Giáo án Phương phápđặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ

t ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn . Ví dụ 13 : Giải phương trình: 342007342008 2  xxxx Lời giải : ĐK : 4 3x Đặt 034  tx phương trình đã cho trở thành : 020072008 22  txtx Giải ra : tx  hoặc 2008 t x  (loại) * tx  ta có :     3 1 0342 x x xx Vậy 3,1  xx là các nghiệm của phương trình đã cho . Ví dụ 14 : Giải phương trình:   122114 33  xxxx die nd an toa nh oc .ne t 6 Lời giải : ĐK : 1x Đặt 13  xt ,Phương trình đã cho trở thành       012142141212 22  xtxttxxt Phương trình trên đã khá đơn giản !!!!!!! III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích 1. Dùng một ẩn phụ Ví dụ 15 : Giải phương trình: 4 9 2 32  xx (1) Lời giải : ĐK : 2 3x Đặt 0 2 3  tx phương trình (1) trở thành :             2013 0 013 4 9 2 3 3 3 2 2 tt t ttttt (2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I : Đặt  ;0,cos2  ttx để đưa về dạng : 2 1 3cos t Tổng quát: Giải phương trình: 22 aaxx  với a là hắng số cho trước . Ví dụ 16 :Giải phương trình:    16223 323 xxxx  Lời giải : ĐK : 2x Viết lại (1) dưới dạng :      202223 33  xxxx Đặt 02  xt , Khi đó (2) trở thành :               22 2 2 02023 2323 xx xx tx tx txtxtxtx                      322 2 084 0 02 0 2 2 x x xx x xx x Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : 322,2  xx Ví dụ 17 : Giải phương trình : 015  xx Lời giải : ĐK :  6;1x (1) Đặt 01  xt (2) , phương trình đã cho trở thành : 552  tt (3)    05402010 2224  ttttttt Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra : 2 1711x Ví dụ 18 : Giải phương trình:   2112006   xxx Lời giải : ĐK :  1;0x (1) Đặt 101  txt , Khi đó :  222 1,1 txtx  ,phương trình đã cho trở thành :                 010031212007111120061 222222222  tttttttttt Vì 10  t nên 010032  tt Do đó phương trình tương đương với : 101  tt Do vậy 0x (thỏa (1)) die nd an toa nh oc .ne t 7 2. Dùng 2 ẩn phụ . Ví dụ 19 : Giải phương trình: 3912154 22  xxxxx Lời giải : Đặt 12;154 22  xxbxxa    0139 2222  babababaxba                                  65 56 0 3 1 292 39 3 1 01 0 x x x xa xba x ba ba Vậy tập nghiệm của pt là     65 56 ;0; 3 1 S Ví dụ 20 : Giải phương trình:   83232 32  xxx (1) Lời giải : ĐK :     2 12 x x (*) Đặt 2,422  xvxxu ta có : 2322  xxvu Lúc đó (1) trở thành :      vuvuvuuvvu 202232 22  (Do 02  vu ) Tìm x ta giải : 1330462242 22  xxxxxx (Thỏa (*)) Vậy (1) có 2 nghiệm : 1332,1 x Ví dụ 21 : Giải phương trình: 15209145 22  xxxxx Lời giải : ĐK : 5x Chuyển vế rồi bình phương hai vế phương trình mới ,ta có:               045454354215410524951 222  xxxxxxxxxxxxx (2) Đặt 0,,4,542  vuxvxxu ,thì : (2)              056254 095 32 0320532 2 2 22 xx xx vu vu vuvuuvvu Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : 8; 2 615 21   xx Ví dụ 22 : Giải phương trình:      4 24 34 34 2 1111 xxxxxxxx  Lời giải : ĐK : 10  x Đặt :             1 0 0 1 44 4 4 vu v u xv xu Từ phương trình ta được :         1 0 01232322 vu vu vuvuvuvuuvvuvu ( Do 0 vu ) từ đó ta giải ra được các nghiệm : 2 1 ;1;0  xxx 3. Dùng 3 ẩn phụ . Ví dụ 23 : Giải phương trình: 218817 3 23 23  xxxxx die nd an toa nh oc .ne t 8 Lời giải : Đặt 3 23 23 18,8,17  xxcxxbxa ta có :                2818817 182 22333 3 xxxxxcba cbacba Từ (1) và (2) ta có :         033333  accbbacbacba Nên :              ac cb ba accbba 0 từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình :  9;1;0;1S Ví dụ 24 : Giải phương trình: 03492513 3333  xxxx (1) Lời giải : Đặt 333 92,5,13  xcxbxa ,ta có: 34333  xcba khi đó từ (1) ta có :       03333  accbbacbacba Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình : 5 8 ;4;3  xxx IV. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ 1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế . a. Dùng một ẩn phụ . Ví dụ 25 : Giải phương trình: 552  xx Lời giải : ĐK : 5x Đặt 0,5  txt Ta có : 52  tx                                                          2 211 2 211 1 5 0 5 01 5 0 5 5 5 2 2 2 22 2 2 2 x x tx tx tx tx txtx tx xttx tx xt tx Tổng quát: Giải phương trình: aaxx 2 b. Dùng 2 ẩn phụ . * Nội Dung :     cxfbxfa nm  * Cách giải : Đặt :    nm xfbvxfau  , Như vậy ta có hệ :      bavu cvu nm Ví dụ 26 : Giải phương trình: 54057 44  xx (1) Lời giải : ĐK : 5740  x Đặt 44 40,,57  xvxu Khi đó :(1)                  0528102 5 9722 5 97 5 2222244 uvuv vu vuuvvu vu vu vu die nd an toa nh oc .ne t 9                               2 3 3 2 6 5 44 6 5 v u v u uv vu uv uv vu (Do hệ      44 5 uv vu vô nghiệm) Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu . Ví dụ 27 : Giải phương trình: 4 4 2 1 12  xx Lời giải : ĐK : 120  x Đặt :      vx ux 4 12 với      4 120 120 v u (*) Như vậy ta được hệ :                     )1(12 2 1 2 1 12 2 1 4 2 4 4 42 4 vv vu vu vu Giải (1) :(1)    0 2 3 2 4 1 0 2 1 10 2 1 1 2,1 4 2,14 2 2 4 22         vvvvvv Vậy 2,1v thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho . Ví dụ 28 : Giải phương trình:  22 11 4 7 xxx  Lời giải : Đặt :                   (*)1 4 7 1 1 1 4 7 1 4 7 1 1 0 4444 yyy zy yxzy zy xz xy Giải phương trình (*),ta có:                   16 9 0 4 3 0 0 4 3 4 2 x x y y yy 2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng Dạng 1 : Giải phương trình: nn baxabx  Cách giải: Đặt n baxt  ta có hệ :      axbt atbx n n Việc giải hệ này đã trở nên dễ dàng Ví dụ 29 : Giải phương trình: 33 1221  xx Lời giải : Đặt : 3 12  xt ta có hệ :                    02 21 2 21 21 21 22 3 33 3 3 3 txtxtx tx xttx tx xt tx                                     2 51 1 04 011 2 02 21 1 012 2 222 2 22 3 3 x x txxt xxx txtx tx xx tx die nd an toa nh oc .ne t 10 Vậy tập nghiệm của phương trình là :      2 51 ;1S Dạng 2 : Giải phương trình: xaax  Cách giải : Đặt xat  ,phương trình đã cho tương đương với      xat tax Ví dụ 30 : Giải phương trình: xx  20072007 Lời giải : ĐK : 0x Đặt : xt  2007 (1), PT Lấy (3) trừ (2) ta được :    txxtxtxttx  01 (1) 4 802928030 02007  xxx (Do 0x ) Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược : Ví dụ 31 : Giải phương trình: 12222  xxx Lời giải : ĐK : 2 1x Đặt bayx 12 Chọn a, b để hệ :       12 22 2 2 xbay bayxx       1, 2 1 yx (*) là hệ đối xứng . Lấy 1,1  ba ta được hệ :                0 122 122 122 22 2 2 2 yx yxx xyy yxx Giải hệ trên ta được : 22  yx Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương trình là : 22 x Dạng 4 : Nội dung phương pháp : Cho phương trình :     xedxcbax nn với các hệ số thỏa mãn :        bce acd Cách giải : Đặt n baxedy  Ví dụ 32 : Giải phương trình: 77 28 94 2  xx Lời giải : ĐK : 4 9x PT 4 7 2 1 7 28 94 2       xx - Kiểm tra : 4 7 ,0, 2 1 ,1,7, 28 9 , 7 1  edcba (thoả mãn)  Đặt : yyxxyyxyyxy 77 2 1 4 9 4 7 77 28 94 4 1 28 94 2 1 222  (1) die nd an toa nh oc .ne t 11 Mặt khác : xxy 77 2 1 2  (2) Từ (1) và (2) ta có hệ :        xxy yyx 77 2 1 77 2 1 2 2 Đây là hệ đối xứng loại II đã biết cách giải . Ví dụ 33 : Giải phương trình: 3,3362  xxxx Lời giải : PT   363 2  xx - Kiểm tra : 6,0,3,1,1,3,1  edcba Đặt : 36339633 22  yyxxyyxy (1) Mặt khác : 363 2  xxy (2) Từ (1) và (2) ta có hệ :      363 363 2 2 xxy yyx Đến đây đã khá dễ dàng Ví dụ 34 : Giải phương trình: 255336853 233  xxxx Lời giải : PT     232532272.9.33.4.3253 33233  xxxxxxxx - Kiểm tra : 2,1,3,2,1,5,3  edcba (thoả mãn)  Đặt : 3325533685327543685332 23233  yxyyyxyyyxy (1) Mặt khác : 322553368 23  yxxx (2) Từ (1) và (2) ta có hệ :      322553368 332553368 23 23 yxxx yxyyy Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!  Huế , ngày 15 tháng 4 năm 2007