Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a khác 0)

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) A TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Công thức nghiệm: ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) D = b2 – 4ac D> 0 D= 0 < 0 D< 0 Vô nghiệm 2. Công thức nghiệm thu gọn: ( khi b = 2b’ ) ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) D’ = b’2 – ac D’ < 0 D’= 0 D’ > 0 < 0 Vô nghiệm 3. Nếu x = n là nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) thì : an2 + bn + c = 0 4. Hệ thức Viet và ứng dụng: Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có: - Hai nghiệm x1 , x2 thì S = x1 + x2 = P = x1.x2 = - Một nghiệm x = 1 thí a + b + c = 0 , ngược lại a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = - Một nghiệm x = -1 thí a - b + c = 0 , ngược lại a - b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = - 5. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu u + v = S , u.v = P thì u và v là hai nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0 ( Đ K: S2 -4P ≥ 0 ) 6. Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai ( điều kiện về nghiệm ): - Có hai nghiệm đều dương là : D ≥ 0 , P > 0 , S > 0 ( Hai nghiệm phân biệt đều dương : D > 0 , P > 0 , S > 0 ) - Có hai nghiệm đều âm : D ≥ 0 , P > 0 , S < 0 ( Hai nghiệm phân biệt đều âm : D > 0 , P > 0 , S < 0 ) Có hai nghiệm trái dấu là: P < 0 ( hay a và c trái dấu) Có hai nghiệm cùng dấu là : D ≥ 0 , P > 0 (Có hai nghiệm phân biệt cùng dấu là : D > 0 , P > 0) . Để biết cùng dấu gì thì xét S Có hai nghiệm phân biệt đối nhau là D > 0 , S = 0 ( Hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau) B. BÀI TẬP: Bài 1: Giải các phương trình: a/ 2x2 + 3x -2 = 0 b/ x2 – 4x – 12 = 0 c/ 9x2 – 30x + 25 = 0 d/ x2 – 4x – 2 = 0 Hướng dẫn hs: dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải Bài 2: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau: a/ x2 – 9x + 20= 0 b/ x2 +9x + 20 = 0 c/ 3x2 +2x – 5 = 0 d/ 3x2 – 2x – 5 = 0 Hướng dẫn học sinh : Câu a, b dùng tổng tích ( lưu ý học sinh tính D để xác định phương trình có nghiệm trước khi sử dụng S , P) Câu c: dùng a + b + c = 0 Câu d: dúng a – b + c = 0 Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn x: 2x2 – mx + 3 = 0 ( 1) ( m là tham số) Giải phương trình ( 1 ) khi m = 7. Xác định giá trị của m để phương trình ( 1 ) có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại. Xác định giá trị của m để phương trình ( 1 ) có một nghiệm bằng – 1. Tìm nghiệm còn lại. Giải Khi m = 7 thì phương trình ( 1 ) trở thành: 2x2 – 7x + 3 = 0 D = b2 – 4ac = ( -7)2 - 4.3.2 = 25 > 0 x1 = x2 = 2x2 – mx + 3 = 0 ( 1 ) Phương trình ( 1 ) có nghiệm x1 = 1 khi a+b+c = o tức là 2 + ( -m ) +3 = 0 Þ m = 5 Nghiệm còn lại; x2 = 2x2 – mx + 3 = 0 (1) Phương trình ( 1 ) có nghiệm x1 = -1 khi a – b +c = o tức là 2 - ( -m ) +3 = 0 Þ m =- 5 Nghiệm còn lại; x2 = Bài 4:Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 8x + m = 0 Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau: x1 – x2 = 2 x1 = 3x2 2x1 +3 x2 = 26 Giải D = b2 – 4ac = ( -8 )2 – 4m = 64 – 4m Để phương trình có nghiệm x1 , x2 thì D ≥ 0 tức là 64 – 4m ≥ 0 Û m 16 Ta có: x1 + x2 = = 8 ( 1) x1.x2 = = m ( 2 ) Mà x1 – x2 = 2 ( 3) Từ (1) và (3) ta được : Thay vào ( 2) ta được: 5.3 = m Þ m = 15 ( thỏa) Vậy m = 15 thì phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa x1 – x2 = 2 Câu b, c hướng dẫn tương tự. Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 +2 (m +1) x + m2 = 0 (1) a/ Giải phương trình khi m = 4 b/ Tìm giá trị của m để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm phân biệt đó có một nghiệm bằng – 2 . Giải Khi m = 4 ta được: x2 + 10x + 16 = 0 D’ = b’2 – ac = 52 – 16 = 9 > 0 x1 = x2 = D’ = b’2 – ac = ( m + 1 )2 – m2 = 2m + 1 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi D’ > 0 Þ 2m + 1 > 0 Þ m > Phương trình có một nghiệm bằng – 2 nên ta có: ( -2)2 + 2(m+1). (-2) + m2 = 0 ( thỏa) Vậy: với m = 0 hoặc m = 4 thì phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm phân biệt đó có một nghiệm bằng – 2 ( Hướng dẫn thêm cách giải bằng hệ thức Viet) Bài 6: Cho phương trình bậc hai: x2 -2 ( m+ 1)x + m – 4 = 0 ( 1) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu Chứng minh rằng biểu thức M = x1(1 –x2) + x2 (1 –x1) không phụ thuộc vào m. Giải D’ = [- (m+1) ] 2 – ( m - 4 ) = m2 + 2m +1 – m + 4 = m2 + m + 5 =(m + )2 + > 0 với mọi m Vậy phương trình ( 1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi P < 0 Þ m – 4 < 0 Þ m < 4 ( Hướng dẫn cách a và c trái dấu ) Ta có x1 + x2 = 2( m + 1) ; x1.x2 = m – 4 M = x1(1 –x2) + x2 (1 –x1) = x`1 – x1x2 + x2 – x1x2 = x1+x2 – 2x1x2 = 2(m+1) – 2(m – 4 ) = 2m+ 2 – 2m + 8 = 10 Vậy biểu thức M không phụ thuộc vào m Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + mx + 2m – 4 = 0 (1) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm. Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm cùng dấu gì? Giải D = b2 – 4ac = m2 – 4(2m – 4) = m2 – 8m + 16 = (m – 4)2 ≥ 0 với mọi m Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m b.Do D≥ 0 nên phương trình ( 1) có hai nghiệm cùng dấu khi P > 0 Þ 2m -4 > 0 Þ m > 2 Ta có S = x1 + x2 = - m Mà m > 2 Þ - m < - 2 Þ S < 0 Vậy với m > 2 thì phương trình ( 1) có hai nghiệm cùng dấu và khi đó hai nghiệm cùng dấu âm. C. BÀI TẬP TỰ RÈN: Bài 1: Cho phương trình bậc hai ẩn x: 3x2 -7x + 2k = 0 (k là tham số) Tìm k để phương trình: Có nghiệm kép Vô nghiệm Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 3x + 1 - m2= 0 (m là tham số) (1) Chứng minh rằng phương trình phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Giải phương trình với m = Bài 3: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng – 5 và tích của chúng bằng – 24 . Bài 4: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + (m + 1) x + m = 0 (m là tham số) (1) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Tìm một hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m. ( độc lập với m ) Bài 5: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2( m – 3)x + m2 –- 4 = 0 (m là tham số) (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng – 3 . Khi đó tính nghiệm còn lại. Bài 6: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 - 2 (m – 3 ) x – m – 1 = 0 (m là tham số) (1) a.Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b.Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 10 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x12 +x22 – x1x2 Bài 7: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 + 2 (m – 1 ) x + m – 3 = 0 (1) a. Giải phương trình khi m = 4 b.Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tìm giá trị biểu thức của A = x12 +x22 . Bài 8: Cho phương trình bậc hai ẩn x: x2 – 2 mx + m –- 4 = 0 (m là tham số) (1) a.Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đều dương. b.Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đối nhau. Xác định hai nghiệm đó. c. Tìm giá trị của m để A = 4x1x2 – (x1 + x2)2 đạt giá trị lớn nhất. Bài 9: Cho phương trình bậc hai ẩn x: 2x2 - 6x + m = 0 (1) Với giá trị nào của m thì phương trình: a.Có hai nghiệm đều dương b. có hai nghiệm x1,x2 sao cho Bài 10: Cho phương trình bậc hai ẩn x: mx2 – 2(m+2)x + m = 0 (1) Xác định m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt đều âm.