Đề thi tuyển sinh Lớp 10 THPT năm học 2013-2014 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút) Bài 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm x để Bài 2 (2,0 điểm): 1) Xác định độ dài các cạnh của một hình chữ nhật, biết hình chữ nhật có chu vi bằng 28 cm và 5 lần chiều rộng hơn 3 lần chiều dài 6 cm. 2) Cho đường thẳng (D): y = (m - 1)x + m2 - 4 (m là tham số khác 1). Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (D) với trục Ox và Oy. Xác định tọa độ điểm A, B và tìm m để 3OA = OB. Bài 3 (2,0 điểm): Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số) 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì: a. Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó. b. Đường thẳng (d) luôn cắt (P) taioj hai điểm phân biệt. 2) Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(-1; 5) Bài 4 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB với AC < BC và đường cao CH. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M khác B và C), gọi E là giao điểm của CH và AM. 1) Chứng minh tứ giác EHBM là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh AC2 = AH. AB và AC. EC = AE. CM 3) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM. Xácđịnh vị trí của điểm M để khoảng cách từ H đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM là ngắn nhất. Bài 5 (0,5 điểm): Cho các số thực dương x, y thảo mãn (x + y - 1)2 = xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức --- HẾT --- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 - 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Hướng dẫn này gồm 4 trang) Bài 1 (2,0 điểm): Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm x để Ý Đáp án Điểm 1 (1,5đ) Với x > 0 và x ¹ 1 thì P xác định. Ta có: Vậy với x > 0 và x ¹ 1 thì 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 2 (0,5đ) Đặt 0,25 0,25 Bài 2 (2,0 điểm): 1) Xác định độ dài các cạnh của một hình chữ nhật, biết hình chữ nhật có chu vi bằng 28 cm và 5 lần chiều rộng hơn 3 lần chiều dài 6 cm. 2) Cho đường thẳng (D): y = (m - 1)x + m2 - 4 (m là tham số khác 1). Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (D) với trục Ox và Oy. Xác định tọa độ điểm A, B và tìm m để 3OA = OB. Ý Đáp án Điểm 1 (1,0đ) * Gọi độ dài chiều rộng hình chữ nhật là x (cm, 0 < x < 7) và độ dài chiều dài là y (cm, 7 < y < 14) 0,25 * Vì 5 lần chiều rộng hơn 3 lần chiều dài 6cm. Ta có pt: 5x - 3y = 6 (1) 0,25 * Chu vi hình chữ nhật là 28 cm. Ta có phương trình: 2(x + y) = 28 Û x + y = 14 (2) * Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 0,25 Vậy hình chữ nhật có chiều dài là 8cm, chiều rộng là 6cm 0,25 2 (1,0đ) + Cho y = 0 , ta có + Cho x = 0 Þ y = m2 - 4, ta có B(0; m2 - 4) + Theo giả thiết: 3OA = OB Vậy m = ±2, m = 4 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3 (2,0 điểm): Cho Parabol (P): và đường thẳng (d): y = mx + m + 5 (m là tham số) 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì: a. Đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định, tìm tọa độ điểm đó. b. Đường thẳng (d) luôn cắt (P) taioj hai điểm phân biệt. 2) Tìm tọa độ hai điểm A và B thuộc (P) sao cho A đối xứng với B qua điểm M(-1; 5) Ý Đáp án Điểm 1a. (0,5đ) * Giả sử đt (d) luôn đi qua điểm M(x0, y0) cố định với mọi giá trị của m Khi đó ta có: y0 = mx0 + m + 5 đúng " m ÎR Û y0 - 5 = m(x0 + 1) đúng " m ÎR Û y0 = 5 và x0 = - 1. Vậy đthẳng (d) luôn đi qua điểm cố định M(- 1; 5) với mọi giá trị của m 0,25 0,25 1b. (0,75đ) * Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P): x2 - 2mx - 2m - 10 = 0 (1) D' = m2 -(- 2m - 10) = (m + 1)2 + 9 ≥ 9 " m ÎR Þ D' > 0 " m ÎR Þ pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Þ đt (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B với mọi giá trị của m 0,25 0,25 0,25 2 (0,75đ) + Gọi tọa độ điểm A là A(a; b). Do A Î (P) nên b = a2/2 Theo giả thiết: A đối xứng với B qua M(-1; 5) nên M là trung điểm của AB Ta có: + Do B Î (P) nên + Với a = 2 ta có: A(-2; 2), B(-4; 8) + Với a = -4 ta có: A(-4; 8), B(2; 2) 0,25 0,25 0,25 Bài 4 (3,5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB với AC < BC và đường cao CH. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M khác B và C), gọi E là giao điểm của CH và AM. 1) Cm tứ giác EHBM là tứ giác nội tiếp 2) Cm AC2 = AH. AB và AC. EC = AE. CM 3) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM. Xác định vị trí của điểm M để khoảng cách từ H đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM là ngắn nhất. Ý Đáp án Điểm 1 (1,0đ) + Xét tứ giác EHBM có: (1) (gnt chắn nửa đt đk AB) (2) + Từ (1) và (2) + Vậy tứ giác EHBM nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 1800) 0,25 0,25 0,25 0,25 2a (1,0đ) Xét DABC có: (Gnt chắn nửa đường tròn đk AB) CH ^ AB (gt) Þ AC2 = AH. AB (hệ thức lượng trong D vuông) 0,25 0,25 0,5 2b (1,0đ) * Ta có (2 gnt cùng chắn cung AC) mà (cùng phụ với ) Xét DACE và DACM có: (cmt) chung ÞDACE ~ DAMC (gg) Þ AE: AC = CE: CM Þ AC.EC = AE.CM (đpcm) 0,5 0,25 0,25 3 (0,5đ) * Xét đt tâm I ngoại tiếp DCEM có: (cmt) Mà là gnt chắn , nên Þ Mà nằm trong nên AC là tiếp tuyến của (I) ngoại tiếp D CEM * Vì AC là tiếp tuyến của (I) nên AC ^ CI, mà AC ^ CB (cmt) Nên I Î CB. * Kẻ HK ^ CB tại K Þ HI ≥ HK (không đổi) do đó: Min HI = HK Û I º K Vẽ đường tròn (K), bán kính KC cắt đường tròn đường kính AB tại M. Ta có vị trí cần tìm của điểm M. 0,25 0,25 Bài 5 (0,5 điểm): Cho các số thực dương x, y thảo mãn (x + y - 1)2 = xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ý Đáp án Điểm 0,5đ + Ta có: * (x + y - 1)2 = xy. + Áp dụng (1), (2), (3) ta có: Dấu "=" xảy ra ra khi x = y Thay x = y vào đẳng thức: (x + y - 1)2 = xy tìm được x = y = 1 Vậy min P = 2 Û x = y = 1 0,25 0,25 Lưu ý: +) Trên đây chỉ là hướng dẫn và các bước giải bắt buộc. Bài giải phải có lập luận chặt chẽ, biến đổi hợp lý mới cho điểm tối đa; +) Mọi cách giải khác đúng cho điểm tối đa theo thang điểm; +) Bài 4 nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai thì không chấm điểm; +) Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.