Đề 10 thi học sinh giỏi toán lớp 8

Bài 1: (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3. x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: . Bài 3: (3 điểm) Tìm x biết: . Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6: (4 điểm) Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: . Chứng minh rằng: . Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tính độ dài đoạn BD. Một lời giải: Bài 1: a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3 = = = = 3 = 3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = = = . Bài 2: Bài 3: . ĐKXĐ: . Đặt a = x – 2010 (a 0), ta có hệ thức: (thoả ĐK) Suy ra x = hoặc x = (thoả ĐK) Vậy x = và x = là giá trị cần tìm. Bài 4: = Vậy giá trị nhỏ nhất của A là – 335 khi x = – 3. Bài 5: a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của . b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là hình chiếu vuông góc của A lên BC. Bài 6: a) Đặt . Ta có (*) Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF. (1) Ta có (2) (1) & (2) (**) (*) & (**) . b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: s , s s (3) Ta lại có CD + BD = 8 (4) (3) & (4) BD = 2,5