Bài giảng môn Đại số 8 - Một số bài toán về chứng minh đẳng thức tỷ lệ thức

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỶ LỆ THỨC Phương pháp thực hiện: A M B C N a Sử dụng định lý Ta – let và hệ quả: GT ABC; a // BC  ; KL ; ; B D’ E C A D Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác: GT : AD, AD’ lần lượt là tia phân giác trong và ngoài của () KL ka kb B’ C’ A’ B C A c b a kc Chứng minh tam giác đồng dạng: B c A b a Trường hợp thứ nhất (c-c-c): GT ABC & A'B'C' KL A'B'C' ~ ABC kc C’ A’ kb B’ ka C A C B c b B’ A’ C’ kb kc Trường hợp thứ hai (c-g-c): GT & (1) ; (2) KL A B C A’ C’ B’ Trường hợp thứ ba (g-g): GT ABC & A'B'C ; KL ABC ~ A'B'C Các ví dụ: Bài 1[20, 39]. Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: ; Đường thẳng a đi qua O và song song với cạnh đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng . Đường thẳng qua O, vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K. Chứng minh rằng: . B A D C O E F H K Hướng dẫn: Ta có: (ABCD là hình thang) nên (theo hệ quả của định lý Ta – lét). Do đó: . Cách khác: Xét hai tam giác và có: (hai góc đối đỉnh) (hai góc so le trong vì AB//CD). Suy ra: (trường hợp g-g). Do đó: (đpcm). Do EF//AB//CD nên theo định lý Ta – let, ta có: ; mà nên. Suy ra: OE=OF (hay O là trung điểm EF). Xét hai tam giác vuông và có: (cùng bằng 900) (hai góc so le trong) Suy ra: . Do đó: . Theo kết quả trên: . Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm). B H A C D E Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng: a.; b. ; c. ; d. Kẻ ; . Chứng minh rằng: . Hướng dẫn: Hai tam giác vuông và có chung nên . Suy ra hay . Ta có (chứng minh trên). Suy ra: . Do đó: . Cách khác: nên . Ta có: và . Từ đó: . Hai tam giác vuông và có nên . Suy ra: . Vậy . Ta có tứ giác ADHE là hình chữ nhật (). Hơn nữa: (tính chất hình chữ nhật); (cùng phụ với ) nên . Xét và có chung; (cmt) nên . Suy ra: hay (đpcm). D C F B A E H Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF, trực tâm H. Chứng minh rằng: ; ; ; . Hướng dẫn: Hai tam giác vuông và có chung nên . Suy ra: . Do đó: . Tương tự câu a) ta cũng có: nên . Từ đó: . Xét tam giác AFH và tam giác ABD có: ; (cùng phụ với) nên . Suy ra: hay . Xét tam giác AHE và tam giác BHD có: ; (hai góc đối đỉnh) nên . Suy ra: hay (1). Chứng minh tương tự ta có: (2). Từ (1) và (2) ta có: (đpcm). Bài 4. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, kẻ phân giác ME của (E thuộc AB); phân giác MF của (F thuộc AC). Chứng minh rằng: C F M B E A ; b.. Hướng dẫn: Ta có là phân giác của , nên: . Tương tự: là phân giác của , nên: . Nhân vế với vế của (1) và (2), ta có: (do ) Ta có là phân giác của , nên: và là phân giác của , nên: . Do đó: . (Cách khác: Do nên ). Theo định lý Ta–lét, ta có: . B’ B C a A C’ Bài 5 [4]. Cho biết: . Chứng minh rằng: ; b. . Hướng dẫn: Theo giả thiết ta có: . Theo tính chất của tỉ lệ thức (trừ các mẫu cho tử tương ứng và giữ nguyên tử) ta có: hay (đpcm). Theo giả thiết ta có: . Theo tính chất của tỉ lệ thức (trừ các mẫu cho tử tương ứng và giữ nguyên mẫu) ta có: hay (đpcm). Bài 6 [10/SGK– T63]. Cho tam giác có đường cao . Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB, AC và đường cao theo thứ tự tại các điểm B’, C’, H’. Chứng minh rằng: ; Áp dụng: Cho biết và diện tích tam giác ABC là 67,5cm2. Tính diện tích tam giác . Hướng dẫn: B’ H d A B C C’ H’ Vì d//BC nên theo hệ quả của định lý Ta – let ta có: Xét . Theo định lý Ta – lét ta có: Từ các hệ thức (1) và (2), suy ra: .  ; Theo giả thiết ở câu b): . Từ tỉ lệ thức (3), ta cũng có: . Suy ra: . Vậy . Bài 7 [19/SGK– T68]. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Đường thẳng a song song với CD, cắt các cạnh AD, BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng: ; b. ; c. . Giải: Kẻ đường chéo , . Xét có nên theo định lý Ta – let:. Xét có nên theo định lý Ta – let: . Từ các tỉ lệ thức (1) và (2), ta suy ra: . Tương tự như trên, xét có và có . Ta có: ; . Suy ra . ; . Suy ra . Qua bài toán trên, ta rút ra nhận xét tổng quát sau: + Nếu một đường thẳng song song với cạnh đáy của hình thang và cắt hai cạnh bên thì nó định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. + Muốn chứng minh các mệnh đề ở bài tập trên, ta vẽ thêm một đường chéo rồi áp dụng định lý Ta – let trong tam giác để xét các tỉ số bằng nhau có liên quan.