Giáo án Toán THCS - Dạy học phương trình ở Trường THCS - Đặng Hải Giang

ngôn ngữ: Khuyến khích HS thay đổi hình thức phát biểu định lí, ví dụ: “Nếu AD là phân giác của tam giác ABC (D thuộc cạnh BC) thì ”. - Các hoạt động củng cố khác: như đặc biệt hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa, phát biểu mệnh đề đảo, ... chẳng hạn cho HS thực hiện các công việc sau: + Phát biểu mệnh đề đảo và kiểm tra xem mệnh đề đảo có đúng không ? + Nếu thay phân giác trong bởi phân giác ngoài thì kết quả sẽ thế nào ? * Ở tình huống thứ nhất, ta có: Nếu (với D thuộc cạnh BC) thì AD là phân giác của góc A. + GV hướng dẫn HS về nhà chứng minh khẳng định trên bằng cách vẽ phân giác AE khi đó ta có suy ra ; do đó E trùng với D. * Ở tình huống thứ hai GV dùng để chuyển tiếp sang tính chất phân giác ngoài của tam giác. Tuy nhiên cần lưu ý rằng trường hợp AD là phân giác ngoài thì tính chất trên chỉ đúng trong trường hợp tam giác ABC không cân tại A. III. Dạy học sinh giải bài tập Hình học: 1. Phương pháp chung để tìm lời giải một bài toán: Tìm hiểu nội dung bài toán: + Giả thiết là gì ? Kết luận là gì ? Hình vẽ , kí hiệu thế nào ? + Phát biểu bài toán dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán. + Dạng toán nào ? + Các kiến thức cần có là gì ? (Các khái niệm, các định lí, các phương pháp) b) Xây dựng chương trình giải: Tức là chỉ rõ các bước cần tiến hành theo một trình tự thích hợp. Thực hiện lời giải: Trình bày theo các bước đã chỉ ra. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: + Xét xem có sai lầm không ? + Có phải biện luận kết quả không ? + Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, ... Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. H, K thứ tự là hình chiếu của B, C trên một đường thẳng bất kì qua A và không cắt cạnh BC. CMR: BH = AK BH + CK = HK. Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán: - Vẽ hình và xác định GT, KL: + Vẽ hình: Đây là một kĩ năng mà GV cần lưu ý khi dạy hình học các lớp 6, 7. Thông thường thì nên hướng dẫn HS vẽ hình theo trình tự xuất hiện các hình hình học ở đề bài. Chẳng hạn: vẽ tam giác ABC vuông cân tại A; vẽ đường thẳng d đi qua A mà không cắt cạnh BC; vẽ các đường vuông góc từ B, C tới đường thẳng d và xác định vị trí các điểm H, K. Yêu cầu HS vẽ hình phải đúng và đủ lớn để dễ quan sát đồng thời cho HS điền các kí hiệu thích hợp trên hình vẽ (như các đoạn thẳng bằng nhau, các góc vuông,...) + Xác định GT, KL: GV cho HS quan sát hình vẽ, kết hợp với đề bài để xác định GT, KL của bài toán. GT ∆ABC vuông cân tại A A d BH d, CK d KL BH = AK BH + CK = HK - Xác định dạng toán: Bài toán thuộc dạng chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau. - Kiến thức cần có: Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác; tam giác cân; ... Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải: Bằng hệ thống câu hỏi và các gợi ý phù hợp với đối tượng HS mình đang dạy GV tổ chức cho HS hình dung được các bước giải bài toán đã cho. - Bước 1: Chứng minh ∆BHA = ∆AKC - Bước 2: Suy ra BH = AK - Bước 3: Chứng minh CK = AH - Bước 4: Chứng minh: BH + CK = HK Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải: Thực hiện lời giải bài toán theo trình tự trên. Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: - Cho HS kiểm tra lại lời giải - Tùy vào đối tượng HS mà GV có những khai thác, mở rộng phù hợp. Chẳng hạn cho HS xét bài toán tương tự khi đường thẳng d cắt cạnh BC, khi đó ta có kết quả Ví dụ 2: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại C. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của D, E trên BC. CMR: DM + EN = BC a. Tìm hiểu nội dung bài toán - Đọc kĩ đề, vẽ hình, xác định GT, KL - Phân tích tìm lời giải: Việc chứng minh đẳng thức dạng DM + EN = BC ban đầu có thể chưa quen với HS lớp 7 nên GV định hướng cho HS chuyển bài toán về chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau. - Chẳng hạn ta có thể tìm điểm H thuộc cạnh BC sao cho HB = DM và HC = EN. - Nếu HB = DM thì ∆MDB = ∆HBA (c.g.c) . Vậy H là chân đường cao vẽ từ A đến BC. b. Xây dựng chương trình giải: Bước 1: Vẽ AH BC. Bước 2: Chứng minh HB = MD và HC = NE Bước 3: Kết luận c. Thực hiện chương trình giải: Thực hiện theo các bước trên d. Kiểm tra nghiên cứu lời giải - Cho HS kiểm tra lại lời giải: Kiểm tra xem lời giải có mắc sai lầm nào không ? - Hoạt động tìm điểm phụ H trên BC là là rất quan trọng cần lưu ý HS để áp dụng vào các tình huống tương tự. - Đưa ra một số bài tương tự để HS luyện tập. 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy M, N, P thứ tự thuộc các cạnh AB, AC, BC sao cho tam giác MNP vuông cân tại M. Chứng minh rằng AM + AN = BM. 2) Cho hình vuông ABCD. Lấy M, N thứ tự thuộc các cạnh BC và CD sao cho góc MAN bằng 450. Chứng minh rằng MN = BM + DN. Ví dụ 3: Tổ chức cho HS lớp 8 giải bài toán sau: “ Cho tam giác ABC có góc A bằng 1200 và AD là phân giác trong của góc A. Chứng minh rằng: ”. a. Tìm hiểu nội dung bài toán: - Yêu cầu HS vẽ hình, xác định GT, KL của bài toán - Phân tích tìm lời giải: Để chứng minh đẳng thức dạng ta nên chuyển về chứng minh đẳng thức liên quan tới tỉ số của hai đoạn thẳng, chẳng hạn ; hoặc (với các đoạn thẳng a, b, c bằng nhau). Việc biến đổi kết luận bài toán như trên tạo điều kiện để chúng ta áp dụng được định lí Ta – lét. - Với giả thiết thì vẽ DE // AB ta được tam giác ADE đều. Sử dụng định lí Ta-lét, kết hợp với AD = AE = DE ta sẽ có được lời giải. b. Xây dựng chương trình giải: Bước 1: Vẽ DE // AB. Bước 2: Chứng minh tam giác ADE đều. Bước 2: Áp dụng định lí Ta – lét cho tam giác ABC với DE // AB. Bước 4: Thực hiện các biến đổi đại số để đưa về đẳng thức cần chứng minh. c. Thực hiện chương trình giải: Vẽ DE // AB. Suy ra được AD = AE = DE. Áp dụng định lí Ta-lét cho DE // AB ta có: d. Kiểm tra nghiên cứu lời giải: - Nghiên cứu lời giải trên ta thấy nếu thay góc A bằng 900; bằng 600 thì ta được các kết quả sau: Bài 1: Cho tam giác ABC có góc A bằng 900 và AD là phân giác trong của góc A. Chứng minh rằng: . Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 600 và AD là phân giác trong của góc A. Chứng minh rằng: . (việc giải 2 bài toán trên hoàn toàn tương tự) - Áp dụng kinh nghiệm tìm lời giải (như ở ví dụ 3), HS làm được các bài sau: Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = m. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng: . Bài 2: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác cắt tia BC và các cạnh AC, AB lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng: . Một số lưu ý: - Không nên nhầm lẫn giữa dạy HS giải bài tập với việc chữa bài tập. Chữa bài tập mới chỉ cung cấp cho HS lời giải đúng chứ chưa hướng dẫn HS cách tìm lời giải đó. - Không nên đưa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy, cần dự kiến thời gian cho bài tập trọng tâm, rồi lựa chọn bài có cách giải tương tự để HS tự luyện tập. - Để hướng dẫn HS tìm lời giải bài toán được tốt thì trước hết GV phải đóng vai trò người học, tự mình tìm ra các cách giải. Trên cơ sở đó, GV phân bậc hoạt động phù hợp với đối tượng HS cụ thể của mình, dự kiến các câu hỏi dẫn dắt, gợi mở để giúp HS không những tìm được lời giải bài toán mà còn học được cả tri thức về phương pháp giải toán. Đây chính là công việc khó khăn nhất đối với mỗi GV dạy toán; vì nếu HS nhận được sự giúp đỡ quá nhiều từ GV thì HS đó không còn gì để làm; nhưng nếu HS đó nhận được quá ít sự giúp đỡ của GV thì khó mà tiến bộ được. Vì vậy khi đưa ra một bài toán nào đó GV phải cân nhắc thật kĩ xem với đối tượng HS của mình thì giúp đỡ đến đâu là vừa. 2. Xây dựng chuỗi bài toán: Cùng với việc hướng dẫn HS tìm lời giải một bài toán GV nên xây dựng chuỗi các bài toán trong đó bài toán mở đầu có tính chất như một chìa khóa để giải các bài còn lại. Chẳng hạn, từ ví dụ 1 ta có thể xây dựng một chuỗi các bài toán như sau: Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, H, K thứ tự là hình chiếu của B, C trên một đường thẳng bất kì qua A và không cắt cạnh BC. CMR: BH = AK BH + CK = HK. Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD vuông cân tại B và ACE vuông cân tại C. Gọi M, N thứ tự là hình chiếu của D, E trên BC. CMR: DM + EN = BC (HD: Vẽ AH vuông góc với BC và áp dụng bài toán 1) Bài toán 3: Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB, vẽ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Vẽ tam giác CDE vuông cân tại C, trong đó C thuộc đoạn AB, D thuộc tia Ax, E thuộc tia By. CMR: AD + BE có giá trị không đổi khi C, D, E thay đổi. (HD: Áp dụng bài toán 1 ta được AD + BE = AB) Bài toán 4: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE. CMR: Đường thẳng qua A và vuông góc BC đi qua trung điểm của DE. (Vẽ DP và EQ cùng vuông góc với AH và áp dụng bài toán 1) Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy M, N, P thứ tự thuộc các cạnh AB, AC, BC sao cho tam giác MNP vuông cân tại M. Chứng minh rằng tổng 2AM + AN không phụ thuộc vào vị trí của M, N, P. (HD: Vẽ PH vuông góc với AB rồi áp dụng bài toán 1) BÀI TẬP: 1. Bạn hãy chỉ ra các khái niệm hình học nào trong chương trình THCS có thể dạy theo con đường qui nạp ? 2. Bạn hãy chỉ ra những định lí nào có thể dạy theo con đường suy diễn, những định lí nào có thể dạy theo con đường có khâu suy đoán ? 3. Tổ chức cho HS tìm lời giải các bài toán sau: Bài 1 (Lớp 7): Cho hình vuông ABCD. M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD sao cho góc MAN bằng 450. Chứng minh MN = BM + CN. Bài 2 (Lớp 8): Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: BH. BE + CH. CF = BC2. Bài 3 (Lớp 8): Cho hình thang ABCD có . Gọi H là trung điểm của BC, K là hình chiếu của H trên AC. Chứng minh BK vuông góc với DK. Bài 4 (Lớp 9): Cho hình vuông ABCD. M thuộc cạnh BC, N thuộc cạnh CD sao cho góc MAN bằng 450. Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Bài 5 (Lớp 9): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R). D là một điểm di động trên cung BC (cung BC không chứa A). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Xác định vị trí của D để MN lớn nhất. Trong các bài toán trên GV vừa hướng dẫn cho HS tìm lời giải vừa đưa ra các bài tập tương tự để HS luyện tập.