Giáo án Giải tích Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng - Bài 3: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

C3B3 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Trong thực tiễn cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, người ta cần phải tính diện tích của những hình phẳng phức tạp. Chẳng hạn: Khi xây dựng một nhà máy thủy điện, để tính lưu lượng của một dòng sông, ta phải tính thiết diện ngang của dòng sông. Thiết diện đó thường là một hình khá phức tạp. Hình 1: Đập thủy điện Hòa Bình Hoặc là, đơn giản hơn một chút, muốn biết được chi phí để làm những cách cửa hình parabol, ta cần phải tính được diện tích của những cách cửa đó. Hình 2: Nhà thờ Phủ Cam - Huế Trước khi phép tính tích phân ra đời, với mỗi hình và mỗi vật thể như vậy, người ta phải nghĩ ra một cách để tính. Sự ra đời của tích phân cho ta một phương pháp tổng quát để giải hàng loạt những bài toán tính diện tích nói trên. I/. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH Ví dụ 1: Cho đường cong (C):, có đồ thị như hình vẽ bên. a/. Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng . b/. Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và hai đường thẳng * Gợi ý: Tham khảo hoạt động 1 của bài 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , liên tục, trục hoành và hai đường thẳng được tính theo công thức Ví dụ 2: Cho hàm số . Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng Phát biểu nào sau đây là đúng? A. B. C. D. Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong , trục hoành và hai đường thẳng . II/. HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong, trục hoành và hai đường . Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng , trục hoành và các đường thẳng . Ví dụ 6: Tính diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường , . Cho hai hàm số và liên tục trên đoạn . Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường thẳng . Khi đó diện tích S của hình D được tính theo công thức Ví dụ 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số , và hai đường thẳng . Ví dụ 8: Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường , trục tung và đường thẳng , khi đó A. B. C. D. III/. LUYỆN TẬP 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường a). Đường, trục hoành và hai đường thẳng , . b). Đường và trục hoành. c). Đường , . d). Đường cong (C):, tiếp tuyến của đường này tại điểm M(2;5) và trục Oy. e). Đường và . 2. Để tìm diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường một học sinh đã thực hiện các bước như sau: Bước 1: Ta có Bước 2: Suy ra Bước 3: Do đó Lập luận trên sai từ bước nào? A. Bước 1 B. Bước 2 C. Bước 3 D. Không bước nào sai 3. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch sọc trong hình bên dưới) được tính bởi biểu thức nào trong các biểu thức dưới đây? A. B. C. D. 4. Để tính một học sinh đã thực hiện các bước như sau: Bước 1: Đặt , ta được Bước 2: Suy ra S là diện tích nửa hình tròn tâm và có bán kính R = 2 Bước 3: Do đó Lập luận trên sai từ bước nào? A. Bước 1 B. Bước 2 C. Bước 3 D. Không bước nào sai 5. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: và . Với giá trị nào của thì . A. B. C. D. 6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và . 7. Tính diện tích của elip (E): . 8. Cho Parabol (P): và đường tròn (C): . (P) chia (C) thành 2 phần. Tìm tỉ số diện tích của hai phần đó. IV/. ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG 1. Ông An làm một cánh cửa hình parabol chiều cao từ mặt đất là 2,25m; Chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3m; Kinh phí làm cửa là 1 triệu đồng/m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để làm cánh cửa đó? 2. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn là 16m và độ dài trục nhỏ là 10m. Ông muốn trồng hoa trên dãy đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn). 3. Ông An có một mảnh vườn hình chữ nhật ABCD với , và dự định trồng hoa trên dãy đất giới hạn bởi đường trung bình MN và một đường hình sin như hình vẽ bên. Kinh phí trồng hoa là 100.000 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn).