Giáo án Toán THCS - Dạy học phương trình ở Trường THCS - Bùi Hải Bình

tích đa thức f(x) thành nhân tử (đưa về phương trình tích). Lưu ý: Phương trình bậc n ( ) có nhiều nhất n nghiệm. - TXĐ của phương trình là mọi x. VD21: Giải phương trình: x3 - 7x - 6 = 0 (Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử ) VD22: Giải phương trình: x3 - 7x + 6 = 0 (Bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử ) - Có thể: Nhận xét tổng các hệ số bằng 0 x = 1 là một nghiệm rồi tiếp tục phân tích thành nhân tử. - Với phương trình bậc 3 có nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ có thể đoán nghiệm nhờ tổng các hệ số hoặc ước của hệ số tự do để phân tích thành nhân tử. - Nếu không có nghiệm nguyên mà là nghiệm vô tỷ ta có thể làm. VD23: Giải phương trình. x3 + 3x2 – 3x + 1 = 0 2x3 = x3 - 3x2 + 3x -1 2x3 = (x -1)3 x = x - 1 x = . VD24: Giải phương trình. x(x2 -1) = x3 - 2- x + = 0 (x-)(x2 + x + 2) - (x-) = 0 (x-)(x2+x+1) = 0 x = (vì x2+x+1 = x) VD25. Giải phương trình. (x + 1)2 (x + 2) + (x - 1)2 (x - 2) = 12 Giải: Rút gọn vế trái của phương trình, ta được. 2x3 + 10x = 12 x3 + 5x - 6 = 0 (x3 -1) + 5(x - 1) = 0 (x - 1) (x2 + x + 6) = 0 x - 1 = 0 x = 1 (Vì x2 + x + 6 = > 0 do ) VD26. Giải phương trình (x2 - 1) (x2 + 4x + 3) = 192 Giải: Biến đổi phương trình thành. Đặt: x + 1 = y, phương trình trở thành (y - 2)y2 (y + 2) = 192 y2 (y2 - 4) = 192 Đặt: y2 - 2 = z thì z + 2 > 0 phương trình trở thành. (z + 2) (z - 2) = 192 z2 = 196 z = 14 Loại z = -14 Với z = 14 y2 = 16 y = 4 Với y = 4 x + 1 = 4 x = 3 y = - 4 x + 1 = - 4 x = - 5 Vậy S = VD27. Giải phương trình (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82 Giải: Đặt x - 1 = y , phương trình đã cho trở thành. (y + 2)4 + (y - 2)4 = 82 y4 + 24y2 = 25 (y2 + 12)2 = 132 y2 = 1 y = 1 x = 0; 2 Vậy S = Lưu ý: Khi giải phương trình: (x + a)4 + (x + b)4 = C Đặt ẩn phụ x + = y VD28. Giải phương trình: x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 = 0 (1) Giải: Nhận xét: x = 0 1 = 0 (Vô lý) x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1). Vậy x 0, chia 2 vế phương trình (1) cho x2 ta được. x2 + + 7 = 0 (2) Đặt x - = t2 + 2, ta có phương trình (2) trở thành: t2 + 6t + 9 = 0 (t + 3)2 = 0 t = - 3 Do đó x - = - 3 x2 + 3x - 1 = 0 Vậy S = VD29. Chứng minh phương trình: 2x4 - 10x2 + 17 = 0, vô nghiệm Giải: 2x4 - 10x2 + 17 = 0 (x4 - 2x2 + 1) + (x4 - 8x2 + 16) = 0 (x2 - 1)2 + (x2 - 4)2 = 0 (điều này không thể xẩy ra) Vậy phương trình vô nghiệm. Với học sinh lớp 9 chỉ cần tính thì biết được phương trình vô nghiệm . VD30. Giải phương trình: x8 - x7 + x2 - x + 1 = 0 (*) HD giải: Gọi A là vế trái của phương trình C1: Nếu x > 1 thì ta viết A dưới dạng x7 (x - 1) + x (x - 1) + 1 do x > 1 nên A > 0 Nếu 1 – x > 0, ta viết A = x8 + x2 (1 - x5) + (1 - x) Do x 0, do đó A > 0 C2: Tương tự ta viết A = (x - 1) (x7 - 1) + x2; xét x > 1; x < 1. Bài tập 1. Giải các phương trình a. x4 + x2 + 6x - 8 = 0 c. x3 - 7x - 6 = 0 b. (x2 + 1)2 = 4 (2x - 1) d. x3 - 19x - 30 = 0 2. Giải các phương trình a. (x - 1)3 + (x - 2)3 = (2x - 3) b. (x - 1)3 + (2x + 3)3 = 27x3 + 8 3. Giải các phương trình a. (x2 + 5x)2 - 2(x2 + 5x) = 24 b. (x2 + x - 2) (x2 + x - 3) = 12 4. Giải các phương trình a. (x2 + x + 1)2 = 3 (x4 + x2 + 1) b. x (x + 1) (x - 1) (x + 2) = 24 c. (x - 4) (x - 5) (x - 6) (x - 7) = 1680 5. Giải phương trình: x5 - x4 + 3x3 + 3x2 - x + 1 = 0 6. Giải phương trình: (x2 - 6x + 9)2 - 15 (x2 - 6x + 10) = 1 7.Giải các phương trình a. (x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 b. (x - 1)4 + (x - 2)4 = 1 8. Giải phương trình: x5 = x4 + x3 + x2 + x + 2 9. Chứng minh phương trình vô nghiệm a. x4 - x3 + 2x2 - x + 1 = 0 b. x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 10. Chứng minh phương trình vô nghiệm: x8 - x5 + x2 - x + 1 = 0 VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN: Kiến thức: + xác định (có nghĩa) khi A > 0 + = = Có thể đưa về một số dạng, sử dụng một số tính chất: +) = C +) Bình phương 2 vế +) A2 + B2 = 0 +) Đặt ẩn phụ +) Dùng BĐT đánh giá 2 vế +) Dùng lượng liên hợp. + Một số biến đổi đơn giản CBH khác. Dạng phương trình Nguyên tắc giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai: Khử dấu căn bậc hai. Cách khử dấu căn bậc hai thường dùng: Cách 1: Dùng phép biến đổi tương đương: Cách 2: Sử dụng phương trình hệ quả: + Bình phương 2 vế của phương trình được phương trình hệ quả: + Tìm nghiệm phương trình hệ quả rồi thử lại. Cách 3: Đặt ẩn phụ , . VD31. Giải phương trình: (1) Giải: Cách 1: Ta có Vậy phương trình có nghiệm x = 6. Chú ý: Khi trình bày với cách này chúng ta không cần đặt điều kiện của phương trình nhưng phải chú ý điều kiện để vế phải không âm. Cách 2: Bình phương hai vế của phương trình (1) ta đưa tới phương trình hệ quả (1) Thay vào (1) ta thấy x = - 1 không thoả mãn, còn x = 6 thoả mãn. Vậy phương trình có nghiệm . Chú ý: Học sinh thường sai lầm trong cách này đó là: - Đặt điều kiện của phương trình. - Không thử nghiệm vào phương trình ban đầu. - Dùng dấu “”hay dấu “”. Cách 3: Điều kiện: . Đặt , t2 = 3x + 7 (2) Phương trình trở thành: Đối chiếu điều kiện ta có . Thay vào (2) ta có Vậy phương trình có nghiệm . Chú ý: + Phải chú ý đặt điều kiện của phương trình. + Không phải phương trình nào cũng giải được theo cách 3 . VD32. Giải phương trình: = 2 (1) ĐK: x > 1 (1) = 2 = 2 (2) Để giải phương trình (2): C1: Xét khoảng (x > 2, 1 < x < 2) (h/s thường hay dùng) C2: Dùng BDT (Dấu "=" xẩy ra khi ab > 0) C3: Sử dụng = - A nếu A < 0 (là ngắn nhất) (2) khi 0 x < 2 Kết hợp với ĐK x > 1 ta có 1 < x < 2 Vậy phương trình (1) có nghiệm 1< x < 2 C4: Bình phương 2 vế (làm mất căn bậc hai) C5: Đặt = y > 0 x = y2 + 1. Đưa về phương trình hữu tỉ C6: Đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình hữu tỉ. Sau đây là một số dạng trong bồi dưỡng học sinh giỏi, câu khó trong đề thi tuyển sinh THPT, tuyển sinh trường Chuyên VD33. Giải phương trình x = 2 (1) Giải: ĐK x 2 (1) x - 2 = 0 = 0 x = 2 (vì ) Đối chiếu với ĐK x > 2, x = 2 thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 VD34. Giải phương trình: = x2 - 6x + 11 (1) Giải: ĐK 2 < x < 4 Sử dụng bất đẳng thức Bunhia ta có bình phương vế trái < 2.2 hay (dấu “=” xẩy ra khi ) (2) Vế phải: x2 - 6x + 11 = (x - 3)2 + 2 > 2 (dấu bằng xẩy ra khi (x – 3)2 = 0) (3) Do đó (1) (TMĐKXĐ) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3 VD35:Giải phương trình:+ = -x2 + 4x - 2 . VD36. Giải phương trình: = 8x (1) Giải: Sử dụng lượng liên hợp đưa về VD 33 để giải, ĐK: x > 7 Nhân 2 vế phương trình (1) với (), ta được phương trình (vì x > 7) (x + 9) - = 0 = 0 x = 7 (TMĐK) (Vì > 0; > 0;x > 7) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 7 Bài tập Giải các phương trình: 1. a. = 5 b. = 2 c. = 5 2. a. = x + 1 c. = 0 b. x2 - = 0 d. 3. a. = x + 2 b. = 2 - x c. d. = - 2x - 1 4. a. c. 2x2 + 2x + 1 = b. x2 - 5x + 14 = 4 5. a. = 4 ; b. = 4 6. a. = ; b. = 1 c. = 2 7. = 1 8. a. = 0 b. = 6x 9. = 4 - 2x 10. a. = x2 - 190x + 9027 b. 8x2 + c. = 2x2 - 5x – 1 VII. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a 0. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: Người ta ký hiệu ∆ = b2 – 4ac và gọi nó là biệt thức của phương trình. Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) và biệt thức = b2 – 4ac: Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: , Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. Công thức nghiệm thu gọn: Nếu b = 2b’ thì ký hiệu = b’2 – ac Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) và b = 2b’ , = b2 – 4ac: Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: , Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. - Hệ thức Vi-ét và ứng dụng: Định lý Vi-ét: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì Ứng dụng của định lý Vi-ét: - Nhẩm nghiệm: +) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = . +) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - . +) Cũng có thể nhẩm nghiệm khi dễ thấy tổng và tích hai nghiệm . - Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0. Điều kiện để tồn tại hai số đó là S2 – 4P 0. Phương trình quy về phương trình bậc hai: Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, Cách giải: Đặt ẩn phụ x2 = t, điều kiện ta được phương trình bậc hai at2 + bt + c = 0. Giải phương trình tìm t, suy ra x. Những lưu ý khi giải phương trình bậc 2: - Để kết luận phương trình bậc hai có nghiệm: Dựa vào ac < 0 hoặc 0 hoặc0 - Nếu phương trình khuyết b hoặc c thì không cần giải theo công thức nghiệm mà đưa về dạng x2 = m2 hoặc đưa về phương trình tích. - Nên dùng công thức rút gọn theo khi b chẵn (b = 2b’), khi b không chẵn mới dùng công thức đầy đủ theo . - Trước khi giải, kiểm tra xem trong phương trình có hằng đẳng thức hay phân tích được thành nhân tử không? Bài tập: 1. Không giải phương trình hãy cho biết phương trình có nghiệm hay không? a. x2 - 5x + 6 = 0 c. x2 + 5x - 6 = 0 b. x2 + 6x - 1 = 0 d. x2 + 2x + 2 = 0 2. Giải các phương trình: a. x2 - 5x + 6 = 0 c. - 5x2 + 3x - 1 = 0 b. 4x2 + 21x - 205 = 0 d. - x2 + 7x - 10 = 0 3.Giải các phương trình: a. x2 - 2x + 6 = 0 c. x2 + 16x + 39 = 0 b. x2 - = 0 d. 4x2 - 2(1-)x -= 0 4.Giải các phương trình: a. x2 - 4x + 3 = 0 b. x2 - 5x - 6 = 0 c. x2 - (1+)x +=0 d. x2 - (1 -)x - 2 + = 0 5.Giải các phương trình: a. (x-1)2 = 2x +1 b. (x-3)(x-1) = 3(x -1)2 c. - x2 + 2 = 2(x+1)2 d. (2x - 1)2 - (x + 1)(x + 3) = 0 6.Giải các phương trình: a. 3x4 - 2x2 - 1 = 0 c. 2x4 + 5x2 + 2 = 0 b. x4 - 5x2 + 4 = 0 d. 2x4 - 7x2 - 4 = 0 7. Giải phương trình: = 2 8. Giải phương trình: = 0 9. Giải phương trình: 10. Giải phương trình: = 1