Giáo án Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình - Bài 3: Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

ương trình bậc nhất ba ẩn đơn giản. Giải được một số bài toán thực tế đưa về việc lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. Biết dùng máy tính bỏ túi để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn. A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: a) b) c) Bài 2: Tìm tham số m để hai đường thẳng và cắt nhau. B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC I. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN: VD1: Trong các hệ phương trình sau, hệ phương trình nào là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x,y? a) b) c) d) VD2: Trong các cặp số sau, cặp số nào là nghiệm của hệ phương trình ? a) . b) . c). d) . KẾT LUẬN: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: (I) thỏa điều kiện và Cặp số đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó. VD3: Bằng các phương pháp đã được học (phương pháp cộng đại số, phương pháp thế), giải các hệ phương trình sau, rồi sau đó dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả. a) b) c) Chú ý 1: - Các khái niệm hệ phương trình tương đương, hệ phương trình hệ quả tương tự đối với phương trình. - Biến đổi hệ phương trình bằng cách áp dụng quy tắc cộng đại số hoặc quy tắc thế là những phép biến đổi tương đương của hệ phương trình. VD4: Biểu diễn tập nghiệm mỗi phương trình trong hệ là một đường thẳng. Hãy biểu diễn trên cùng hệ trục tọa độ mỗi phương trình trong hệ và nhận xét về hai đường thẳng biểu diễn tập nghiệm trong mỗi hệ. Nhận xét sự liên quan giữa nghiệm của hệ phương trình và vị trí tương đối của 2 đường thẳng biểu diễn tập nghiệm. a) b) c) Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất Hai đường thẳng cắt nhau. Hệ phương trình vô nghiệm Hai đường thẳng song song Hệ phương trình có vô số nghiệm Hai đường thẳng trùng nhau KẾT LUẬN: Giả sử có hai đường thẳng và . Khi đó: 1. Hệ (I) có nghiệm duy nhât Û và cắt nhau. Khi đó tọa độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình. 2. Hệ (I) vô nghiệm Û và song song với nhau. 3. Hệ (I) có vô số nghiệm Û và trùng nhau. II. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Xây dựng công thức Ta có: (I) Đặt , , . Khi đó (I) Þ (II) * Trường hợp 1: , hệ phương trình (II) có nghiệm duy nhất Thử lại vào hệ phương trình (I), ta thấy đay cũng là nghiệm của hệ phương trình (I). * Trường hợp 2: , hệ phương trình (II) trở thành: + Nếu hoặc : hệ phương trình (II) vô nghiệm Þ Hệ (I) vô nghiệm + Nếu và : hệ phương trình (II) có vô số nghiệm. VD5: Chứng minh rằng nếu , hệ phương trình (I) cũng có vô số nghiệm. Giải Vì nên ta giả sử Ta có ; Hệ (I) có thể viết thành Do đó, tập nghiệm của hệ phương trình trùng tập nghiệm của phương trình . Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. KẾT LUẬN: Xét hệ phương trình 1. : Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất 2. và hoặc : hệ phương trình vô nghiệm. 3. : hệ phương trình có vô số nghiệm. 2. Thực hành giải và biện luận Chú ý 2: + Cho p, p’,q ,q’ là những số. được gọi là định thức cấp hai. + Định thức cấp hai có hai hàng và hai cột. + Các biểu thức là những định thức cấp hai. VD6: Viết lại các biểu thức , dưới dạng định thức cấp hai. Giải: ; ; VD7: Dùng định thức giải hệ phương trình : Giải: Ta có: Vì nên hệ phương trình có một nghiệm duy nhất VD8: Giải và biện luận hệ phương trình: Giải: Ta có: + Nếu Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất + Nếu * Với , ta có : Hệ phương trình trở thành * Với , ta có , : Hệ phương trình vô nghiệm. * Kết luận: + Với : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất + Với : Hệ phương trình vô nghiệm. + Với m = 1: Hệ phương trình có vô số nghiệm tính theo công thức II. VÍ DỤ VỀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn gồm ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng: . Trong đó, các hệ số của các ẩn không đồng thời bằng 0. Bộ ba số đồng thời là nghiệm của cả ba phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ. Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó. VD8: Giải hệ phương trình sau. Sau khi giải xong, dùng máy tính để kiểm tra lại kết quả. Giải: Nhận xét: Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để quy về giải các phương trình hay hệ phương trình có ẩn số ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta có thể dùng các phương pháp cộng đại số hay phương pháp thế như đối với hệ phương trình hai ẩn. C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP 1. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Nghiệm của hệ phương trình: là A. . B. . C. . D. . Câu 2: Hệ phương trình có nghiệm là: A. (–1; –2). B. (1; 2). C. (–1; ). D.(–1; 2). Câu 3: Tập hợp các nghiệm của hệ phương trình : là tập hợp nào? A. Một đường thẳng. B.Toàn bộ mặt phẳng Oxy. C. Nửa mặt phẳng. D. Æ. Câu 4: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm ? A. 0. B. 1. C. 2 . D. Vô số. Câu 5: Trăm trâu trăm cỏ      Trâu đứng ăn năm     Trâu nằm ăn ba    Ba con một bó Thằng Tí đếm thấy     Trâu đứng tám con     Hỏi có cả thảy bao nhiêu trâu già? A. 80 . B. 81 . C. 78 . D. 84 . Câu 6: Vừa gà, vừa chó      Bó lại cho tròn     Ba mươi sáu con  Một trăm chân chẵn. Hỏi có mấy con gà, có mấy con chó? A. 14 gà, 22 chó. B. 22 gà, 14 chó . C.16 gà, 20 chó . D. 24 gà, 12 chó. Câu 7: Hệ phương trình: có nghiệm duy nhất khi A. m =1 hoặc m =2. B. m = 1 hoặc m = – 2. C. m ¹ –1 và m ¹ 2. D. m ≠ –1 hoặc m ≠ –2. Câu 8: Hệ phương trình: có vô số nghiệm khi A. m = 2 hay m = –2. B. m = –2. C. m = 2. D. m ¹ 2 và m ¹ –2. Câu 9: Tìm a để hệ phương trình vô nghiệm? A. a = 1. B. a = 1 hoặc a = –1 . C. a = –1. D. Không có . Câu 10: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (d1): (m2 – 1)x – y + 2m + 5 = 0 và (d2): 3x – y + 1 = 0 trùng nhau: A. m = –2. B. m = 2. C. m =2 hay m = –2. D. Kết quả khác. 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1: Giải các hệ phương trình sau bằng định thức: 1) 2) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2) Bài 3: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) b) c) Bài 4: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. Bài 5: Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm. Bài 6: Định m để hệ phương trình vô nghiệm. Bài 7: Định m để hệ phương trình có nghiệm. Bài 8 : Định m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên. Bài 9: Cho 2 đường thẳng ( d1): và (d2): . Với giá trị nào của m thì : Hai đường thẳng cắt nhau Hai đường thẳng song song với nhau Hai đường thẳng trùng nhau D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Bài 1: Giải bài toán cổ sau:    Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui.    Chia ba mỗi quả quýt rồi Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh.    Trăm người, trăm miếng ngọt lành. Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao? Giải: Gọi số cam là , số quýt là . Theo đề ta có: Vậy có 7 quả cam và 10 quả quýt. Bài 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 1 đơn vị. Nếu viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại thì được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị. Giải: Gọi chữ số hàng chục là , chữ số hàng đơn vị là () Số cần tìm có dạng 10 + Viết theo thứ tự ngược lại ta có số dạng: 10 + Theo đề ta có Vậy số cần tìm là 74 Bài 3: Một chiếc xe tải đi từ TP. Hồ Chí Minh đến TP. Cần Thơ, quãng đường dài 189km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP. Cần Thơ về TP. Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13km. Giải: Gọi vận tốc xe tải là (km/h); vận tốc xe khách là (km/h) (,) Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km/h nên ta có (1) Đến lúc gặp nhau: + Xe khách đi hết 1 giờ 48 phút = giờ Þ Quãng đường đi được (km) + Xe tải đi hết 1 giờ 48 phút + 1 giờ = giờ Þ Quãng đường đi được (km) Ta có: += 189 (2) Từ (1) và (2) ta có Vậy vận tốc xe tải là 36 km/h; xe khách 49 km/h E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI MỞ RỘNG Em có biết? Lịch sử của định thức Người đầu tiên đưa ra khái niệm định thức là Leibnitz, nhà Toán học Đức, (1646 – 1716) và nhà Toán học Seki Kova, người Nhật Bản. Nó đã được xuất hiện trong công trình của một nhà toán học Nhật Bản khác, là Takakazu (1642 – 1708). Leibnitz đã không công bố phát kiến của mình có liên quan đến định thức. Ông chỉ nói đến nó trong một bức thư gửi nhà oán học L’Hospital để bàn về việc giải hệ phương trình tuyến tính. Ở đó, ông đã nói đến khái niệm này và hết lời ca ngợi nó. Mãi tới năm 1850, khi thư từ của ông được công bố, người ta mới biết rằng ông đã phát hiện ra khái niệm định thức. Leibnitz đã nhấn mạnh ích lợi của việc đánh số bởi hai chỉ số để ký hiệu các hệ số  trong phương trình. Seki đã chạm đến khái niệm định thức khi tìm nghiệm chung của hai đa thức f(x) và g(x) (với bậc thấp). Nhưng ông đã giữ bí mật phương pháp của mình và chỉ tin vào những học trò thân cận nhất. Năm 1674, phát kiến của Seki được công bố, và khi đó phương pháp của ông được trình bày rõ ràng hơn. Ở Châu Âu, Newtow, Bezout và Euler, khi nghiên cứu việc tìm tập nghiệm chung của các phương trình đại số đã gắn chặt việc nghiên cứu của mình với định thức. Vào năm 1750, nhà Toán học Thụy Sĩ Cramer đã công bố công trình tương đối tổng quát liên quan đến định thức. Ông đã đưa ra một biểu diễn định thức cho lời giải của bài toán tìm một đường conic đi qua 5 điểm cho trước. Tuy nhiên, Cramer lại không phải là người chứng minh công thức Cramer mà chúng ta thường dùng. Cauchy Người đầu tiên định nghĩa và nghiên cứu định thức là nhà Toán học Pháp tên là Vandermonde. Ông đã công bố những công trình này vào năm 1771. Ông Nhưng ông mới chỉ tính được định thức Vandermonde cấp 3. Năm 1772, Laplace (1749 – 1827) đã phát hiện công thức khai triển định thức theo 1 dòng hay 1 cột. Tất cả các nhà oán học nói trên đã phát hiện, nghiên cứu định thức, nhưng vẫn chưa có tên gọi của định thức. Tên gọi của định thức lần đầu tiên xuất hiện trong một bài báo của Gauss năm 1801. Hai nhà toán học Pháp là Cauchy (1789 – 1857) và Jacobi (1804 – 1851) đã trình bày lý thuyết định thức một cách hệ thống. Từ đó khái niệm định thức trở nên phổ cập hơn.