Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán 6 - Năm học 2013-2014

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHỦ LÝ TRƯỜNG THCS KIM BÌNH KÌ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 6 Ngày thi: 04 tháng 3 năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. (4 điểm) a) Tính N = b) So sánh và ; và ; 2225 và 3151 Câu 2. (4 điểm) a)Cho biểu thức : . Tìm giá trị của n để A là một số nguyên b) Chøng tá r»ng lµ ph©n sè tèi gi¶n. c) Chøng minh r»ng : +++...+<1 Câu 3. (3 điểm) a)Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210  + 211 + 212  - Chứng tỏ rằng: A chia hết cho 7. - Tìm chữ số tận cùng của A. b) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3, hái p2+2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè. Câu 4 (2 điểm) : Tìm số tự nhiên x,y biết : a) b) 2x + 624 = 5y Câu 5 (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15. b) Viết thêm chữ số y vào bên phải của một số có 5 chữ số thì được số lớn gấp 3 lần số có được do viết thêm chữ số y vào bên trái số đó. Tìm chữ số y và số có 5 chữ số đó ? Câu 6. (1 điểm) Cho 101 ®­êng th¼ng trong ®ã bÊt cø hai ®­êng th¼ng nµo còng c¾t nhau, kh«ng cã ba ®­êng th¼ng nµo ®ång quy. TÝnh sè giao ®iÓm cña chóng. Câu 7. (2 điểm) Cho góc AOB = 1440. Tia OC là phân giác của góc AOB, vẽ tia OM ở trong góc AOB sao cho góc BOM = 350. a) Tính góc MOC. b) Gọi OB’ là tia đối của tia OB, ON là tia phân giác của góc AOC. Chứng minh OA là phân giác của góc NOB’. ====================================== HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 6 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013-2014 Câu 1. Nội dung cần đạt Thang điểm 1a N = 1b ViÕt ®­îc: vµ V×: nªn hay < 2225 và 3151 Câu 2. Nội dung cần đạt Thang điểm a/ A là phân số khi: n + 1Z , n - 3Z nZ và n - 30 n 3 Vậy A là phân số khi nZ và n 3 A là số nguyên khi n – 3 ÎƯ(4) = => n Î b) Chøng tá r»ng lµ ph©n sè tèi gi¶n. Gọi ƯCLN(12n+1,30n+2)=d Ta có c) Chøng minh r»ng : +++...+<1 Câu 3. Nội dung cần đạt Thang điểm A = (2 + 22 + 23) +(24 + 25 + 26) + (27+ 28+ 29) + (210 + 211+212) A = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + 27.(1+2+22) + 210.(1+2+22) A = 2.7 + 24.7 + 27.7 + 210.7 A = 7.( 2 + 24 + 27 + 210) Suy ra A chia hết cho 7 - Tìm chữ số tận cùng của A. 2A= 20 + 2+ 22 + … + 212  +213 Vậy CSTC của A là 1 b) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3, hái p2+2003 lµ sè nguyªn tè hay hîp sè. Vì p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 Nên p không chia hết cho 3 Nếu p=3k+1 thì Vì không chia hết cho 3 nên p2 không chia hết cho 3 Nên p2 có dạng p2+2003 Là hợp số Nếu p=3k+2 thì p2+2003 Là hợp số Vậy p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 thì p2+2003 Là hợp số Câu 4 (3 điểm) : Câu Nội dung cần đạt Thang điểm 4a b) Nếu x = 0 thì 5y = 20 + 624 = 1 + 624 = 625 = 54 y = 4 ( y N) (0,5 đ) Nếu x 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y N : vô lý (0,25 đ) Vậy: x = 0, y = 4 (0,25 đ) 5 Gọi số tự nhiên phải tìm là x. - Từ giả thiết suy ra và và x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. (0,5 đ) - Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 . (0,5 đ) - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra k = 1 (0,5 đ) x + 20 = 700 x = 680. (0,5 đ) b) Gọi số có 5 chữ số phải tìm là () Ta có Đặt ta có 10x + y = 3. ( 100 000 y + x ) 7x + y = 300 000y 7x = 299 999y x = 42 857y Vì x là số có 5 chữ số nên y chỉ nhận 2 giá trị : y = 1 và y = 2 Nếu y = 1 thì x = 42 857 Nếu y = 2 thì x = 85 714 Nội dung cần đạt Câu6 qua 1 điểm bao giờ cũng vẽ được 1 đường thẳng nên +chọn 1 điểm trong n điểm cho trước( trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng) thì ta sẽ vẽ được n đường thẳng + n-1 điểm thì ta sẽ vẽ được n-1 đường thẳng. Nhưng số điểm đã được tính 2 lần nên số đường thẳng thực tế tạo thành là Nếu có 108 đường thẳng thì ta có Vậy có 15 điểm Thang điểm A B’ O B M C N Câu 7 a, Vì OC là tia phân giác của góc AOB nên Lập luận để có tia OM nằm giữa hai tia OB, OC. Từ đó = 720 -350 = 370 b, Ta có = 1800 - = 1800 – 1440 = 360 = Tia OA nằm giữa hai tia ON và OB’. Vậy tia OA là tia phân giác của góc NOB’