Giáo án Hình học Lớp 11 - Chương 3, Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

a) b) c) d) Chuyển giao: GV yêu cầu học sinh quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi. Thực hiện: Các em học sinh trả lời (có thể sai) GV nhận xét và dẫn dắt vào định nghĩa. a) b) c) d) b) Hình thành kiến thức. Định nghĩa. Trong không gian, cho , lấy điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho: , khi đó ta gọi góc là góc giữa hai vectơ và , kí hiệu là . c) Củng cố. GỢI Ý Câu hỏi: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng ? - Cùng hướng. - Vuông góc. - Ngược hướng. Chú ý: . Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ: a) và b) và - Chuyển giao: Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2: Câu a. Nhóm 3, 4: Câu b. - Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình bày vào bảng phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày. - GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện. Kết quả. a) b) 2.1.2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian a) Tiếp cận (khởi động): GỢI Ý Cho hình lập phương cạnh a . Tính các tích vô hướng sau: a) b) c) Chuyển giao: GV yêu cầu học sinh suy nghĩ và trả lời. Thực hiện: Các em học sinh trả lời (có thể sai) GV nhận xét và dẫn dắt vào định nghĩa. a) b) c) b) Hình thành kiến thức. Định nghĩa. Trong không gian cho hai vectơ . Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là ., được xác định bởi công thức: . Chú ý: Từ công thức trên ta có + Biểu thức độ dài của một vectơ . + Tính góc giữa hai vectơ: . + . c) Củng cố. GỢI Ý Ví dụ 2. Cho hình lập phương a) Hãy phân tích và theo . b) Tính ? - Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2: Câu a. Nhóm 3, 4: Câu b. - Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình bày vào bảng phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày. - GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện. Kết quả. a) b) Ví dụ 3: Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng: Ta có . Suy ra Do đó Kết luận. 2.2 ĐVKT2: VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG. (15 phút) - Mục tiêu: Học sinh hiểu khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian, từ đó rút ra được các nhận xét. - Nội dung, phương thức tổ chức: a) Tiếp cận (khởi động): GỢI Ý Cho hình lập phương . Kể tên một số VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm . b) Hình thành kiến thức. + Chuyển giao: Nêu định nghĩa VTCP của đường thẳng trong không gian. Rút ra nhận xét. + Thực hiện: HS làm việc độc lập, đưa ra câu trả lời nhanh nhất. GV quan sát, nhận xét. + Báo cáo, thảo luận: Sau thời gian tìm hiểu, GV gọi HS đứng dậy trả lời. Các HS khác lắng nghe, nhận xét, bổ sung. + Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: GV tổng hợp, chuẩn hóa kiến thức.Yêu cầu HS ghi bài vào vở. 1. Định nghĩa Vectơ được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng d. c) Củng cố. 2. Nhận xét a) Nếu là VTCP của d thì cũng là VTCP của d . b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn có thể xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một VTCP của nó. c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi là hai đường thẳng phân biệt và có hai VTCP cùng phương. 2.3 ĐVKT3: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC (20 phút) - Mục tiêu: Học sinh hiểu khái niệm góc giữa hai đường thẳng và khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Vận dụng giải quyết một số bài tập liên quan. - Nội dung, phương thức tổ chức: 2.3.1. Góc giữa hai đường thẳng a) Tiếp cận (khởi động): GỢI Ý Cho biết góc giữa các cặp đường thẳng sau: H1: H2: H3: b) Hình thành kiến thức. 1. Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với . 2. Nhận xét: a. Điểm có thể nằm trên đường thẳng hoặc . b. Nếu lần lựợt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng : - Nếu thì góc giữa hai đường thẳng bằng góc . - Nếu thì góc giữa hai đường thẳng bằng . c) Củng cố. GỢI Ý Hãy nêu một số phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian? + Tính góc giữa hai vectơ chỉ phương, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng. + Tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho. - Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1: Ví dụ 4a Nhóm 2: Ví dụ 4b Nhóm 3: Ví dụ 4c Nhóm 4: Ví dụ 5. - Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình bày vào bảng phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày. - GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện. Ví dụ 4. Cho hình lập phương . Tính góc giữa các cặp đường thẳng: a) và b) và c) và a) Ta có: mà nên b) Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên . Do , nên c) Ta có: và là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó: Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD có AB =2a, . M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = a. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Gọi O là trung điểm của AC Suy ra OM song song với AB, ON song song với CD Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng OM và ON. Xét tam giác OMN, ta có: == Suy ra góc =1350 . Suy ra gócgiữa hai đường thẳng AB và CD bằng 450 2.3.2. Hai đường thẳng vuông góc a) Tiếp cận (khởi động): GỢI Ý Cho hình hộp chữ nhật . Kể tên các đường thẳng vuông góc với . b) Hình thành kiến thức. 1. Định nghĩa Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng . Kí hiệu: 2. Nhận xét: a. trong đó lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng . b. c. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể cắt nhau hoặc không cắt nhau. c) Củng cố. GỢI Ý Hãy nêu một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian? + Dùng định nghĩa. + Chứng minh tích vô hướng hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó bằng 0. + - Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm. Nhóm 1, 2: Ví dụ 6 Nhóm 3, 4: Ví dụ 7 - Thực hiện: Học sinh dựa vào kiến thức liên quan trong mặt phẳng, tìm hiểu làm ví dụ vào bảng phụ. - Báo cáo, thảo luận: Các nhóm treo bảng phụ, cử đại diện báo cáo kết quả. Các nhóm khác nhận xét, phản biện. - Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức. HS viết bài vào vở. Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC và SBC cân có chung đáy BC. Chứng minh rằng hai đường thẳng SA và BC vuông góc. Gọi M là trung điểm của BC Vì tam giác ABC và SBC cân đáy BC nên AM và SM vuông góc với BC. Ta có : = = 0 (vì ) Suy ra SA BC. Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD có AB ^ AC, AB ^ BD. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD. CMR: AB ^ PQ. Ta có: Cộng vế theo vế: Suy ra . Kết luận: . 3. LUYỆN TẬP (15 phút) Bài toán. GỢI Ý Bài toán 1] Cho hình lập phương. Tính góc giữa hai đường thẳng và . Gợi ý: Do là hình lập phương nên các tam giác là các tam giác đều Mặt khác nên Bài toán 2. Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và . Chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông. Gợi ý: Trước hết ta dễ thấy tứ giác A’B’CD là hình bình hành, ngoài ra B’C = a = CD nên nó là hình thoi. Ta chứng minh hình thoi A’B’CD là hình vuông. Thật vây, ta có: Suy ra . Vậy tứ giác A’B’CD là hình vuông. Bài toán 3. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và các cạnh bên đều bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng . Gợi ý: Ta có: . Ta lại có: . Xét , nhận thấy: . Theo định lí Pitago đảo, vuông tại . Suy ra: hay . Bài toán 4. Cho hình chóp có và . Chứng minh . Gợi ý: Ta có Mà và . Do đó . Bài toán 5. Cho tứ diện có . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng mình . Gợi ý: Ta có là đường trung bình của . Lại có là đường trung bình của . Tứ giác là hình bình hành. Mặt khác: . Mà . Do đó là hình thoi. Suy ra . 4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG 4.1 Vận dụng vào thực tế (5 phút) CÂU HỎI GỢI Ý HS lấy ví dụ cụ thể về hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau, không cắt nhau) trong thực tế? * Hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau) Xà ngang và cột dọc của một khung thành * Hai đường thẳng vuông góc (chéo nhau) Tuyến đường sắt trên cao và tuyến đường bộ bên dưới cho ta hình ảnh của hai đường thẳng vuông góc 4.2 Mở rộng, tìm tòi (mở rộng, đào sâu, nâng cao,) (5 phút) THÁP NGHIÊNG PISA – KIẾN TRÚC KÌ LẠ CỦA THẾ GIỚI Tháp nghiêng Pisa – Công trình kiến trúc kì lạ của thế giới Tháp nghiêng Pisa là một trong những kiệt tác kiến trúc nổi tiếng bậc nhất thế giới. Độ nghiêng của tháp thách thức thời gian và trở thành điểm nhấn thú vị của kiệt tác kiến trúc này. Tháp nghiêng Pisa được bắt đầu xây dựng từ năm 1173 và hoàn thành vào năm 1372. Sở dĩ quá trình thi công công trình này kéo dài như vậy vì việc xây dựng bị tạm dừng trong 199 năm do chiến tranh nổ ra. Khi hoàn thành xây dựng tầng thứ 3 vào năm 1178, tháp nghiêng Pisa bắt đầu nghiêng về phía Bắc. Nguyên nhân khiến tòa tháp bị nghiêng là do móng của công trình đào không sâu. Sau khi hoàn thành quá trình xây cộng thêm những nỗ lực nâng phần lún của tháp để giữ tháp được cân bằng, tháp nghiêng Pisa vẫn bị nghiêng thêm theo từng năm. Năm 1990, độ nghiêng của tháp lên tới 5,5 độ, chênh lệch mặt phẳng giữa đỉnh tháp và chân tháp là 4,6m. Tháp nghiêng Pisa có độ cao 567m. Toàn bộ tháp gồm 8 tầng nặng tới 14.000 tấn. Trong thời gian từ năm 1990 - 2001, các kiến trúc sư đã thực hiện dự án tu bổ và sửa chữa giúp tháp nghiêng Pisa đứng thẳng. Do vậy, độ nghiêng của tháp giảm xuống còn 3,97 độ. Các chuyên gia tính toán tháp nghiêng Pisa sẽ ổn định trong vòng ít nhất là 200 năm nữa. Tháp nghiêng Pisa còn nổi tiếng là nơi nhà khoa học Galileo làm thí nghiệm cho lý thuyết về khối lượng của ông vào thế kỉ 16. Tháp nghiêng Pisa được UNESCO công nhận là di sản Thế giới vào năm 1987. Tuy nhiên đây chưa phải là công trình nghiêng nhất thế giới. Tháng 6/2010, sách kỷ lục Guinness xác nhận tháp Capital Gate ở thủ đô Abu Dhabi của Các tiểu Vương quốc Ả Rập (UAE) là "Tháp nhân tạo có độ nghiêng nhất thế giới”. Tháp nghiêng Capital Gate Cao 160 m với 35 tầng, Capital Gate nghiêng 18 độ về phía Tây, gấp 4 lần so với tháp nghiêng  Pisa  ở Italy. Tuy nhiên, có một điểm khác biệt là tháp Capital Gate nghiêng theo dụng ý thiết kế từ tầng 12 trở lên, còn tháp Pisa bị nghiêng do thời gian. -----------------------------------------------------------------------------------------