Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 năm học 2013 - 2014 môn thi: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2 điểm). a) Rút gọn biểu thức với . b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và . Tính giá trị của biểu thức . Câu 2 (2 điểm). a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình . Câu 3 (2 điểm). a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình . b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn . Chứng minh rằng là số chính phương. Câu 4 (3 điểm). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB. a) Chứng minh b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE. c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R. Câu 5 (1 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . ----------------------Hết------------------------ Họ và tên thi sinh..số báo danh... Chữ ký của giám thị 1..chữ ký của giám thị 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG --------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014 (Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang) Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà kết quả đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa. Câu Nội dung Điểm Câu 1a: (1,0 đ) 0.25 0.25 0.25 = 0.25 Câu 1b: (1,0 đ) 0.25 Vì a > b > 0 nên từ (*) ta có a = 2 b 0.25 Vậy biểu thức 0.25 0.25 Câu 2a: (1,0 đ) Đặt 0.25 ta được phương trình 0.25 Với t = -4 ta có 0.25 Với t =2 ta có . Kết luận nghiệm của phương trình. 0.25 Câu 2b: (1,0 đ) Từ hệ ta có 0.25 0.25 * Với x = y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); ();() 0.25 * Với x = - y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); ();() Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (0; 0); );();();() 0.25 Câu 3a: (1,0 đ) Do y nguyên dương 0.25 Vì 0.25 mà và (Do ) 0.25 *Nếu *Nếu Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: và 0.25 Câu 3b: (1,0 đ) (*) 0.25 Gọi d là ước chung của (a - b, 2a + 2b + 1) (). Thì 0.25 Mà mà 0.25 Do đó (a - b, 2a + 2b + 1) = 1. Từ (*) ta được và là số chính phương => là số chính phương. 0.25 Câu 4a: (1,0 đ) Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O). Ta có sđ (1) 0.25 Có Ax // MH (cùng vuông góc với OA) (2) 0.25 Tứ giác MHOK nội tiếp (cùng chắn ) (3) 0.25 Từ (1), (2), (3) ta có hay 0.25 Câu 4b: (1,0 đ) Có tứ giác AOMD nội tiếp (4) 0.25 sđ;sđ tứ giác AMGO nội tiếp (5) 0.25 Từ (4), (5) ta có 5 điểm A, D, M, G, O cùng nằm trên một đường tròn 0.25 và đồng dạng hay OD.GF = OG.DE. 0.25 Câu 4c: (1,0 đ) Trên đoạn MC lấy điểm A’ sao cho MA’ = MA đều 0.25 Chu vi tam giác MAB là 0.25 Đẳng thức xảy ra khi MC là đường kính của (O) => M là điểm chính giữa cung AM => H là trung điểm đoạn AO Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB 0.25 Gọi I là giao điểm của AO và BC Giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB = 0.25 Câu 5: (1,0 đ) Từ gt : và a,b,c > 0 Chia cả hai vế cho abc > 0 đặt Khi đó 0.25 0.25 0.25 Khi thì C = 17 Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1 0.25