Chuyên đề góc với đường tròn - Phòng giáo dục đào tạo Trà Ôn

Chuyên đề GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN · C A. KIẾN THỨC I. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN 1. Góc ở tâm a) Định nghĩa: Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn. = sđ b) Định lí: Nếu C là một điểm nằmh trên cung AB thì: sđ= sđ+ sđ 2.Góc nội tiếp a) Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc có: · Đỉnh nằm trên đường tròn · Hai cạnh chứa 2 dây cung của đtròn đó Cungnằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. b) Định lí: Trong một đường tròn Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn sđ c) Hệ quả : Trong một đường tròn: - các gnt bằng nhau chắn các cung bằng nhau. - Các gnt cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau. - Góc ntiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có sđo bằng nửa sđo góc ở tâm cùng chắn một cung. - Góc ntiếp chắn nửa đtròn là góc vuông. 3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung a) Định nghĩa: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc: - Có đỉnh nằm trên đtròn - Một cạnh là 1 tia t.tuyến - Cạnh kia chứa dây cung b) Định lí: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến với cung bằng nửa số đo cung bị chắn. = sđ c) Hệ quả : Trong một đtròn góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và d/c cùng chắn một cung thì bằng nhau 4. Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn = ( sđ+ sđ ) = ( sđ- sđ ) II. LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY C D AB = CD Û A AB > CD Û B AB^MN tại I IM = IN III. TỨ GIÁC NỘI TIẾP IV. ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRÒN – CUNG TRÒN Độ dài đường tròn C có bán kính R là: C = 2pR Hay C = pd (d là đường kính p » 3,14 ) Trên đường tròn có bán kính R, độ dài l của cung n0 được tính bằng công thức: l = V. DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN – HÌNH QUẠT TRÒN Diện tích hình tròn có bán kính R là: S = pR2 Diện tích hình quạt tròn có bk R và cung n0 được tính như sau: S = hay S = B. BÀI TẬP ÔN TẬP Bài tập 1: Cho DABC có 3 góc nhọn, hai đường cao BM, CN cắt nhau tại H a) cm tgBNCM nội tiếp được trong (O), xác định O b) cm AH vuông góc BC tại P c) cm tg ACPM nội tiếp Hướng dẫn a) Ta có = 900 (gt) Þ N,M thuộc đ.tròn đ.kính BC Hay tg BNCM nt đtròn tâm O là trung điểm BC b) Do H là trực tâm tam giác Þ AH là đ/cao thứ 3 Þ AH^BC tại P c) Ta có = 900 (gt) Þ N,P thuộc đ.tròn đ.kính AC Hay tg ANPC nt đtròn Bài tập 2 : Cho DABC vuông tại A và điểm I trên AC. Đường tròn ddk IC cắt BC ở E và cắt BI ở D (D¹I) a) chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp b) chứng minh DB là p.giác góc ADE c) chứng minh AB, CD, EI đồng qui Hướng dẫn a) Þ tứ giác ABCD nội tiếp b) Chứng minh: = = Þ = Hay DB là p.giác góc ADE c) Chứng minh AB, CD, EI là ba đường cao của DBIC Bài 3: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn AB lấy điểm M ( khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến của đường tròn (O) tại N ở điểm P. Chứng minh : a/. Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn. b/. Tứ giác CMPO là hình bình hành. c/. Tích CM.CN không đổi. M Hướng dẫn a/. Ta có: Tứ giác OMNP nội tiếp được một đường tròn b/. Ta có: (sđ + sđ ) và (sđ+ sđ ) Do đó: = (1) Ta lại có: = ( cùng bù với ) (2) Từ (1), (2)= Mà , ở vị trí so le trong. =>CM // OP (3) Mặt khác: PM // CO ( Cùng vuông góc với AB) (4) Từ (3), (4) CMPO là hình bình hành ( Tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song c/. Chứng minh tích CM.CN không đổi: Ta có: ( góc nội tiếp chắn cung nửa đường tròn) Nên ta chứng minh được: (g.g) Hay CM.CN = CO. CD = R.2R= 2R Mà R không đổi 2R không đổi Nên: CM.CN không đổi (đpcm) Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC = 2R, một điểm A trên nửa đường tròn ấy sao cho BA = R. Lấy M là một điểm trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D. a/. Chứng minh: DI BC. b/. Chứng minh tứ giác AIMD nội tiếp được một đường tròn. c/. Giả sử .Tính độ dài AD theo R và diện tích hình quạt AOM. M Hướng dẫn a/. Chứng minh : DI BC: Ta có: CA BD (1) BM CD (2) Từ (1), (2)I là trực tâm BDC DI là đường cao thứ ba BDC Nên DI BC b/ Ta có: ( CA BD ) Và ( BM CD ) + + Nên: Tứ giác AIMD nội tiếp một đ tròn c/. Tính độ dài AD. Diện tích hình quạt AOM: *Tính AD: Nếu thì vuông cân tại A AB = AI = R Xét ADI vuông tại A ,ta có: ( 2góc nội tiếp cùng chắn cung AI) Mà sđ= ( sđ góc nội tiếp,và đều) Nên: Vậy : Tam giác ADI là nửa tam giác đều. ID = 2R Lúc đó: AD = (đvđd) * Tính S hình quạt AOM: Ta có: S =, với n = Bài tập 5: Cho hình vuông có cạnh bằng a. Gọi E là trung điểm của BC. Vẽ BH vuông góc DE (H thuộc DE), đường thẳng BH cắt DC ở K. a) Chứng minh tứ giác DCHB nội tiếp b) Tính số đo góc CHK ? c) AH cắt BD tại M. chứng minh MH.MA = MB.MD d) Tính EH theo a Hướng dẫn a) Chứng minh: = 900 = 900 Þ tứ giác DCHB nội tiếp b) Chứng minh: = 450 c) Chứng minh tứ giác DBDH nội tiếp Chứng minh DMAB∽DMDH Þ MH.MA = MB.MD d) Tính ED = Chứng minh DBHE∽DDCE Þ Þ HE = ? Bài tập 6: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=R, bán kính OC^AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung BC và N là giao điểm của AM với OC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MNOB nội tiếp, xác định tâm và vẽ đường tròn này. b) AM.AN = 2R2 c) DMNB vuông cân Hướng dẫn a) Chứng minh: = 900 = 900 Þ tứ giác MNOB nội tiếp b) Chứng minh DMAB∽DOAN Þ Þ AM.AN = = OA.AB= 2R2 c) Chứng minh = sđ = sđ = 450 Þ DMNB vuông cân C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho DABC vuông tại A (AB > AC) đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E, vẽ nửa đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật. Chứng minh Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp. d) Biết = 300 ; BH = 4 cm. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây BE và cung BE. Bài 2: Cho ∆ABC . Hai đường cao BD và CE. a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Kẻ tiếp tuyến xAy với đường tròn (O). chứng minh c) Chứng minh OA ^ DE Bài 3: Cho nửa đường trịn tm O đường kính AB. Gọi C l điểm nằm trn OA, đường thẳng qua C vuơng góc với AB cắt (O) ở P và Q. Típ tuýn của (O) tại D trn cung nhỏ BP cắt PQ ở E; AD cắt PQ ở F. Chứng minh rằng: a. Tứ gic BCFD nội tiếp b. ED = EF c. ED2 = EQ.EP Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC có 3 đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H a. Chứng minh tứ giác CDHE nợi típ đường tròn tm O. Xác định O b. Chứng minh c. Chứng minh DA là phn giác của góc EDF Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D thuộc đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh: Tứ giác CBMD nội tiếp Hai tam giác ACD và BDN đồng dạng DB.DC = DN.AC Bài 6: Cho (O) đường kính AB. Gọi C là một điểm thuộc OA, đường thẳng qua C vuông góc AB cắt (O) ở P và Q. Tiếp tuyến của (O) tại D trên cung nhỏ BP cắt PQ ở E, AD cắt PQ ở F. Chứng minh: tứ giác BCFD nội tiếp. ED = EF Hai tam giác EDP và EQD đồng dạng, suy ra ED2 = EQ.EP