Đề thi chọn học sinh năng khiếu cấp huyện năm học 2013 - 2014 môn: toán lớp 8

ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN Năm học 2013 - 2014 Môn: TOÁN lớp 8 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 Cho biểu thức: P = a/ Rút gọn biểu thức P. b/ Tìm các cặp số nguyên (x;y) để P = 12. Bài 2. a/ Chứng minh rằng: Nếu a3 + b3 3 thì a + b 3 (với mọi a, b là số nguyên). b/ Tìm số hữu tỷ x để A = có giá trị là số chính phương. Bài 3. a/ Giải phương trình: (1) b/ Cho = = và a + b + c = a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh: xy + yz + zx = 0 Bài 4. Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) tùy ý qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC thứ tự tại E, F. a/ Chứng minh rằng nếu (d) song song với BC thì GE = GF. b/ Chứng minh: 1/ 2/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AEF. Bài 5. Cho 6 số dương a, b, c, d, e, f thỏa mãn: a6 + b6 + c6 + d6 + e6 + f6 = 6.abcdef (1) Chứng minh rằng: a = b = c = d = e =f ----------------------------------------Hết-------------------------------------- Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH §¸p ¸n KỲ THI CHỌN HSNK Năm học 2013-2014 Môn: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 Cho biểu thức:P = a/Rút gọn biểu thức P b/Tìm các cặp số nguyên (x;y) để P= 12 Phần Hướng dẫn chấm a/ ĐKXĐ: x-1;y1;x+y0 Rút gọn được P = xy+x-y b/ P=12 ó xy+x-y =12 ó (x-1)(y+1) =11 (1) Vì :11 =1.11 =(-1)(-11) Lập bảng giá trị ta tìm được (x ;y) =(2 ;10);(12;0);(0;-12);(-10 ;-2) Bài 2. a/Chứng minh rằng: Nếu a3+b3 3 Thì a+b 3 (với mọi a,b là số nguyên) b/Tìm số hữu tỷ x để A = có giá trị là số chính phương. Phần Lời giải sơ lược a/ Xét hiệu: (a3+b3 )–(a+b) =[(a-1)a(a+1) +(b-1)b(b+1)] 3 (1) Vì a3+b3 3 kết hợp (1) suy ra a+b 3 (với mọi a,b là số nguyên) b/ Từ giả thiết suy ra A >0 ;Biến đổi ta có x2 = 0 (vì x20) Và A >0 => 0<A10 ,A chính phương ,nên A{1;4;9} Từ đó tìm được x{3;-3;;} Bài 3 a/Giải phương trình: (1) b/Cho = = và a+b+c = a2+b2+c2 =1. Chứng minh: xy + yz + zx = 0 Phần Lời giải sơ lược a/ ĐKXĐ:x{1;2;-1;-2} Pt (1) ó ó (2) đặt x2 = a {1;4};a0 4a2 -65a +16 = 0 ó (4a-1)(a-16)=0 ó a= 16; a= Tìm được tập nghiệm S= {-4;4;;} b/ Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có: (do a+b+c=1)=> =(x+y+z)2 (1) Mặt khác (2) Từ (1) và (2) ta có :xy+yz+zx =0 Bài 4 Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) tùy ý qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt cạnh AB, AC thứ tự tại E,F. a/ Chứng minh rằng nếu (d) song song với BC thì GE = GF b/ Chứng minh: 1/ 2/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác AEF Phần Lời giải sơ lược a/ Vì EF//BC áp dụng hệ quả Ta lét ta có (1) ; (2) Và MB =MC (3) Từ (1 ;2 ;3) suy ra GE = GF b/ 1/ 2/ 1/ Kẻ BI;CK lần lượt song song với AM (I;K thuộc (d)) -Khi đó MG là đường trung bình hình thang BIKC =>BI + CK = 2MG (1) - Áp dụng hệ quả Ta lét ta có: => (2) (3) Từ (1 ;2 ;3) suy ra : 2/Áp dụng kết quả b/ ta đặt =x => =3-x (1x2) Ta có :T= (vì theo HQ Ta lét ta có :) T = x(3-x) =(x-1)(2-x) +2 2 .Dấu ‘=’ khi x = 1 hoặc x=2 Vậy Max SAEF = khi E trùng B hoặc F trùng C Bài 5 Cho 6 số dương a,b,c,d,e,f thỏa mãn: a6 +b6+c6+d6+e6+f6 = 6.abcdef (1) Chứng minh rằng : a = b = c = d = e =f Lời giải sơ lược Từ giả thiết ta có (a3-b3)2+(c3-d3)2+(e3-f3)2+2(a3b3+c3d3+e3f3 -3abcdef) =0 (1) -Áp dụng công thức: 2(x3+y3+z3-3xyz )=(x+y+z)[(x-y)2+(z-y)2+(x-z)2] Ta có : 2(a3b3+c3d3+e3f3 -3abcdef) = (ab+dc+ef)[(ab-cd)2+(cd-ef)2+(ef-ab)2] 0 (2) (vì a,b,c,d,e,f dương ) - Vì a,b,c,d,e,f dương nên từ (1);(2) suy ra vế trái của (1) VT= (a3-b3)2+(c3-d3)2+(e3-f3)2+(ab+dc+ef)[(ab-cd)2+(cd-ef)2+(ef-ab)2] 0 Dấu ‘=’ giải ra ta được a=b=c=d=e=f