Bài giảng Đại số 11 - Một số phương pháp tìm giới hạn của một hàm số

=limx→11x+3+2+limx→1-1+x4+233x2+5+33x2+52=14-212=112 b) limx→137+x3-3+x2x-1=limx→137+x3-2x-1+limx→12-3+x2x-1 =limx→1x2+x+14+237+x3+37+x32+limx→1-11+x2+3+x2=312-24=-14 Ví dụ 5. Tìm giới hạn sau : limx→01+2x-31+3xx2 Giải : Ta thêm ,bớt một hàm số h(x)=1+x ,với h(0)=1. Khi đó limx→01+2x-31+3xx2=limx→01+2x-1+xx2-limx→031+3x-1+xx2 =limx→0-11+2x+1+x-limx→0x+31+x2+1+x31+3x+31+3x2=-12+1 5 Để tìm giới hạn : limx→x0u(x)v(x) Khi u(x) hoặc v(x) chứa các căn thức không cùng chỉ số .( với căn có chỉ số cao hơn 3- từ 4 trở đi ). Ta đổi biến số bằng cách đặt u=nf(x)⟹fx=un;khi x→x0 ;u→u0 Chuyển giới hạn đã cho từ biến x trở thành biến u với giới hạn mới có thể áp dụng các định lý và quy tắc tìm giới hạn là có thể tìm được ngay . Ví dụ1: minh hoạ ( ĐH-SP II-99). Tìm giới hạn sau : limx→142x-1+5x-2x-1 Bài giải : Ta có : limx→142x-1+5x-2x-1=limx→142x-1-1x-1+limx→11+5x-2x-1 Đặt : u=42x-1⇒u4=2x-1⟺x-1=u4-12 ;Khi x→1;u→1 ⟹limx→142x-1-1x-1⟺limu→12u-1u4-1=limu→12u+1u2+1=12 Đặt : v=5x-2⟹v5=x-2 ;x-1=v5+1 ;Khi x→1 ;v→-1 ⟹limx→11+5x-2x-1⟺limv→-11+vv5+1=limv→-11v4-v3+v2-v+1=15 Vậy : limx→142x-1+5x-2x-1=12+15=710 Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau A= limx→7x+2-3x+204x+9-54x+4; B=limx→138x6+19-4x4+5x-1 Bài giải : A=limx→7x-7+32-3x-7-3x-7+33-3x-74x-7+24-2x-7-54x-7+25-2x-7=16-127132-120=-56081 B=limx→138x6-1+27-3x6-1.x6-1x-1-4x4-1+9-3x4-1.x4-1x-1x-1+1-1x-1 Khi : limx→138x6-1+33-3x6-1=827; limx→1x6-1x-1=6 ; limx→14x4-1+32-3x4-1=23 ; limx→1x4-1x-1=4 ; limx→1x-1+1-1x-1=12; ⟹B=-169 6 Phần nâng cao . Áp dụng giới hạn : limx→0sinxx=1⟺limax→0sinaxax=1 Nếu giới hạn đã cho chứa các hàm số lượng giác , bằng cách biến đổi lượng giác ,ta biến đổi hàm số cần tìm giới hạn sao cho sử dụng được giới hạn trên. Nếu hàm số tìm giới hạn chứa hỗn hợp cả cằn thức +lượng giác ,hay đa thức với lượng giác thì ta phải thêm hay bớt hoặc tách giới hạn đó thành hai giới hạn sao cho hai giới hạn này có thể tìm được ngay bằng các định lý và quy tắc tìm giới hạn đã biết . Ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau a) limx→01-2x+1+sinx3x+4-2-x; b) limx→01-2x2+11-cosx Bài giải : a) limx→01-2x+13x+4-2-x+limx→0sinx3x+4-2-x =limx→023x+4+2+x1+2x+1(x+1)-limx→0sinxx.3x+4+2+xx+1=-8 b) limx→01-2x2+11-cosx=limx→0-41+2x2+1sinx2x22=-2 Ví dụ 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau. a) limx→5sinx-53-x2-16; b)limx→0cos4x-sin4x-1x2+1-1 Bài giải : a) Dat t=x-5 ⟹Khi x→5;t→0 ;x=t+5 ; x2=t2+10t+25 Vậy : limx→5sinx-53-x2-16⟺limt→0sint3-t2+10t+9=limt→0-sintt.3+t2+10t+9t+10=-35 b)limx→0cos4x-sin4x-1x2+1-1=limx→0-2sin2xx2.x2+1+1=-4 III.Phần bài tập tự luyện Bài 1. Tìm các giới hạn sau a) limx→2x-x+24x+1-3 98; b) limx→01-31-x3x 19 c) limx→13x-2+31-x-x2x2-1 13 d) limx→-13x+1x2+3-2 -23 Bài 2. Tìm các giới hạn sau a) limx→+∞x-2x-31-2x -∞; b) limx→-1x+16x2+3+3x 1 c) limx→∞x33x2-4-x23x+2 29; d) limx→74x+9-2x-7 132 Bài 3. Tìm các giới hạn sau a) limx→+∞x-x2+5x 52; b) limx→-∞x2-x-x2+1 12 c) limx→+∞3x3+1-x 0; d) limx→+∞x23x3+1-x 13 Bài 4. Tìm các giới hạn sau a) limx→12x2-1-1x-1 -12; b) limx→111-x-31-x3 -1 c) limx→0x+9+x+16-7x 7136; d) limx→13x2-23x+1x-12 19 Bài 5. Tìm giới hạn của các hàm số sau a) limx→131+x-1-xx 56; b) limx→0x+1+x+4-3x 14 c) limx→22x+5-7+xx2-2x 12; d) limx→-234x+2x+2 13 III. Sử dụng định nghĩa đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số Theo định nghĩa đạo hàm : "Cho hàm số y= f(x) có D=(a;b)x0 là một giá trị thuộc D . Giới hạn của tỷ số limx→x0fx-f(x0)x-x0=f'x0 . Gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0. Nếu hàm số f=f(x) tồn tại đạo hàm tại điểm x0 : f'(x0)≠ 0 , thì : limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f'(x)g'(x) Một số công thức tính đạo hàm cần biết : nf(x)'=f'(x)n..nf(x)n-1; f(x)g(x)'=f'x.gx-fx.g'(x)g2(x) ; fn(x)'=nfn-1xf'(x) Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. (ĐH-Thuỷ lợi -KA-2001).Tìm giới hạn sau I=limx→01+2x-31+3xx2 Bài giải : limx→01+2x-31+3xx2=limx→01+2x-1x2-limx→031+3x-1x2 =limx→02x1+2x+1-limx→03x31+3x2+31+3x+1 =limx→021+2x+1-1x-0-limx→0331+3x2+31+3x+1-1x-0 =limx→0fx-f(0)x-0-limx→0gx-g(0)x-0=f'0-g'0(*) Với : fx21+2x+1⟹f0=1 ;gx=331+3x2+31+3x+1 ⇒g0=1 f'x=-21+2x1+2x+12;f'0=-12 ;g'x=-3231+3x2+31+3x31+3x231+3x2+31+3x+1⟹g'0=-1⟹I=12 Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau a)A= limx→031-x-1x; b)B= limx→132x-1-3x-2x2-1 c) C= limx→0n1+3x-1x; d) D= limx→031+x2-41-2xx+x2 Bài giải a)limx→0 31-x-1x=limx→0fx-f(0)x-0;fx=31-x⟹f'x=-1331-x2 ⟺f'0=-13=limx→0fx-f(0)x-0=limx→0 31-x-1x b) fx=32x-1-3x-2⟹f'x=2332x-12-323x-2;f1=0 ⟹B=limx→11x+1fx-f(1)x-1=12f'1=1223-32=-512 c) fx=n1+3x⟹f'x=3n(1+3x)n1+3x⟺f'0=3n;f0=1 ⟹C=limx→0 fx-f(0)x-0=f'0=3n d) fx=31+x2-41-2x⟹f'x=2x331+x22--2441-2x3 ⟹f'0=12⟺D=limx→01x+1limx→0fx-f(0)x-0=f'0=1.12=12. Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau a) A=limx→132x-1-11-2-x2; b) B= limx→02x+1-3x2+1sinx c) C=limx→1326x3+1-480x4+1x-1 Bài giải a) fx=32x-1⟹f'x=2332x-12⟺f'1=23;f1=1 gx=2-x2⟹g'x=-x2-x2⟺g'1=1;g1=1 ⟹A=lim-x→1fx-1gx-1=limx→1-fx-f(1)x-1gx-g(1)x-1=f'(1)-g'(1)=-23 b) fx=2x+1-3x2+1⇒f'x=12x+1-2x33x2+12 ⟺f'0=1;gx=sinx ⟹g'x=cosx ⟺g'0=1 ⇒B=limx→0fx-0gx-0=limx→0fx-f(0)x-0gx-g(0)x-0=f'(0)g'(0)=11=1 c) fx=326x3+1-480x4+1⇒f'x=26x2326x3+12-80x3480x4+13 ⟹f'1=-227 ;gx=x-1⟹g'x=12x⟺g'1=12 ;g1=0 ⇒C=limx→1fx-f(1)gx-g(1)=fx-f(1)x-1gx-g(1)x-1=f'(1)g'(1)=-227.21=-427 * Chú ý : Có thể sử dụng một số kết quả sau để tìm giới hạn Kết quả 1. Tìm giới hạn sau limx0n1+ax-1x ;Tổng quát : limx→0a2x+1.3a3x+1.4a4x+1.nanx+1-1x Tìm giới hạn B=limx→0a2x+1.3a3x+1.4a4x+1x a) Tìm A=limx→0n1+ax-1x. Đặt t=n1+ax ⟹tn-1=ax⟺x=t-1a. Khi x→0 thì t→1;fx=n1+ax-1x⟹A=limx→1atn-1+tn-2++t+1=an Từ phân tích : abc-1= (abc-ab)+(ab-a)+(a-1)=ab(c-1)+a(b-1)+(a-1). (1) Cho nên : abcx=ab.c-1x+ab-1x+a-1x.Nếu coi a2x+1=a;b=3a3x+1;c= c=4a4x+1, thì :B=a22+a33+a44 Tổng quát :C=a22+a33+a44+.+ann Ví dụ . Tìm giới hạn sau A=limx→0ax+13bx+14cx+1-1x Bài giải : Do (1) Ta cĩ fx=ax+13bx+14cx+1-1x+ax+13bx+1-1x+ax+1-1x Nên A=limx→0fx=c4+b3+a2 Kết quả 2 .Tìm giới hạn sau B=limx→0naux+bn-bu(x).với limx→0ux=0;Khi đĩ B= anbn-1 Chứng minh tương tự kết quả 1. Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau B= limx→7x+2-3x+204x+9-54x+4 Bài giải : Ta cĩ B=limx→7x-7+32x-7-3x-7+33x-74x-7+24x-7-54x-7+25x-4= 16-127132-120=-56081 Ví dụ 2 : Tìm giới hạn sau :C=limx→138x6+19-4x4+5x-1 Bài giải : Ta cĩ ;C= limx→138x6-1+33-3x6-1.x6-1x-1-4x4-1+32-3x4-1.x4-1x-1x-1+1x-1 Với limx→138x6-1+33-3x6-1=827; limx→1x6-1x-1=6; limx→14x4-1+32-3x4-1=23 limx→1x4-1x-1=4 và limx→1x-1+1x-1=12.Cho nên C=-169 Một số bài tập tự luyện Bài 1. Tìm giới hạn của các hàm số sau a) A=limx→2x3-2x2-4x+8x4-8x2+16; b) B= limx→01+x5-1+5xx2+x5 Bài 2. Tìm giới hạn của các hàm số sau a) A= limx→axn-an-nan-1x-ax-a2; B= limx→01+mxn-1+nxmx2 Bài 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau a) limx→0n1+ax-1x; b) limx→ax-a-a-bx2-a2 c) limx→0n1+ax-m1+bxx Bài 4. Tìm giới hạn của các hàm số sau a) limx→01+4x31+6x41+8x51+10x-1x; b) limx→02x-1-3x2+1sinx c) limx→0327x3+1-481x4+1x-1 BÀI TẬP THAM KHẢO - ĐỂ LUYỆN TẬP .Bài 1. Dùng định nghĩa, CMR: a) b) c) Bài 2. Tìm các giới hạn sau a) b) c) d) e) f) g) j) h) k) Dạng vô định Tìm các giới hạn sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) k) 2. Tìm các giới hạn sau: A = B = D = C = E = G = H = L = I = J = N = O = F = P = Q = R = M = 3. Tìm các giới hạn sau: a) b) c) e) f) g) d) h) 0) i) j) k) o) p) x) n) q) r) s) t) v) w) 4. Tính các giới hạn sau: a. b. c. d. e. f. Dạng vô định 1. Tìm các giới hạn sau: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) l) k) m) n) o) p) q) r) s) t) Giới hạn một bên 1. Tìm các giới hạn sau a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) g) h) i) 2. Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái của hs f(x) tại xo và xét xem hàm số có giới hạn tại xo không ? 3. Tìm A để hàm số sau có giới hạn tại xo: a) với x0 = 1 b) với x0 = 3 Giới hạn hàm lượng giác 1. Tính các giới hạn sau: a) b) c) d) e) f) g) h) D¹ng 1: x ® a Bµi 1: Thay vµo lu«n. 1) 2) 3) 4) 5) 6) Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tư. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) Bµi 3: Nh©n l­ỵng liªn hỵp (cã mét c¨n bËc hai) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) (n ỴN, n ³ 2) 13) 14) 15) 16) 17) Bµi 4: Nh©n l­ỵng liªn hỵp (cã hai c¨n bËc hai) 1) 2) 3) 4) (a > 0) 5) 6) 7) 10) 8) 9) Bµi 5: Nh©n l­ỵng liªn hỵp (cã mét c¨n bËc ba) a) b) c) d) Bµi 6: Nh©n l­ỵng liªn hỵp (c¶ tư vµ mÉu) 1) 2) 3) 4) 5) 9) 6) 7) 8) Bµi 7: Nh©n l­ỵng liªn hỵp (cã c¶ c¨n bËc hai vµ c¨n bËc ba) 1) (§HQG – KA 97) 2) 3) 4) 5) 6) 7) D¹ng 2: Giíi h¹n mét bªn 1) 2) 3) 4) . 5) . T×m ; 6). T×m ; 7) 8) . T×m m ®Ĩ hµm sè cã giíi h¹n t¹i x = 2. 9) . T×m ; 10) 11) D¹ng 3: x ® ¥: Cã c¸c d¹ng v« ®Þnh: ¥ - ¥ ; 0x¥ ; . Khi ®ã chĩng ta ph¶i khư: Chĩ ý: Khi x ® -¥ hoỈc x ® +¥ mµ chia cho x th× ph¶i chĩ ý tíi dÊu. 1) 2) 3) 6) 4) 5) 7) 8) 9) 15) 10) 11) 12) 18) 13) 14) 16) 17) 19) 20) 21) 24) 22) 23) 25) 26) 27) D¹ng 4: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 17) 15) 16) 18) 19) 20) 21) 24) 22) 23) 25) (GHN’00) 26) 27) 28) 29) 30) (QG–KB 97) 31) 34) (SPHN ‘00) 32) 33) 35) 36) 37) 38) 39) (TM’99) 40) (HH’00)41) (DLHP’00) 42) 43) 44) 45) 46) 50) 47) 48) 49) 51) 52) 53) (a ¹0) 55) 56) 57) 58) 59) 54) 60) 61) 62) 63)