Sáng kiến kinh nghiệm: Phương pháp giải các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số

B = axB+ b Giải hệ trên ta tìm được a và b Thay a và b vào PT(d) được PT của (d) cần tìm. * Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc với đường cong (P) có PT: y = f(x) Lời giải Phương trình tổng quát của (d) có dạng: y = kx + b Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là f(x) = kx + b (1) Vì (d) tiếp xúc với (P) nên PT(1) có nghiệm kép. Từ điều kiện này ta tìm được b và suy ra PT của (d) * Bài toán 4: Lập PT của đường thẳng (d) đi qua A( xA, yA), tiếp xúc với đường cong P: y = f(x) và song song với đồ thị hàm số: y = kx +m Giải: Ta đưa bài toán này về dạng bài 3 và 4 vì (d) song song với y = kx +m do đó hệ số góc là k. Dạng 4: Bài toán về chứng minh đường thẳng luôn đi qua điểm cố định. Ta có phương trình ax +b = 0 có vô số nghiệm khi a = 0, b = 0 * Bài toán: Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng sau đây luôn đi qua một điểm cố định và tìm toạ độ điểm đó. y = mx + m - q ( m, q là tham số ẻ R) Cách giải Gọi A( x0, y0)là một điểm cố định trong mặt phẳng toạ độ mà đường thẳng y = mx + m – q luôn đi qua với mọi m Vì A là điểm thuộc đường thẳng, nên toạ độ A nghiệm đúng phương trình đường thẳng. Thay vào đó ta có: y0 = mx0 + m - q luôn đúng "m Û m (x0 + 1) - (y0 + q) đúng "m Û x0 + 1= 0 x0 = 0 Û y0 + q = 0 y0 = - q A(- 1, -q) là điểm cố định Vậy đường thẳng trên luôn đi qua điểm A( - 1, - q) cố định với mọi m * Các ví dụ: Ví dụ 4: CM rằng đường thẳng y = mx + m – 2 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm toạ độ điểm đó: Bài giải Gọi A( x0 , y0)là một điểm cố định mà đường thẳng trên luôn luôn đi qua với mọi m Ta có y0 = mx 0 + m – 2 Û m (x0 + 1) – (y0 + 2) = 0 luôn đúng "m Û x0 + 1 = 0 x0 = - 1 Û y0 + 2 = 0 y0 = - 2 Vậy điểm A( - 1; - 2) là điểm cố định mà đường thẳng trên luôn đi qua A"m * Ví dụ 5: Trên mặt phẳng toạ độ xOy ta xét Parabol( P) và đường thẳng(d) lần lượt có PT: (P) : y = 2x2 (d) : y = ax + 2 – a Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì Parabol( P) và đường thẳng (d) có một điểm chung cố định. Tìm toạ độ điểm chung đó: ( Trích đề thi vào THPT năm học 1999 - 2000) Đây là bài toán đi tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn luôn đi qua "a rồi chứng tỏ điểm đó thuộc đường cong (P). Bài giải Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d)luôn đi qua là M( x0, y0)với mọi a Thay vào PT của (d) ta có: y0 = ax0 + 2 – a luôn đúng"a Û ( x0 – 1) a – y0 + 2 = 0 Û x0 – 1 = 0 x0 = 1 Û 2 – y0 = 0 y0 = 2 Vậy đường thẳng (d) luôn luôn đi qua điểm M (1; 2) cố định "a Ta nhận thấy rằng toạ độ M(1; 2) luôn luôn thoả mãn phương trình của (P). Thật vậy f(1) = 2 . 12 = 2 = yM Vậy (P) và(d) luôn luôn có một điểm chung cố địnhM(1; 2) với mọi a * Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt có phương trình: (d1): y = 3x – 2 (d2): y = x + m Hãy tìm m để 2 đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên Parabol có PT: y = x2. Bài giải: Ta có thể giải theo hai cách sau: Cách1: Xác định toạ độ giao điểm của (d1) và (P) toạ độ giao điểm của (P) và (d1) là nghiệm của hệ PT sau: y = 3x – 2 y = x2 Hoành độ giao điểm là nghiệm của PT: x2 – 3x + 2 = 0 Ta thấy: a + b + c = 1 – 3 + 2 = 0 Nên PT có 2 nghiệm phân biệt x1 = 1 ; x2 = 2 Với x1 = 1 thì tung độ giao điểm y1 = 1 ta có toạ thứ nhất là A(1 ; 1) Với x2 = 2 thì tung độ giao điểm là y2 = 4 ta có toạ độ giao điểm thứ hai là B(2 ; 4) Vì(d2) cũng đi qua A hoặc B Nếu( d2) đi qua A thì m thoả mãn PT: 1 = 1 + m Û m = 0 Nếu( d2) đi qua B thì m thoả mãn PT: 4 = 2 + m Û m = 2 Vậy với m = 0 thì (d1) cắt(d2) tại điểm A(2, 1) trên đồ thị hàm số y = x2 Với m = 2 thì ( d1) cắt (d2) tại B (2; 4 ) trên đồ thị hàm số y = x2 * Cách 2: Ta có thể tìm toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) theo m rồi thay toạ độ x, y theo m vào phương trình (P): y = x2 để tìm được các giá trị của m. * Thực chất để tìm m và toạ độ giao điểm của d1, d2 trên P là giải hệ 3PT: d1: y = 3x - 2 d2: y = x + m P: y = x2 Với 3 ẩn m,x,y Ví dụ 7: Trong cùng một hệ trục toạ độ vuông góc cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx – 2m – 1 a) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm đó. b) Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định A ẻ(P) Bài giải: a) ( d) tiếp xúc với (P) Û phương trình x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 có nghiệm kép Û D’ = b’2 – ac = 0 Û 4m2 + 8m + 4 = 0 Û (m + 1)2 = 0 Û m = - 1 Vậy với m = -1 thì (d) tiếp xúc với (P) Toạ độ tiếp điểm là nghiệm của hệ PT y = x2 x = 2 Û y = - x + 1 y = - 1 Vậy toạ độ tiếp điểm là ( 2; – 1) b) Gọi toạ độ điểm cố định A(x0, y0) mà đường thẳng (d) luôn đi qua "m ta có: y0 = mx0 – 2m – 1 luôn đúng "m Û (x0 – 2 ) m – (y0 + 1) = 0 "m Û x0 – 2 = 0 x = 2 Û y0 + 1 = 0 y = - 1 Ta nhận thấy x0 = 2; y0 = - 1 thoả mãn PT của (P) do đó điểm A(2; - 1) thuộc Parabol y = x2 mà A cố định. Ví dụ 8: Xác định các giá trị của tham số k để 3 đường thẳng (I): x +6y = 0 (II): ( 1 – k) x + ky = 1 + k (III): 6x + 7y = - 6 Đồng quy tại 1điểm Bài giải: Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (I) và (III) điểm chung của (I) và (III) là nghiệm của hệ PT: x + 6y = 0 (1) 6x + 7y = - 6 (2) Giải hệ ta được : x = - y = Vậy toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng (I) và(III) là A(- ; ) Vì toạ độ điểm A thoả mãn PT II ( vì 3 đường thẳng đồng quy) thay x =- ; y = vào PT II, ta được (1 – k) (- ) + = 1 + k Û - 36 + 36 k + 6k = 29 + 29k Û 13k = 65 Û k = 5 Vậy với k = 5 thì 3 đường thẳng trên đồng quy tại điểm A(- ;) * Tương tự ví dụ 6 ta có thể tìm k và xác định toạ độ điểm đồng quy bằng cách giải hệ 3 PT Ví dụ 9: Cho Parabol y = - x2 và điểm A( - 1 ; 1) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với(P) và đi qua điểm A( - 1;1) Bài giải: Phương trình tổng quát (d) là: y = ax + b vì (d) đi qua điểm A(- 1 ; 1) nên toạ độ A(- 1; 1) là nghiệm của phương trình (d), thay vào ta có: a – b = - 1 (1) Vì (d) tiếp xúc với Parabol nói trên nên phương trình: x2 + 2ax + 2b = 0 có nghiệm kép Û D’ = 0 Û a2 – 2b = 0 (2) Kết hợp (1) và(2) ta có HPT a – b = -1 (1) a2 – 2b = 0 (2) Giải hệ HPT ta được a1 = 1 + , b 1 = 2 + khi đó (d1) là y = (1 + )x + 2 + a2 = 1+; b2 = 2 - ta có PT(d2) là y = ( 1 - ) x + 2 - III – Kết quả thực hiện Qua các năm nghiên cứu và thực tế dạy học sinh tôi nhận thấy: Các em đã biết phân loại bài tập và nhận dạng được bài tập và có định hướng giải đúng. Phần lớn học sinh dễ tiếp thu hơn và đã có kỹ năng giải bài tập khá tốt, tuy nhiên những bài tập ở mức độ cao thì học sinh còn gặp khó khăn . Các em đã có hứng thú không còn ngần ngại khi giải quyết bài tập loại này. IV – Bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất Việc phân chia kiến thức theo từng chuyên đề từng dạng bài là hết sức cần thiết, giíp chúng ta có thể đi sâu hơn về từng nội dung kiến thức, phân tích đánh giá được đầy đủ hơn vì vậy chúng ta nên coi đây là việc làm thường xuyên, cần thiết để đem lại hiệu quả cao. Trong quá trình giảng dạy ngoài việc giáo viên tự phân tích, tổng hợp để phân dạng các nội dung kiến thức thì việc dạy cho học sinh biết cách phân tích, tổng hợp, biết tự mình phân chia các đơn vị, các dạng bài tập. Đây là nhiệm vụ chính của người giáo viên của quá trình dạy học và giáo dục. Khi học sinh được hướng dẫn các bài toán theo các dạng bài học sinh sẽ định hướng và biết nhận dạng và có phương pháp giải một cách nhanh chóng, gặp ít các trở ngại. Với “Bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số” thì ngoài những kĩ năng lập luận theo từng dạng bài tập của chuyên đề thì việc liên hệ với hình ảnh của chúng trên mặt phẳng toạ độ giúp học sinh khẳng định kiến thức chắc chắn hơn. Vì vậy trong quá trình giảng dạy và học tập chúng ta cần có hình ảnh minh hoạ trên đồ thị các mối quan hệ đó . C – Phần Kết Luận Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ của tôi sau nhiều năm ôn tập kiến thức cho học sinh lớp 9 nói chung và ở phần hướng dẫn học sinh giải các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số nói riêng. Với sự hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy có hạn, không sao tránh khỏi những thiếu sót trong khi giảng dạy chuyên đề này. Vậy bản thân tôi rất mong các thầy giáo, cô giáo, các đồng nghiệp đóng góp ý kiến, phê bình để chất lượng giảng dạy, đặc biệt là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ở chuyên đề này nói riêng và chất lượng môn Toán nói chung ở trường THCS. Xin chân thành cám ơn Nghĩa Đạo, ngày 10 tháng 3 năm 2009 Người viết Nguyễn Hồng Bốn Tài liệu tham khảo 1 – Sách giáo khoa Đại số 9 2 – SGV Đại số 9 3 – Toán nâng cao và phát triển Đại số 9 4 – Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 9 5 – Toán Bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 9 6 - Để học tốt Đại số 9 7 – Các đề thi tốt nghiệp THCS và tuyển sinh vào THPT và một số các tài liệu hướng dẫn ôn thi khác. Mục Lục Trang A – Phần mở đầu 2 B – Phần Nội dung 3 Dạng 1 4 Dạng 2 4 Dạng 3 7 Dạng 4 8 Kết quả thực hiện - Bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất 13 C – Phần Kết luận 13 Tài liệu tham khảo 14 đề kiểm tra toán 9 phần hàm số và đồ thị Thời gian làm bài: 90 phút *************************** Bài 1: Cho các hàm số (d): y = mx + 2n + 3và (d’): y = nx + 2m a) Tìm m, n biết (d) và (d’) cùng đi qua A(1; 1). b) Vẽ đồ thị hai hàm số trên với m và n vừa tìm được ở câu a) và tìm toạ độ giao điểm B và C của hai đồ thị hàm số trên với trục hoành. c) Tính chu vi, diện tích và các góc của tam giác ABC. Bài 2: Cho các hàm số (d): y = mx + 1 (d’): y = 2x + 3 và (P): y = x2 a) Tìm m để (d) và (P) tiếp xúc nhau. Tìm tọa độ tiếp điểm đó. b) Tìm m để (d); (d’) và (P) đồng qui. c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm đối xứng nhau qua trục tung. Bài 3: Cho các hàm số (d): y = 2mx - m + 1 và (P): y = 4x2. Chứng minh rằng (d) và (P) luôn có một điểm chung cố định với mọi m. Bài 4: Lập phương trình đường thẳng (d) biết: a) Đường thẳng đó đi qua điểm A(0; -1) và tiếp xúc với Parabol (P): y = x2 b) Đường thẳng đó đi qua điểm A(2; 1) và vuông góc với đường thẳng (d’): x - y = 1. c) Đường thẳng đó đi qua điểm A(1; 1) và cắt (P): y = x2 tại điểm có tung độ bằng 4. ===========Hết==========