Ôn thi tốt nghiệp Toán 12 - Chủ đề ôn tập: Tích phân và ứng dụng

Chuyên đề Toán 12 Ôn thi TN THPT 2013 - 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 Tổ Toán THPT Phong Điền Chủ đề ôn tập: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I- LÝ THUYẾT TÓM LƯỢC: 1. Công thức Newton – Lebniz: [ ]( ) ( ) ( ) ( ) d b b a a f x x F x F b F a= = −∫ với ( )F x là nguyên hàm của ( )f x . 2. Một số kết quả quan trọng: ( ) ( ) ( )* d d d b b b a a a f x x f t t f u u= =∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 1 * 1 ln1 * cos * sin ; d d d ..v..v.. n n ax b ax b x C n ax b x C ax b a ax ax x C a + + + = + + + = + + = − + ∫ ∫ ∫ 3. Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp 1: Biến đổi tương đương, áp dụng các kết quả. Phương pháp 2: Đổi biến ( )t u x= [ ] ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) d d u bb a u a f u x u x x f t t=∫ ∫ Phương pháp 3: Đổi biến ( )x u t= [ ]( ) ( ) '( ) d βb a α I f x dx f u t u t t= =∫ ∫ Phương pháp 4: Tích phân từng phần . d d b b b a a a u v u v v u= −∫ ∫ Ngoài ra, cần chú ý một số tích phân cần sự biến đổi khéo léo để vận dụng nhiều phương pháp. II- LUYỆN TẬP: Bài tập 1: Tích các tích phân sau: * Kỹ năng biến đổi. ( ) 1 3 1 0 1 dI x x x= + +∫ 2 2 1 1 1 2 d e I x x x x  = + +   ∫ 3 3 1 2 dI x x= −∫ 3 2 4 1 3 2 dI x x x= − +∫ 6 2 5 0 3cos d π I x x= ∫ ( ) 2 22 6 1 1 dI x x x= −∫ ( ) 1 7 0 d xI e x x= +∫ 2 2 8 1 2 1 3 d x I x x − = ∫ Bài tập 2: Tích các tích phân sau: * Kỹ năng tích phân hàm phân thức. 1 1 0 2 1 1 d x I x x + = +∫ 1 2 2 0 2 1 1 d x I x x + = +∫ 3 3 2 2 2 1 d x I x x + = −∫ 3 2 4 2 2 2 1 d x I x x + = −∫ 1 5 2 0 3 2 3 2 d x I x x x + = + +∫ 1 2 6 2 0 3 2 3 2 d x I x x x + = + +∫ 1 2 7 2 0 2 4 4 d x I x x x + = + +∫ 1 3 8 3 2 0 2 4 3 d x I x x x x + = + +∫ Bài tập 3: Tích các tích phân sau: * Kỹ năng đổi biến t=u(x). 1 1 0 2 1 d x I x x = +∫ 1 3 2 2 0 1 dI x x x= −∫ ( ) 1 4 3 0 1 dI x x x= −∫ ( ) 1 42 4 0 1 dI x x x= −∫ 6 5 2 0 cos 6 5sin sin d π x I x x x = − +∫ ( ) 2 6 2 0 sin 2 2 sin d π x I x x = + ∫ 2 7 0 sin 2 sin 1 3cos d π x x I x x + = +∫ 2 8 3 1 sin d π π I x x = ∫ ln5 9 ln3 1 d x x I e = +∫ ln5 10 ln3 2 3 d x x x I e e− = + −∫ 2 11 1 1 ln d e x I x x + = ∫ 12 1 1 3ln ln d e x x I x x + = ∫ Bài tập 4: Tích các tích phân sau: * Kỹ năng đổi biến x=u(t). 1 1 2 0 1 1 dI x x = +∫ 0 2 2 1 2 2 dx I x x− = + +∫ 1 2 3 0 1 dI x x= −∫ 1 4 2 0 1 4 dI x x = − ∫ 2 2 2 5 1 4 dI x x x= −∫ 3 2 6 2 1 9 3 d x I x x + = ∫ Chuyên đề Toán 12 Ôn thi TN THPT 2013 - 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 Tổ Toán THPT Phong Điền Bài tập 5: Tích các tích phân sau: * Kỹ năng tích phân từng phần. 6 1 0 (2 )sin 3 d π I x x x= −∫ 2 2 2 0 cos d π I x x x= ∫ 1 3 3 0 . dxI x e x= ∫ 1 2 2 4 0 ( 1) dxI x e x= +∫ 5 1 ln d e I x x x= ∫ 26 1 ln d e I x x x= ∫ ( ) 1 2 7 0 ln 3 dI x x x= +∫ 8 2 1 ln ( 1) d e e x I x x = +∫ Bài tập 6: Tích các tích phân sau: * Kỹ năng phân tích, tổng hợp. 1 2 1 2 0 . 4 d x xI x e x x   = −  −  ∫ 2 1 3 2 ln d e I x x x x  = −   ∫ ( ) 2 3 2 3 0 cos 1 cos d π I x x x= −∫ 2 4 1 1 ln d e x I x x x + = ∫ ( ) 2 5 0 sin cos cos d π xI e x x x= +∫ ( ) 0 2 3 6 1 1 dxI x e x x − = + +∫ 4. Ứng dụng tích phân trong hình học: Ứng dụng 1: Tính diện tích hình phẳng Dạng 1: ( ) ( ) : y f x Ox H x a x b =   ⇒ =  = ( ) d b H a S f x x= ∫ Dạng 2: ( ) ( ) ( ) : y f x y g x H x a x b =  = ⇒ =  = ( ) ( ) d b H a S f x g x x= −∫ Chú ý: Trong TH, hình (H) chỉ bao gồm hai đường cong ( ), ( ) y f x y g x= = , ta cần giải phương trình ( ) ( )f x g x= để đưa ra cận trong tích phân cần tính. Bài tập: Tính diện tích các hình phẳng (H) sau: a) ( ) 2 0 : 0 3 y x x y H x x  = −  =  =  = b) ( ) : 2 1 xy e H y x  =  =  = c) ( ) 2 4 3 : 3 y x x H y  = − +  = d) ( ) 2 2 2 : 4 y x x H y x x  = −  = − + e) ( ) 2 2 : 2 y x x H y x  = +  = + f) ( ) 2 5 6 : 1 y x x H y x  = − +  = + g) ( ) 2 2 2 : 2 1 2 y x H y x x y  =  = − −  = h) ( ) ( ) ( ) 1 : 1 x y e x H y e x  = +  = + k) ( ) 3 21 2 3 : 3 y x x x H Ox  = − +   l) ( ) 2 3 : 2 1 y x x H y x  = − +  = + Ứng dụng 2: Tính thể tích khối tròn xoay Hình ( ) ( ) : y f x Ox H x a x b =    =  = quanh Ox 1 vòng ⇒ ( ) 2 d b H a V π f x x =  ∫ Bài tập: Tính thể tích các khối tròn xoay sinh bởi: a) ( ) ln : 0 y x x H y x e =  =  = quanh Ox 1 vòng. b) ( ) 24 : y x H y x  =  = quanh Ox 1 vòng. c) ( ) sin 0 : 0 2 y x y H x π x =  =  =   =  quanh Ox 1 vòng. d) ( ) 2 : 10 3 y x H y x  =  = − quanh Ox 1 vòng. e) ( ) 22 : 0 y x x H y  = −  = quanh Ox 1 vòng. f) ( ) 22 : 0 y x x H y  = −  = quanh Oy 1 vòng.