Đề giao lưu học sinh giỏi năm học 2013 – 2014 môn: toán lớp 7 thời gian làm bài: 120 phút

PHềNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2013 – 2014 Mụn: Toỏn lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phỳt Cõu 1: Tỡm cỏc số x, y, z; biết rằng: | x | + | x +2 | = 3 x + y = x : y = 3( x - y) = = Cõu 2 : a)Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn b) Cho đa thức P(x) = ax + bx + cx + d . Với a, b, c, d là cỏc hệ số nguyờn. Biết P(x) chia hết cho 5 với mọi số nguyờn x. Chứng tỏ rằng cỏc số nguyờn a, b, c, d cũng chia hết cho 5. Cõu 3: a) Nếu một tam giỏc cú độ dài hai đường cao là 3; 5 và đường cao thứ ba cũng là số chớnh phương thỡ đường cao thứ ba là bao nhiờu ? b) Cho ba số nguyờn tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng trong ba số đú tồn tại hai số mà tổng hoặc hiệu của chỳng chia hết cho 12. Cõu 4: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB > AC). Tia phõn giỏc của gúc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuụng gúc với BC. Trờn tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đường thẳng vuụng gúc với AE tại E cắt tia DH tại K. Chứng minh rằng BA = BH. Tớnh gúc DBK. Cõu 5: Tỡm số tự nhiờn a, b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 Tỡm ba số nguyờn tố khỏc nhau là a, b, c sao cho abc < ac + bc + ab Tỡm hai số tự nhiờn x, y biết rằng tổng của chỳng gấp hai lần tớch của chỳng; Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm Họ và tờn học sinh dự thi: ............................................................; SBD: ........... PHềNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG HD CHẤM GIAO LƯU HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2013 - 2014 MễN : Toỏn Cõu Nội dung Điểm 1 (2 đ) a) (0,75đ) Nếu x < -2 , ta cú -2x - 2 = 3 ị x= - 2,5 Nếu - 2 Ê x < 0, ta cú 0x + 2 = 3 ị khụng cú giỏ trị của x Nếu x ³ 0 , ta cú 2x + 2 = 3 ị x = 0.5 b) (0,75đ) Tớnh được x : y = 2 (vỡ y ≠ 0) Ta cú x + y = 2 và 3 (x - y) = 2 ị x =  ; y = c) (0,5 đ) Từ ị y = ị x = 5 0,25 0.25 0,25 0.25 0.5 0.25 0.25 2 (2 đ) a) (1 đ) (1) Ta có: với Z với Z với Z với Z với Z Do đó (1) có nghiệm nguyên x,y khi và chỉ khi b) (1đ) vỡ P(x) 5 với mọi x nguyờn, nờn ta cú : P(0) = d 5 P(1) = a + b +c + d 5 mà d 5 ị a + b + c 5 (1) P(-1) = -a + b - c +d 5 mà d 5 ị - a + b - c 5 (2) Từ (1) và (2) ị 2b 5 ị b 5 (vỡ 2 và 5 nguyờn tố cựng nhau) Từ (1) và b 5 ị a + c 5 P(2) = 8a + 4b +2c + d = 6a + 2(a +c) + 4b + d 5 ị 6a 5 ị a 5 ị c 5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 3 (2đ) a) (1 đ) Gọi ba cạnh của tam giỏc là a, b, c và đường cao tương ứng là 9, 25, m Ta cú : 9a = 25b = mc = 2S (S là diện tớch tam giỏc) ị a = , b = , c = Áp dụng BĐT tam giỏc ta cú : a - b < c < a + b ị ị m = 9 (vỡ m là số chớnh phương) b) (1 đ) Số nguyờn tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 số dư chỉ cú thể là: 1,5,7,11 Nhúm I: số dư là 1; 11 Nhúm II : số dư là 5; 7 Vỡ cú ba số nguyờn tố mà chỉ cú hai nhúm nờn theo nguyờn Đrichle, tồn tại hai số thuộc cựng một nhúm ị Hai số đú cú hiệu hoặc tổng chia hết cho 12 0.25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 4 (2đ) Vẽ hỡnh, ghi GT, KL I B K H E A D C a) (0,5) ABD = HBD (Cạnh huyền - gúc nhọn) ị BA = BH b) Qua B, kẻ đường vuụng gúc với EK, cắt EK tại I Ta cú ABI = 900 Chứng minh HBK = KBI, bằng cỏch chứng minh HBK = IBK (cạnh huyền - cạnh gúc vuụng) ị = 450 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 5 (2đ) a) (0,75 đ) Theo đề bài 2008a + 3b + 1 và 2008a + 2008a + b là 2 số lẻ. Nếu a 0 2008a + 2008a là số chẵn để 2008a + 2008a + b lẻ b lẻ Nếu b lẻ 3b + 1 chẵn do đó 2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn) Vậy a = 0 Với a = 0 (3b + 1)(b + 1) = 225 Vì b N (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25 3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1 Vậy a = 0 ; b = 8. b) (0,75 đ) abc < ac + ab + bc ị Giả sử a > b > c > 2 ị ị ị c < 3 , suy ra c = 2 (vỡ c là số nguyờn tố) Ta cú Tương tự tớnh được b = 3, a = 5 c) (0,5đ)Ta cú x + y = 2xy Giả sử x ³ y ị 2x ³ x + y ị 2x ³ 2xy ị y Ê 1 Vỡ y là số tự nhiờn nờn y ẻ {0 ; 1} Với y = 0 ị x = 0 Với y = 1 ị x = 1 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Lưu y : Đỏp ỏn chỉ trỡnh bày một cỏch giải, học sinh giải bằng cỏch khỏc đỳng và đủ vẫn cho điểm tối đa.