Các Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 - Bài tập phần rút gọn

ường trũn (O1) tại K. Chứng minh đường thẳng CO1 là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AKC. Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Mã ký hiệu: Năm học : 2008-2009 Đ01T- 08 - TS10CT Môn thi : Toán Thời gian làm bài :150 phút ( Đề này gồm 05 câu, 01 trang) Bài 1: Rút gọn biểu thức sau : P = Bài 2: Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) b) Bài 3: Chứng minh rằng : Bài 4 : BC là dây cung không là đường kính của đường tròn tâm O . Một điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tâm O luôn nằm trong tam giác ABC, các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh các tam giác AEF và ABC đồng dạng b) Gọi A' là trung điểm của BC, chứng minh AH = 2OA' c) Gọi A1 là trung điểm của EF, chứng minh : R.AA1 = AA'.OA' d) Chứng minh rằng R(EF + FD + DE) = 2SABC từ đó tìm vị trí của A để tổng (EF + FD + DE) lớn nhất. Bài 5 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 ..Hết Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm HD01T- 08 - TS10CT Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Bài 1: (2,5 điểm) Có : A = cho 0,25 điểm A = cho 0,25 điểm Tương tự có: B = cho 0,25 điểm Từ đó Tập xác định là x và cho 0,25 điểm Ta có P = A+B = = cho 0,5 điểm = Cho 0,25 điểm = Cho 0,25 điểm Vậy P = Với x và x Cho 0, 25 điểm Bài 2 ( 4,5 điểm) a, Từ hệ ị xy +x cho 0,25 điểm (*) cho 0,25 điểm - Nếu y = 0 ta được : hệ này vô nghiệm cho 0,25 điểm - Nếu y ≠ 0 ta có : (*) Û 3 cho 0,25 điểm Û cho 0,5 điểm Vậy hệ đã cho tương đương với hay cho 0,25 điểm Giải hệ đầu ta được (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) cho 0,25 điểm Hệ sau vô nghiệm cho 0,25 điểm Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là x = y = 1 hoặc x = y = -1 cho 0,25 điểm b) Điều kiện - 4 Ê x Ê 1 cho 0,25 điểm Phương trình tương đương với : (vì cả 2 vế đều không âm) cho 0,25 điểm Û cho 0,25 điểm Û 4- 3x - x2 = 4 cho 0,25 điểm Û x2 +3x = 0 cho 0,25 điểm Û x(x + 3) = 0 cho 0,25 điểm Û x = 0 hoặc x = -3 cho 0,25 điểm Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 0 hoặc x = -3 cho 0,25 điểm Bài 3 : (3điểm) Ta có với n ³ 1 thì cho 0,5 điểm < cho 0,5 điểm Từ đó ta có : Sn = < 1- cho 0,75 điểm = 1- cho 0,5 điểm Vậy Sn < cho 0,25 điểm áp dụng cho n = 2007 ta có S2007 < là điều phải chứng minh ( 0,5 điểm) Bài 4 : Hình vẽ đúng cho 0,25 điểm A x A1 E F H O B D C A' K a) Chứng minh DAEF đồng dạng D ABC. Có E, F cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC Cho 0,25 điểm ị góc AFE = góc ACB (cùng bù góc BFE) cho 0,25 điểm ị D AEF đồng dạng D ABC (g.g) cho 0,25 điểm b) Vẽ đường kính AK Có BE (gt) KC (Vì góc ACK = 90 ) cho 0,25 điểm BE // KC cho 0,25 điểm Tương tự CH // BK cho 0,25 điểm Do đó tứ giác BHCK là hình bình hành cho 0,25 điểm HK là đường chéo nên đi qua trung điểm A' của đường chéo BC. H, A', K thẳng hàng. cho 0,25 điểm Xét tam giác AHK có A'H = A'K OA = OK cho 0,25 điểm Nên OA' là đường trung bình AH = 2 A'O cho 0,25 điểm c, áp dụng tính chất: nếu 2 tam gác đồng dạng thì tỉ số giữa 2 trung tuyến tương ứng, tỉ số giữa 2 bán kính các đường tròn ngoại tiếp bằng tỉ số đồng dạng nên ta có: cho 0,25 điểm D AEF đồng dạng D ABC = cho 0,25 điểm Trong đó R là bán kính của đường tròn tâm O R' là bán kính đường tròn ngoại tiếp D AEF cho 0,25 điểm cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cho 0,25 điểm R. AA = R'. AA' = .AA' cho 0,5 điểm = AA'. = AA'. OA' cho 0,25 điểm Vậy R.AA1 = AA'. OA' cho 0,25 điểm d, Trước hết ta chứng minh OA EF vẽ tiếp tuyến Ax của đường tròn tâm O Ta có OA Ax cho 0,25 điểm Vì góc xAB = Góc BCA mà góc BCA = góc EFA (cmt) góc EFA = góc xAB cho 0,25 điểm EF// Ax cho 0,25 điểm OA EF cho 0,25 điểm Chứng minh tương tự có OB DF và OC ED Ta có S = S + S +S = OA. EF + OB. FD + OC.DE cho 0,25 điểm = R( EF + FD + DE ) (vì OA = OB = OC = R) R (EF + FD + DE) = 2 S cho 0,25 điểm EF + FD + DE = Nên EF + FD + DE lớn nhất S lớn nhất cho 0,25 điểm Lại có S = BC.h (h là đường vuông góc hạ từ A đến BC) ị S lớn nhất Û h lớn nhất Û ABC là tam giác cân Û A là điểm chính giưã của cung AB lớn. cho 0,25 điểm Bài 5: (3 điểm) Vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi là 2 nên ta có: 0 < a; b, c (cho 0,25 điểm) ị a - 1 0 ; b - 1 0; c-1 0 cho 0,25 điểm ị ( a -1) (b -1) (c -1) 0 Û ( ab - a - b +1) ( c -1) 0 cho 0,25 điểm Û abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - 1 0 cho 0,25 điểm Û 2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c) 2 cho 0,25 điểm Û 2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 2 cho 0,25 điểm Û 2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c) 2 cho 0,5 điểm Û 2abc - 2(ab + ac + bc) + a + b + c +2(ab + ac + bc) 2 (cho 0,25 điểm) Û 2abc + a + b + c 2 (đpcm) cho 0,25 điểm Chú ý: đối với các bài nếu có cách giải khác mà làm đúng vẫn cho điểm tối đa. - Đối với bài hình học sinh có thể sử dụng nhiều hình vẽ khác nhau cho các ý và ở ý 4 có thể sử dụng công thức tính diện tích của tứ giác có 2 đường chéo vuông góc mà không cần chứng minh lại. Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Mã ký hiệu: Năm học : 2008-2009 Đ02T- 08 - TS10 CT Môn thi : Toán Thời gian làm bài :150 phú Bài 1: a, Chứng minh rằng nếu ab 0 thì ta luôn luôn có = b, Phân tích đa thức M = a thành nhân tử Bài 2: a, Giải hệ phương trình b, cho x, y 0 và x + y = 1 Chứng minh 8(x+ y) + Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax a) Chứng minh nếu f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x thì 4 số 6a; 2b; a + b + c ; d đều là các số nguyên. b, Đảo lại nếu cả 4 số 6a; 2b; a + b + c ; d đều là các số nguyên thì đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với bất kỳ giá trị nguyên nào của x không? tại sao? Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm trên cạnh huyền BC, E là điểm đôí xứng với D qua AB, G làgiao điểm của AB với DE, từ giao diểm H của AB với CE hạ HI vuông góc với BC tại I các tia CH, IG cắt nhau tại K. Chứng minh KC là tia phân giác của góc IKA. Bài 5: Chứng minh rằng phương trình x - x + x - x + x - x + = 0 Vô nghiệm trên tập hợp các số thực. ..Hết.. Mã ký hiệu: Hướng dẫn chấm HD02T- 08 - TS10 Đề thi : vào lớp 10 chuyên lương văn tuỵ Bài 1: (3 điểm) a, Vì 2 vế đều không âm nên bình phương vế trái ta có: ( + )= = ()+ ab + (a + b) + () + ab - (a + b) +2 Cho 0,25 điểm = 2() + 2ab + 2() - 2ab Cho 0,25 điểm ( vì () ab) Cho 0,25 điểm = 4( )= (a + b) = ( + ) Cho 0,5 điểm (vì ab 0 ị a; b cùng dấu) ị + = + Cho 0,25 điểm (Với ab 0) b, Ta có A = a + a + 1 = a - a + a - a + a + a + 1 = a(a - 1)(a + a + 1) + a(a - 1) + a + a + 1 Cho 0,25 điểm = a(a - 1)( a + a + 1)( a + a + 1) + + a(a - 1)(a + a + 1) + a + a + 1 Cho 0,25 điểm = (a + a + 1)[ a(a - 1)(a + a + 1) + a(a - 1) + 1)] Cho 0,25 điểm = (a + a + 1)(a - a+ a - a+ a - a + 1) Cho 0, 5 điểm Bài 2: (5 điểm) a, Nếu x = 0 thay vào ta có vô lý Cho 0,25 điểm Vậy x≠ 0 Đặt y = tx Cho 0,25 điểm Ta có Cho 0,25 điểm ị = Cho 0,25 điểm ( vì t ≠ -1 hệ mới có nghiệm) Cho 0,25 điểm ị = 2 Cho 0,25 điểm ị t + t = 2 - 2t + 2t Cho 0,25 điểm Û t - 3t + 2 = 0 Cho 0,25 điểm ị Cho 0,25 điểm * Nếu t = 1 ị y = x ị 4x = 2 ị x = y = Cho 0,25 điểm * nếu t = 2 ị y = 2x ị 18x = 2 Cho 0,25 điểm ị Tóm lại hệ có 2 nghiệm x = y = Hoặc ( x = ; y = ) Cho 0,25 điểm b, áp dụng bất đẳng thức () Với mọi a, b Cho 0,25 điểm ta có () Cho 0,25 điểm ị () = Cho 0,5 điểm ị 8( x+ y) 1 Cho 0,25 điểm lại có xy () = Cho 0,25 điểm ị 4 Cho 0,25 điểm Vậy 8( x+ y) + 1 + 4 = 5 Cho 0,25 điểm Bài 3: ( 4 điểm) a, Ta có f(0) = d là số nguyên Cho 0,25 điểm f(1) = a + b + c + d là số nguyên Cho 0,25 điểm ị f(1) - f(0) = a + b + c cũng là số nguyên Cho 0,25 điểm f( -1) =- a + b - c + d là số nguyên Cho 0,25 điểm f(2) = 8a + 4b + 2c + d cũng là số nguyên Cho 0,25 điểm Vậy f(1) + f( -1) = 2b + 2d là số nguyên Cho 0,25 điểm ị 2b là số nguyên ( vì 2d là số nguyên) Cho 0,25 điểm f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d là số nguyên Cho 0,25 điểm Mà là các số nguyên Nên 6a là số nguyên Cho 0,25 điểm Ta có điều phải chứng minh b, Đảo lại: f(x) = ax + bx+ cx + d = (ax - ax) + (bx - bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 điểm = a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm = + + (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm = 6a + 2b + (a + b + c)x + d Cho 0,25 điểm Vì (x - 1)x( x + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 6 ị 6a là số nguyên Cho 0,25 điểm x(x -1) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên nó chia hết cho 2 nên 2b là số nguyên Cho 0,25 điểm Và (a + b + c)x là số nguyên Cho 0,25 điểm d là số nguyên ị f(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên khi 4số 6a; 2b; a + b + c; d là các số nguyên Cho 0,25 điểm B Bài 4: ( 6 điểm) 1 (Vẽ hình đúng 0,5 điểm) E G I D K 1 H 2 C A Ta có G và I cùng nhìn HD dưới 1 góc vuông nên HGID là tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm ị Góc GHD = góc GIB (cùng bù với góc GID) Cho 0,5 điểm Hay góc GHD = góc KIB Cho 0,5 điểm lại có góc GHD = góc GHK ( do E và I đối xứng qua AB) Cho 0,5 điểm ị góc KIB = góc KHB ( cùng = góc GHD) Cho 0,25 điểm Nên KHIB là tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm Vì góc HIB = 90 ị góc HKB = 90 Cho 0,5 điểm Ta có góc B = góc K (Do KHIB là tứ giác nội tiếp) Cho 0,5 điểm Lại có K và A cùng nhìn BC dưới một góc vuông nên AKBC là tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm ị góc K = góc B Cho 0,5 điểm Từ đó ta có KC là phân giác của góc IKA Cho 0,5 điểm Chú ý khi học sinh vẽ hình có thể khác cũng cho điểm tương tự. Bài 5: (2 điểm) * Nếu x 0 thì vế phải nhận giá trị dương nên ở khoảng này phương trình vô nghiệm Cho 0,5 điểm * Nếu 0 < x < 1 Ta có vế trái = Cho 0,25 điểm = Cho 0,25 điểm cũng luôn dương nên ở khoảng này phương trình vô nghiệm * Nếu x 1 ta có Vế trái = x (x - 1) + x(x - 1) + x(x - 1) + Cho 0,25 điểm Cũng là số dương nên ở khoảng này phương trình vô ngiệm Cho 0,25 điểm Tóm lại phương trình đã cho vô nghiệm trên tập hợp các số thực R (Cho 0,25 điểm) Chú ý khi chấm: nếu học sinh làm các bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa