Giáo án Toán 9 - Bài 6: Hình học

BÀI 6: HÌNH HỌC A. Lí thuyết: SGK – GV cung cấp trên bảng. B. Bài tập mẫu: Bµi 1 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän néi tiÕp trong ®­êng trßn ( O; R), hai ®­êng cao AD vµ BE c¾t nhau t¹i H ( D BC; EAC; AB < AC ). Chøng minh c¸c tø gi¸c AEDB vµ CDHE lµ tø gi¸c néi tiÕp. Chøng minh CE.CA = CD. CB vµ DB.DC = DH.DA. Chøng minh OC vu«ng gãc víi DE. §­êng ph©n gi¸c trong AN cña c¾t BC t¹i N vµ ®­êng trßng ( O ) t¹i K ( K kh¸c A). Gäi I lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c CAN. Chøng minh r»ng KO vµ CI c¾t nhau t¹i mét ®iÓm thuéc ®­êng trßn (O) Bµi 2. Trªn ®­êng trßn (O; R) ®­êng kÝnh AB lÊy hai ®iÓm M, E theo thø tù A, M, E, B. AM c¾t BE t¹i C; AE c¾t MB t¹i D. Chøng minh MCED lµ tø gi¸c néi tiÕp vµ CD vu«ng gãc víi AB. Gäi H lµ giao ®iÓm c¶u CD vµ AB. Chøng minh r»ng BE. BC= BH. BA. Chøng minh c¸c tiÕp tuyÕn t¹i M vµ E cña ®­êng trßn (O) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm n»m trªn ®­êng th¼ng CD. Bµi 3. Cho ®­êng trßn (O; R) vµ mét ®iÓm S ë ngoµi ®­êng trßn. VÏ hai tiÕp tuyÕn SA vµ SB. VÏ ®­êng th¼ng a ®i qua S vµ c¾t ®­êng trßn (O) t¹i M; N víi M n»m gi÷a S vµ N. (Oa). Chøng minh SO vu«ng gãc víi AB Gäi H lµ giao ®iÓm cña SO vµ AB; I lµ trung ®iÓm cña MN. Hai ®­êng th¼ng OI vµ AB c¾t nhau t¹i E. Chøng minh ISHE néi tiÕp. Chøng minh OI.OE = R2. Cho SO = 2R vµ MN = R. TÝnh diÕn tÝch tam gi¸c ESM theo R. Bµi 4: Cho tam gi¸c MNP vu«ng t¹i M, ®­êng cao MH ( H trªn c¹nh NP ). §­êng trßn ®­êng kÝnh MH c¾t c¸c c¹nh MN t¹i A vµ c¾t c¹nh MP t¹i B. Chøng minh AB lµ ®­êng kÝnh cña §­êng trßn ®­êng kÝnh MH. Chøng minh tø gi¸c NABP lµ tø gi¸c néi tiÕp. Tõ M kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi AB c¾t c¹nh NP t¹i I. Chøng minh r»ng IN = IP. Bµi 5: Cho tam gi¸c nhän ABC, ®­êng cao kÎ tõ ®Ønh B vµ ®Ønh Cc¾t nhau t¹i H vµ c¾t ®­êng trßn ngoÞa tiÕp tam gi¸c ABC lÇn l­ît t¹i E vµ F. Ch­ng minh AE = AF Chøng minh A lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c EFH. KÎ ®­êng kÝnh BD . Chøng minh tø gi¸c ADCH lµ h×nh b×nh. Bµi 6: Cho tam gi¸c vu«ng PQR ( = 900 ) néi tiÕt ®­êng trßn t©m O, kÎ ®­êng kÝnh PD. Chøng minh tø gi¸c PQDR lµ h×nh ch÷ nhËt . Gäi M vµ N thø tù lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña Q, R trªn PD. PH lµ ®­êng cao cña tam gi¸c ( H trªn c¹nh QR ) . Chøng minh HM vu«ng gãc víi c¹nh PR. X¸c ®Þnh t©m cña ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c MHN. Gäi b¸n kÝnh ®­êng trßn néi, ngo¹i tiÕp tam gi¸c vu«ng PQR lµ r vµ R . Chøng minh: r + R Bµi 7: Cho tam gi¸c vu«ng ABC vu«ng t¹i C. O lµ trung ®iÓm cña AB vµ D lµ ®iÓm trªn c¹nh AB ( D kh«ng trïng víi A, O, B ) . Gäi I vµ J thø tù lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ACD vµ tam gi¸c BCD. Chøng minh OI // BC Chøng minh 4 ®iÓm I, J, O, D n»m trªn mét ®­êng trßn. Chøng minh r»ng CD lµ ph©n gi¸c cña gãc khi vµ chØ khi OI = OJ. Bµi 8: Cho ®­êng trßn t©m O vµ M lµ ®iÓm ë ngoµi ®­êng trßn. Qua M kÎ tiÕp tuyÕn MA, MB ( A, B lµ tiÕp ®iÓm ) vµ mét c¸t tuyÕn c¾t ®­êng trßn t¹i C, D. Gäi I lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh bèn ®iÓm A, B, O, I n»m trªn mét ®­êng trßn. AB c¾t CD t¹i E. Chøng MA2 = ME.MI Gi¶ sö AD = a vµ C lµ trung ®iÓm cña MD. TÝnh ®o¹n AC theo a. Bµi 9: Cho ®iÓm A ë bªn ngoµi ®­êng trßn t©m O. KÎ hai tiÕp tuyÕn AB, AC víi ®­êng trßn(B, C lµ tiÕp tuyÕn). M lµ ®iÓm bÊt k× trªn cung nhá BC (M≠B, M≠C). Gäi D, E, F t­¬ng øng lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn c¸c ®­êng th¼ng AB, AC, BC; H lµ giao ®iÓm cña MB vµ DF ; K lµ giao ®iÓm cña MC vµ EF. Chøng minh: MECF lµ tø gi¸c néi tiÕp. MF vu«ng gãc víi HK. T×m vÞ trÝ cña ®iÓm M trªn cung nhá BC ®Ó tÝch MD.ME lín nhÊt. Bµi 10:Cho ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng (theo thø tù Êy). Gäi (O) lµ ®­êng trßn ®i qua B vµ C. Tõ A vÏ c¸c tiÕp tuyÕn AE vµ AF víi ®­êng trßn(O) (E vµ F lµ c¸c tiÕp ®iÓm). Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh n¨m ®iÓm A, E, O, I, F n¨m trªn mét ®­êng th¼ng. §­êng th¼ng FI c¾t ®­êng trßn (O) t¹i G. Chøng minh EG//AB. Nèi EF c¾t AC t¹i K. Chøng minh AK.AI = AB.AC Bµi 11:Cho h×nh vu«ngABCD, M lµ mét ®iÓm trªn ®­êng chÐo BD, gäi H, I vµ K lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M trªn AB, BC, AD. Chøng minh tam gi¸c MIC b»ng tam gi¸c HMK. Chøng minh CM vu«ng gãc víi HK. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M ®Ó diÖn tÝch cña tam gi¸c CHK ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. Bµi 12: Cho hai ®­êng trßn (O1) vµ (O2) c¾t nhau t¹i M vµ N, tiÕp tuyÕn chung víi hai ®­êng trßn (O1) vµ (O2) vÒ phÝa nöa mÆt ph¼ng bê O1O2 chøa ®iÓm N, cã tiÕp ®iÓm thø tù lµ A vµ B. Qua M kÎ c¸t tuyÕn song song víi AB c¾t ®­êng trßn (O1), (O2) thø tù t¹i C, D. §­êng th¼ng CA vµ ®­êng th¼ng DB c¾t nhau t¹i I. Chøng minh IM vu«ng gãc víi CD. Chøng minh tø gi¸c IANB lµ tø gi¸c néi tiÕp. Chøng minh ®­êng th¼ng MN®i qua trung ®iÓm cña AB. Bµi 13: Cho ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng theo thø tù ®ã. Dùng ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB, BC, gäi D vµ E thø tù lµ hai tiÕp ®iÓm cña tiÕp tuyÕn chung víi ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB vµ BC, vµ M lµ giao ®iÓm cña AD víi CE. Chøng minh tø gi¸c ADEC lµ tø gi¸c néi tiÕp. Chøng minh MB lµ tiÕp tuyÕn cña hai ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB vµ BC KÎ ®­êng kÝnh DK cña ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. Chøng minh K, B, E th¼ng hµng. Bµi 14: Cho tam gi¸c vu«ng MNP (gãc M = 900). Tõ N dùng ®o¹n th¼ng NQ vÒ phÝa tam gi¸c MNP sao cho NP = NQ vµ gãc MNP = gãc PNQ, vµ gäi I lµ trung ®iÓm cña PQ, MI c¾t NP t¹i E. 1.Chøng minh gãc PMI vµ gãc QNP b»ng nhau. 2. Chøng minh tam gi¸c MNE lµ tam gi¸c c©n. 3. Chøng minh MN.PQ = NP.ME Bµi 15: Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB. LÊy ®iÓm D tuú ý trªn nöa ®­êng trßn (D≠A vµ D≠B). Dùng h×nh b×nh hµnh ABCD. Tõ D kÎ DM vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AC t¹i M vµ tõ B kÎ BN vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AC t¹i N. Chøng minh bèn ®iÓm D, M, B, C n»m trªn mét ®­êng trßn. Chøng minh AD.ND = BN.DC T×m vÞ trÝ cña D trªn nöa ®­êng trßn sao cho BN.AC lín nhÊt. Bµi 16: Tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®­êng trßn ®­êng kÝnh AD. Hai ®­êng chÐo AC, BD c¾t nhau t¹i E. H×nh chiÕu vu«ng gãc cña E trªn AD lµ F. §­êng th¼ng CF c¾t ®­êng trßn t¹i ®iÓm thø hai lµ M. Giao ®iÓm cña BD vµ CF lµ N. Chøng minh: CEFD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Tia FA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BFM BE.DN = EN.BD Bµi 17: Cho ®­êng trßn (O) ®­êng kÝnh AB. Mét d©y CD c¾t AB t¹i H. TiÕp tuyÕn t¹i B cña ®­êng trßn (O) c¾t c¸c tia AC, AD lÇn l­ît t¹i M vµ N. Chøng minh tam gi¸c ACB ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABM. C¸c tiÕp tuyÕn t¹i C vµ D cña ®­êng trßn (O) c¾t MN lÇn l­ît t¹i E vµ F. Chøng minh EF = MN/2 X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña d©y CD ®Ó tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c ®Òu. Bµi 18: Cho ®­êng trßn (O) vµ mét ®­êng th¼ng a kh«ng cã ®iÓm chung víi ®­êng trßn(O). Tõ mét ®iÓm A thuéc ®­êng th¼ng a, kÎ hai tiÕp tuyÕn AB vµ AC víi ®­êng trßn (O) (B, C thuéc ®­êng trßn (O)). Tõ O kÎ OH vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng a t¹i H. D©y BC c¾t OA t¹i D vµ c¾t OH t¹i E. Chøng minh tõ gi¸c ABOC néi tiÕp ®­îc trong mét ®­êng trßn. Gäi R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn (O). Chøng minh OH.OE = R2 Khi A di chuyÓn trªn ®­êng th¼ng a, chøng minh BC lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 19: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, cã gãc BAC = 450, néi tiÕp ®­êng trßn (O ; R). Tia AO c¾t ®­êng trßn (O;R) t¹i D kh¸c A. LÊy ®iÓm M trªn cung nhá AB (M kh¸c A, B). D©y MD c¾t d©y BC t¹i I. Trªn tia ®èi cña tia MC lÊy ®iÓm E sao cho ME=MB. §­êng trßn t©m D b¸n kÝnh DC c¾t MC t¹i ®iÓm thø hai K. Chøng minh r»ng: BE song song víi DM. Tø gi¸c DCKI lµ tø gi¸c néi tiÕp. 2. Kh«ng dïng m¸y tÝnh hoÆc b¶ng l­îng gi¸c, h·y tÝnh theo R thÓ tÝch cña h×nh do tam gi¸c ACD quay mét vßng quanh c¹nh AC sinh ra. Bµi 20: Cho ®­êng th¼ng (O) ®­êng kÝnh AB = 2R, C lµ trung ®iÓm cña OA vµ d©y MN vu«ng gãc víi OA t¹i C. Gäi K lµ ®iÓm tuú ý trªn cung nhá BM, H lµ giao ®iÓm cña AK vµ MN. Chøng minh BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp. TÝnh tÝch AH.AK theo R. Bµi 21: Cho h×nh thoi ABCD , cã gãc A = 600, M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC, ®­êng th¼ng AM c¾t c¹nh DC kÐo dµi t¹i N. Chøng minh ®¼ng thøc: AD2 = BM.DN. §­êng th¼ng DM c¾t BN t¹i E. Chøng minh r»ng tø gi¸c BECD lµ tø gi¸c néi tiÕp. Khi h×nh thoi ABCD cè ®Þnh. Chøng minh r»ng ®iÓm E n¨m trªn cung trßn cè ®Þnh khi ®iÓm M thay ®æi trªn c¹nh BC. Bµi 22:Cho ®­êng trßn t©m ( 0 ), AB lµ d©y cè ®Þnh cña ®­êng trßn kh«ng ®i qua t©m. M lµ mét ®iÓm trªn cung lín AB sao cho tam gi¸c MAB lµ tam gi¸c nhän. Gäi D vµ C thø tù lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung nhá MA, MB, ®­êng th¼ng AC c¾t ®­êng th¼ng BD t¹i I, ®­êng th¼ng CD c¾t c¹nh MA vµ MB thø tù t¹i P, Q. Chøng minh tam gi¸c BCI lµ tam gi¸c c©n. Chøng minh tø gi¸c BCQI lµ tø gi¸c néi tiÕp Chøng minh QI = MP §­êng th¼ng MI c¾t ®­êng trßn t¹i N, khi M chuyÓn ®éng trªn cung lín AB th× trung ®iÓm cña MN chuyÓn ®éng trªn ®­êng nµo ? Bµi 23 Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC ( AB = AC ), trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm M. Gäi (O1) lµ t©m ®­êng trßn t©m 01 qua M vµ tiÕp xóc víi AB t¹i B, gäi ( O2 ) lµ t©m ®­êng trßn t©m O2 ®i qua M vµ tiÕp xóc víi AC t¹i C. §­êng trßn ( O1) vµ ( O2 ) c¾t nhau t¹i D ( D M ) CMR tam gi¸c BDC lµ tam gi¸c vu«ng Chøng ming 01D lµ tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t©m ( O2 ) B01 c¾t C02 t¹i E. Chøng minh 5 ®iÓm A, B, D, E, C n¨m trªn mét ®­êng trßn. X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña M sao cho ®o¹n th¼ng O102 lµ ng¾n nhÊt. Bµi 24: Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( AC > AB, = 900 ). Gäi I lµ t©m ®­êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC, c¸c tiÕp ®iÓm cña ®­êng trßn néi tiÕp víi c¸c c¹nh AB, BC, AC lÇn l­ît t¹i M, N, P. Chøng minh tø gi¸c AMIP lµ h×nh vu«ng. §­êng th¼ng AI c¾t PN tai D. Chøng minh 5 ®iÓm M, B, N, D, I n»m trªn mét ®­êng trßn. §­êng th¼ng BI vµ CI kÐo dµi c¾t AC, AB lÇn l­ît t¹i E vµ F. Chøng minh BE. CF = 2 BI . CI Bµi 25: Cho ®­êng trßn t©m O ®­êng kÝnh AB. Trªn ®­êng trßn (O) lÊy ®iÓm C (C kh«ng trïng víi A, B vµ CA > CB). C¸c tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn (O) t¹i A, t¹i C c¾t nhau ë ®iÓm D, kÎ CH vu«ng gãc víi AB ( H thuéc AB), DO c¾t AC t¹i E. Chøng minh tø gi¸c OECH néi tiÕp. §­êng th¼ng CD c¾t ®­êng th¼ng AB t¹i F. Chøng minh . BD c¾t CH t¹i M . Chøng minh EM//AB. ---------------------------------------------Hết bài 6------------------------------------------------------------