Giáo án Đại số và Giải tích Lớp 11 (CV5512) - Chương 3: Dãy số – Cấp số cộng, cấp số nhân - Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC I. Mục tiêu của bài: 1. Kiến thức: Nắm được phương pháp chứng minh quy nạp đối với các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nÎ N. 2. Kỹ năng: * Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Î N. * Vận dụng giải một số bài tập đơn giản trong sgk 3. Thái độ: * Tư duy logic, nhạy bén và hệ thống. * Vận dụng được kiến thức đã học vào bài tập cũng như trong cuộc sống. * Vận dụng giải một số bài tập đơn giản trong sgk * Tích cực tham gia vào bài học, có tinh thần hợp tác. * Tự tin và có lập trường khi thế giới quan về môi trường sống được nâng cao thêm một bước. 4. Đinh hướng phát triển năng lực: * Năng lực chung: tự học, giải quyết vấn đề, tư duy, tự quản lý, giao tiếp * Năng lực hợp tác. * Năng lực giải quyết vấn đề. * Năng lực tương tác giữa các nhóm và các cá nhân. * Năng lực vận dụng và quan sát. * Năng lực tính toán. * Năng lực chuyên biệt: sử dụng máy tính bỏ túi và tính toán. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh 1. Chuẩn bị của giáo viên: Thiết bị dạy học: Thước kẻ, Copa, các thiết bị cần thiết cho tiết này, Học liệu: Sách giáo khoa, tài liệu liên quan đến kiến thức chứng minh quy nạp. 2. Chuẩn bị của học sinh: Chuẩn bị các nội dung liên quan đến bài học theo sự hướng dẫn của giáo viên như chuẩn bị tài liệu, bảng phụ. 3. Bảng tham chiếu các mức yêu cầu cần đạt của câu hỏi, bài tập, kiểm tra, đánh giá Nội dung Nhận biết MĐ1 Thông hiểu MĐ2 Vận dụng MĐ3 Vận dụng cao MĐ4 Phương pháp quy nạp toán học Phát biểu được phương pháp chứng minh quy nạp đối với các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên nÎ N. Hiểu được các bước chứng minh bằng phương pháp quy nạp Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Î N đơn giản. Chứng minh quy nạp các mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n Î N phức tạp III. Chuỗi các hoạt động học 1. GIỚI THIỆU: (7 phút) Bài toán 1. Thầy giáo kiểm tra bài cũ lớp 11C1 (có 35 học sinh), thầy gọi theo sổ điểm lần lượt các bạn: Alăng Thị Hoa Zơrâm Nói Bling Tình Alăng Diệu Riáh Thị Lan. Cả 5 bạn ấy đều học bài. Thầy kết luận: “Cả lớp 11C1 học bài”. Thầy kết luận như vậy có hợp lí không? Nếu không làm thế nào để có kết luận đúng. Giải Thầy kết luận như vậy là chưa hợp lí vì có thể các bạn từ số thứ tự 6 đến số thứ tự 35 chưa chắc đều học bài. Để thu được kết luận đúng, thầy cần kiểm tra cả lớp (bằng cách kiểm tra 15 phút chẳng hạn). Bài toán 2. GV treo bảng phụ GV phân nhóm: Nhóm 1, 2 thảo luận câu 1; Nhóm 3, 4 thảo luận câu 2 HS quan sát bảng phụ và tiến hành trao đổi, thảo luận theo nhóm Câu 1. Cho mệnh đề P(n): “” Với n=1: 31 < 1+100 Đúng n=2: 32 < 2+100 Đúng n=3: 33 < 3+100 Đúng n=4: 34 < 4+100 Đúng Với n=5 thì mệnh đề P(n) đúng hay sai? Vậy với n là số nguyên dương thì mệnh đề P(n) đúng hay sai? Câu 2. Cho mệnh đề Q(n): “” Với n=1: 21 > 1 Đúng n=2: 22 > 2 Đúng n=3: 23 > 3 Đúng n=4: 24 > 4 Đúng Với n=5 thì mệnh đề Q(n) đúng hay sai? Vậy với n là số nguyên dương thì mệnh đề Q(n) đúng hay sai? Trả lời: Với mọi n Î N* thì P(n) sai vì P(5) sai Trả lời: Ta có Q(5) đúng và với mọi n Î N* thì Q(n) cũng đúng. GV nhận xét: Muốn chứng tỏ một kết luận là đúng, ta phải chứng minh nó đúng trong mọi trường hợp. Xét Q(n), ta thấy với mọi số nguyên dương n>5 thì Q(n) luôn đúng, song ta vẫn chưa thể khẳng định rằng Q(n) là đúng với mọi n Î N*. Vậy, để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n Î N* là đúng với mọi n ta không thể thử trực tiếp được vì tập hợp số tự nhiên là vô hạn mà ta dùng phương pháp quy nạp toán học. 2. NỘI DUNG BÀI HỌC: 2.1 Phương pháp quy nạp toán học (15 phút) +) HĐ1: Tiếp cận GỢI Ý HĐ1.1. Chứng minh rằng với mọi n Î N*, thì: 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n2 (*) => Bài toán này hs có thể giải quyết như thế nào ? HĐ1.2. Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n Î N* là đúng với mọi n ta dùng phương pháp quy nạp toán học. HS lĩnh hội kiến thức +) HĐ2: Hình thành kiến thức. Nội dung phương pháp quy nạp toán học Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ³ 1 (giả thiết qui nạp), chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Kết luận mệnh đề đúng +) HĐ3: Cũng cố Nội dung Hoạt động của GV và HS HĐ3.1 Chứng minh rằng với mọi n Î N*, thì: 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = n2 (1) GV phân tích kỹ lại ví dụ 1 trong sgk * Khi n = 1, VT = VP =1. Vậy (1) đúng. * Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là: 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1) = k2 Ta chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 tức là: 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1)+[2(k+1)-1] = (k+1)2 Thât vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 1 + 3 + 5 + ... + (2k – 1)+[2(k+1)-1] = k2 +[2(k+1)-1] = k2 + 2k +1 =(k+1)2 Vậy mệnh đề đúng với mọi n. HS tiếp thu kiến thức HĐ3.2 Chứng minh rằng với mọi n Î N*, thì: - GV phát phiếu học tập số 1(HĐ3.2) - GVchia 8 nhóm thảo luận - HS thảo luận nhóm để đưa ra kết quả - GV chọn nhóm 1 báo cáo kết quả hoạt động - Các nhóm còn lại thảo luận, đáng giá kết quả - GV nhận định và kết luận kết quả 2.2. Ví dụ áp dụng (15 phút) +) HĐ1: Tiếp cận HĐ1.1. Chứng minh rằng với mọi n Î N*, ta có: chia hết cho 3 (2) GV gợi ý cách giải bài 2a Đặt Sn=. Với n=1 thì S1= 93. Giả sử với k1 ta cóSk= Ta phải cm Sk+13. Thật vậy: Sk+1 Hay Sk+1=Sk+. Theo giả thiết qui nạp thì Sk3, ngoài ra 3 nên Sk+13. Vậy Sn3. HS tiếp thu kiến thức +) HĐ2: Hình thành kiến thức. Nếu phải chứng minh mệnh đề là đúng với mọi số tự nhiên n³ p (p là một số tự nhiên) thì: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ³ p (giả thiết qui nạp), chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. +) HĐ3: Cũng cố Nội dung Hoạt động của GV và HS HĐ3.1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ³ 3 thì: 2n > 2n+1 - GV phát phiếu học tập số 2(HĐ3.1) - GV chia 8 nhóm thảo luận - HS thảo luận nhóm để đưa ra kết quả - GV chọn nhóm 1 báo cáo kết quả hoạt động - Các nhóm còn lại thảo luận, đáng giá kết quả - GV nhận định và kết luận kết quả * Với n=3 ta có: 8>7 => 2n > 2n+1 đúng * Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ³ 3 ta có: 2k > 2k+1 Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1 là 2k+1 > 2(k+1)+1 Ta thấy 2k+1=2.2k >2(2k+1)=4k+2> 2k+3=2(k+1)+1 Vậy mệnh đề đúng với n ³ 3. 3. LUYỆN TẬP (6 phút) Nội dung Hoạt động của GV và HS HĐ. Chứng minh rằng với mọi n Î N*, ta có: - GV phát phiếu học tập số 3 (HĐ) - GV chia 8 nhóm thảo luận - HS thảo luận nhóm để đưa ra kết quả - GV chọn nhóm 1 báo cáo kết quả hoạt động - Các nhóm còn lại thảo luận, đáng giá kết quả - GV nhận định và kết luận kết quả Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng với mọi số nguyên dương n ³ 3? A. 2n > 2n+1. B. 2n > 2n. C. 2n > n+1. D. 2n > n. HS suy nghĩ và trả lời GV nhận xét Câu 2. Với mọi số nguyên dương n thì Sn =n3+2n chia hết cho số bao nhiêu? A. 2. B. 3. C. 4. D. 7. HS suy nghĩ và trả lời GV nhận xét, hoàn chỉnh 4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG (1 phút) Nội dung Hoạt động của GV và HS Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là - GV phát phiếu học tập số 4 - GV chia 10 nhóm thảo luận - GV yêu cầu các nhóm về nhà trao đổi, thảo luận - HS tự thảo luận nhóm để đưa ra kết quả IV. Củng cố, dặn dò: 1 phút - Nhắc lại các kiến thức trọng tâm. - Về nhà xem trước bài “DÃY SỐ”. V. Rút kinh nghiệm. ........... ----------HẾT----------