trở thành : x2 - 2x + 3 = 0 D' = 1 – 3 = - 2 < 0 Phương trình vô nghiệm: Nếu: thì (*) trở thành : x2 - 3x + 2 = 0 Suy ra: x1 = 1; x2 = 2 Vậy phương trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = 2. Ứng dụng định lí Vi-ét để giải hệ phương trình thường dùng để giải hệ đối xứng loại 1: Tức là hệ có dạng: Để giải loại hệ này ta tiến hành như sau: Biểu diễn từng phương trình qua x + y và xy Đặt S = x + y và P = xy, ta được một hệ mới chứa hai ẩn S và P. Giải hệ mới để tìm S và P. Các số cần tìm là nghiệm của phương trình Theo yêu cầu của bài mà giải phương trình tìm t hoặc biện luận phương trình chứa t để rút ra kết luận mà đề bài đặt ra. Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình: a) b) Bài giải a) x,y là nghiệm của phương trình: x2 - 11x +31 = 0 D=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3 < 0 Phương trình vô nghiệm Vậy hệ đã cho vô nghiệm. b) Đặt x + y = S và xy = P Ta có hệ phương trình : Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình : t2 – 7t + 12 = 0. Giải phương trình này ta được t = 4 và t = 3. + Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình: u2 - 4u + 3 = 0 Þ u = 1 và u = 3 Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1) + Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình: v2 – 3v + 4 = 0 Phương trình này vô nghiệm vì D = 9 - 16 = - 7 < 0 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là: (x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1) Ví dụ 3: 2. Bài tập: Bài tập 1: Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0 Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau: a) b) Bài tập 3 Giải hệ phương trình: ( Thi HSG lớp 9 huyện Nghi lộc-Nghệ An-2003-2004 Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Tỉnh-Yên Thành-Nghệ An-2009-2010) V. §Þnh lý vi-Ðt víi bµi to¸n cùc trÞ: 1. Các ví dụ: Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0 Tìm m để có giá trị nhỏ nhất Bài giải: Xét: D = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0 Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2 Þ = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2) =4m2 - 6m + 5 = (2m - )2 + ³ Dấu “=” xảy ra khi m = Vậy Min(x12 + x22) = khi m = Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =½x1x2 - 2x1 - 2x2½ Bài giải: Để phương trình đã cho có nghiệm thì: D' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) ³ 0 Þ - 5 £ m £ - 1 (*) Khi đó, theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x2 = - m - 1 x1 .x2 = Do đó: A = ½½ Ta có: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì: (m + 1)(m + 7) £ 0. Suy ra: A = = £ Dấu “ = ” xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4 Vậy, A đạt giá trị lớn nhất là khi m = - 4, giá trị này thoã mãn điều kiện (*). Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức A=(x4 + 1) (y4 + 1), biết x, y ³ 0; x + y = Bài giải: A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + 1 Ta có: x + y = Þ x2 + y2 = 10 - 2xy Þ x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2 Þ x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2 Đặt : xy = t thì x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2 Do đó A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101 a)Tìm giá trị nhỏ nhất: A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 ³ 45 Min(A) = 45 Û t = 2, khi đó xy = 2; x + y = nên x và y là nghiệm của phương trình X2 - X + 2 = 0. Tức là: x = ; y = hoặc x = ; y = b) Tìm giá trị lớn nhất: Ta có: 0 £ xy £ == Þ 0 £ t £ (1) Viết A dưới dạng : A = t(t3 + 2t - 40) + 101. Do (1) nên t3 £ ; 2t £ 5 Þ t3 + 2t - 40 £ + 5 - 40 < 0 còn t ³ 0 nên A £ 101 Max(A) = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0; y = hoặc x = ; y = 0 2. Bài tập: Bài tập 1: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 Tìm m để có giá trị nhỏ nhất. Bài tập 2: Cho phương trình: x2 - mx+ (m - 2)2 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = x1x2 + 2x1 + 2x2 Bài tập 3: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: (m là tham số). Tìm m để giá trị nhỏ. (Thi vào lớp 10 THPT- Đại học Vinh-2004-2005) Bài tập 4: Cho phương trình: (1) Tìm m để pt(1) có nghiệm. Khi nào thì pt(1) có hai nghiệm trái dấu? Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt(1). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = (Thi vào lớp 10 Phan Bội Châu – 2000-2001-Vòng1) PhÇn iii. KÕt luËn. 1. Kết quả đạt được: Sau khi thực hiện đề tài thấy khả năng vận dụng các phương pháp của học sinh đã có nhiều tiến bộ, thể hiện ở chỗ đa số học sinh biết cách giải toán linh hoạt, sáng tạo và bước đầu chủ động tìm tòi kiến thức mới góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong nhà trường. Với đối tượng là học sinh khối 9 trường trung học cơ sở Đức thành huyện Yên Thành tôi đã chọn ra các lớp 9B (làm lớp thực nghiệm ), lớp 9A(làm lớp đối chứng), khi áp dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh lớp thực nghiệm cho thấy: phương pháp tư duy, kỹ năng giải bài tập và năng lực sáng tạo của học sinh tốt hơn. Trong các bài kiểm tra chương 4, phần kiến thức liên quan đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng thì ở lớp 9B ,số học sinh đạt điểm khá trở lên đạt 95%, lớp 9A số học sinh đạt điểm khá trở lên chỉ đạt 40% . 2. Kết luận: Ứng dụng của định lí Vi-ét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt. Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràngtừng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và cách vận dụng. Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến sáng tạo của các em. Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhần nhuyễn, logic giữa các bài toán khác nhau. Nghiên cứu đề tài “Ứng dụng của định lí Vi-ét trong việc giải toán” không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn Toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy. 3. Bài học rút ra: Đổi mới dạy học là 1 quá trình, song mỗi giáo viên cần có ý thức tìm tòi những phương pháp dạy học phù hợp với từng loại bài tập và từng đối tượng học sinh theo phương pháp dạy học mới là lấy học sinh làm trung tâm, tích cực hóa các hoạt động của học sinh trong quá trình học tập. Cuối cùng xin tóm lại điều quan trọng nhất. Trong cuộc sống cũng như trong dạy học toán không có cái tầm thường và củng không có bài toán nào tầm thường cả, trước mỗi bài toán hãy dành thời gian nắm bắt các yếu tố và định hướng suy nghĩ, chứ đừng cảm nhận quá nhiều” Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi những thiếu sót về cấu trúc ngôn ngữ và kiến thức khoa học. Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài này được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp xin được gửi về email: TuLoi78@gmail.com. Tôi xin chân thành cảm ơn! Yên thành, ngày 25 tháng 04 năm 2011 Giáo viên: Mạc Tuấn Tú Tài liệu tham khảo Sách Giáo khoa và sách giáo viên lớp 9 của Bộ Giáo Dục “ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9” của Bùi Văn Tuyên “Báo toán học và tuổi thơ 2” của Bộ Giáo Dục Các đề thi tuyển sinh và thi chuyên chọn các trường trong tỉnh “Bài tập nâng cao Đại số 9” của Vũ Hữu Bình Mục Lục Nội dung Trang Phần 1: Đặt Vấn đề 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Đối tượng và phạm vi áp dụng 1 Phần 2: Nội dung 2 A. Kiến thức cơ bản 2 1. Hệ thức Vi-ét 2 2. Ứng dụng 2 3. Bổ sung 2 B. Nội dung 2 1. Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoã mãn yêu cầu đặt ra 2 2. Ứng dụng của định lý Vi-ét trong bài toán lập phương trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của pt bậc hai một ẩn 5 3. Ứng dụng của định lý Vi-ét trong giải toán chứng minh 7 4. Ứng dụng của định lý Vi-ét trong gioải phương trình và hệ phương trình 8 5. Định lý Vi-ét với bài toán cực trị 10 Phần 3: Kết luận 12 1. Kết quả đạt được 12 2. Kết luận 13 3. Bài học rút ra 13 Tài liệu tham khảo 14