Đề thi tuyển sinh lớp 10 của một số trường - Môn: toán (có đáp án)

nh cũng được tô bằng cùng một màu (khác màu tô trên đỉnh) . Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1998-1999 Ngày thứ I:Bài 1:a) Giải phương trình : b) Giải hệ phương trình : Bài 2:Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện Tính giá trị của biểu thức Bài 3: Cho các số . Chứng minh rằng :Bài 4: Cho đường tròn (O) bán kính R . A và B là hai điểm cố định trên đường tròn, (AB<2R) . Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn .a) Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt đường tròn (O) tại N . Gọi J là trung điểm của MN . Chứng minh rằng khi M thay đổi trên đường trỏn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định .b) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tam giác AMB lớn nhất .Bài 5:a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho mỗi sốvà đều là lập phương của một số nguyên dương .b) Cho các số thay đổi thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Ngày thứ II:Bài 1:a) Giải hệ phương trình : b) Với những giá trị nào của câu a thì phương trình sau đây có nghiệm : Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : Bài 3:a) Cho a, b, c là các số thỏa mãn : i. ii. phương trình vô nghiệm Chứng minh rằng : b) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Bài 4:Cho bảng ô vuông kích thước (bảng gồm 1998 hàng và 2000 cột ) . Kí hiệu (m,n) là ô vuông nẳm ở giao hàng thứ m (tính từ trên xuống) và cột n ( tính từ trái sang phải ) . Cho các số nguyên với và . Tô màu các ô vuông con của bảng theo quy tắc :a) Lần thứ nhất tô màu năm ô : b) Từ lần thứ hai trở đi, mỗi lần tô năm ô chưa có màu nằm liên tiếp trong cùng một hàng hoặc cùng một cột .Hỏi bằng cách đó ta có thể tô màu hết tất cả các ô vuông con của bảng hay không ? Giải thích tại sao ?Bài 5:Cho tam giác đều ABC . Trong tam giác ABC, vẽ ba vòng tròn, có bán kính bằng nhau, tiếp xúc ngoài lẫn nhau và mỗi vòng tròn đều tiếp xúc với hai cạnh của tam giác . Gọi là vòng tròn tiếp xúc ngoài với cả bà vòng tròn . Biết bán kính của vòng tròn là , hãy tính độ dài cạnh của tam giác ABC . Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1999-2000 Ngày thứ I:Bài 1: Cho các số thỏa mãn : Tính giá trị của biểu thức .Bài 2:a) Giải phương trình : b) Giải hệ phương trình :Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho chia hết cho .Bài 4: Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn . Dựng qua I hai dây cung bất kì MIN và EIF . Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF . a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp . b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi . c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau . Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn nhất .Bài 5:Các số dương thay đổi thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Ngày thứ II:Bài 1: Giải phương trình : Bài 2: Cho các số được xác định bởi công thức với mọi . Tính giá trị của tổng Bài 3: Chứng minh rằng tồn tại một số chia hết cho 1999 và tổng các chữ số của số đó bằng 1999 Bài 4: Cho vòng tròn tâm O bán kính R . Giả sử A và B là hai điểm cố định trên vòng tròn với .a) Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn . Vòng tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA tại E và tiếp xúc với MB tại F . Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M thay đổi .b) Tìm tập hợp tất cả điểm P sao cho đường thẳng vuông góc với OP tại P cắt đoạn thẳng AB .Bài 5:Cho hình tròn (O') bán kính bằng 1 . Giả sử là 8 điểm bất kì nằm trong hình tròn (kể cả trên biên) . Chứng minh rằng trong các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1 Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 2000-2001 Ngày thứ I:Bài 1: a) Tính b) Giải hệ phương trình : Bài 2:a) Giải phương trình b) Tìm tất cả các giá trị của a ( a R ) để phương trình : có ít nhất một ngiệm nguyên .Bài 3: Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong hình thang ABCD (AB//CD), tiếp xúc với cạnh AB tại E và với cạnh CD tại F . a) Chứng minh rằng . b) Cho biết , . Tính diện tích hình thang ABCD .Bài 4: Cho x, y là hai số thực bất kì khác không. Chứng minh rằng : Đẳng thức xảy ra khi nào ? Ngày thứ II:Bài 1:a) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn : .b) Cho cặp số thỏa mãn : , . Chứng minh : , .Bài 2:a) Giải phương trình .b) Cho có tính chất , , đều là các số hữu tỉ . Chứng minh rằng là các số hữu tỉ . Bài 3:a) Cho tứ giác lồi ABCD . Chứng minh rằng, nếu các góc B và D của tứ giác là vuông hoặc tù thì .b) Cho đoạn thẳng AC cố định và điểm B di động . Hãy tìm tập hợp các điểm B để tam giác ABC là tam giác không tù và góc là góc bé nhất của tam giác ABC .Bài 4: Trên mặt phẳng cho 6 điểm sao cho không có điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa các cặp điểm là các số khác nhau . Ta nối mỗi cặp điểm bởi một đoạn thẳng. Chứng minh rằng, trong các đoạn thẳng vừa thu được có một đoạn thẳng là cạnh bé nhất của một tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho đồng thời là cạnh lớn nhất của một tam giác khác cũng có 3 đỉnh là 3 trong số 6 điểm đã cho . Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội_ toán vòng 1 ‎ I (3đ)1,Giải hệ: 2,Giải pt:II(3đ)1)Tìm số có 4 chữ số t/m:2)Tìm để pt có nghiệm nguyên. III(3đ)vuông ở A. AH BC. . 1) C/m tâm đường tròn ngoại tiếp AMN trùng tâm đ/tròn nt ABC2) d1,d2 là 2 đt vuông với BC ở M,N. C/m d1,d2 tiếp xúc đường tròn nt ABCIV(1đ)Giả sử a,b nguyên dương t/m Tìm max:P= Câu 1 : Câu 2 :2) Đk cần là là số cp--> Đặt . Tách xong ta đc :NX : và cùng tính chẵn lẻ , từ đó làm nốt ra kết quả.Cách 2: ta có: Ta có 2 nghiệm của phương trình là Do chúng đều nguyên vậy, suy ra Do đó , mặt khác 16072 không chia hết cho 16 vậy không có p thỏa mãn cho phương trình trên có nghiệm nguyên Cách 3: Gọi và là nghiệm của phương trình ( , là các số nguyên ) Theo hệ thức Viét :+ = = Vì và là các số nguyên nên là nguyên p lẻ là nguyên p chẵn VÔ LÝ Vậy không tồn tại p thỏa mãnCâu 3 :1) Gọi O là tâm nội tiếp . CM đc O là trung trực AM , AN--> O là tâm ngoại tiếp AMN.2) Kẻ --> EF là đg kính--> đpcm.Câu 4 : Ta có Do đó vậy Giả sử và , ta có Do đó trong 2 số có một số nhỏ hơn 3.Giả sử , xét ta có , lúc này Xét ta cóMặt khác ta có Vậy Tóm lại đẳng thức xảy ra khi Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội_ toán vòng 2 ‎ Câu 11.Giải hệ phương trình :2. Tìm giá trị lớn nhất của biều thức:với Câu 2:1.Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức:.2.Tìm số nguyên dương a,b,c sao cho là một số nguyên.Câu 3: Cho nột tiếp (O). Giả sử các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhâu tại P nằm khác phía với A đối với BC. Trên cung BC không chứa A ta lấy điểm K(K khác B và C). Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hai tại điểm Q khác A.1) Chứng minh rằng các đường phân giác của các góc và đi qua cùng một điểm trên đường thẳng PQ.2)Giả sử đường thẳng AK đi qua trung điểm M của cạnh BC. Chứng minh rằng AQ // BCCâu 4:Cho phương trình (1) Trong đó các hệ số chỉ nhận một trong ba giá trị và . Chứng minh rằng là nghiệm của (1) thì Câu 1: trừ vế theo vế dcvì ko thể bằng 0 nếu bằng thì thay vào bài toán thấy vô lý=>thay ngược vào đề là ra Bài 4:->(vì các a nhận giá trị 1 0-1)-> (): ()giả sử |x| 2->|x|-1 1-> VP đpcm §Ò tuyÓn sinh vµo 10 - Chuyªn Lam S¬n (6) Bµi 1: Cho K = ( - ) : ( + ) TÝnh K khi a = 3 +2 Bµi 2: Cho f(x) = x4 – 4x2 + 12x –9 a, Ph©n tich f(x) thµnh tÝch b, Gi¶i ph­¬ng tr×nh f(x) = 0 Bµi 3: Gi¶i ph­¬ng tr×nh . Bµi 4 : T×m m ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau v« nghiÖm Bµi 5: Cho (P ) y = x2- 2x –1 ; () y = x-1 a, T×m to¹ ®é giao ®iÓm A, B cña (P) vµ () . b, T×m M ε(OX) sao cho MA + MB lµ nhá nhÊt Bµi 6: Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh Bµi 7: Cho a,b lµ hai sè d­¬ng. Chøng minh r»ng :+ Bµi 8. Cho tam gi¸c ABC cã träng t©m G a, Chøng minh r»ng dt(GAB)®t(GCA),dt(GBC) b, Gäi M,N,P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB,BC,CA. O lµ t©m ®­êng trßn ngo¹i tiÕp ABC . CMR O lµ trùc t©m cña MNP. Bµi 9: Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã AB =a, BC = a, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC CMR : AM ^ BD Bµi 10: Cho h×nh chãp SABCD Cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng, SA ^ ®¸y . M lµ mét ®iÓm di ®éng trªn BC , K lµ h×nh chiÕu cña S trªn DM . T×m quü tÝch cña ®iÓm K khi M di ®éng . §¸p ¸n to¸n chung- TuyÓn sinh vµo 10 lam s¬n Bµi Néi dung §ØÓm 1 (2®) K = : = Khi a= 3 + 2= (+ 1)2 => K = =2 1.0 1.0 2 (2®) a, Ta cã f(x) = x4 - 4x2 + 12x - 9 = x4- (2x - 3)2 = (x2 + 2x - 3)(x2 - 2x + 3) =((x +1)2 - 2x2)(x2 - 2x + 3) =(x - 1)(x + 3)(x2 - 2x + 3) b, f(x) = 0 t­¬ng ®­¬ng víi VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x = 1, x = -3 1.0 1.0 3 (2®) Ph­¬ng tr×nh VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x= - 1.0 1.0 1. 0 4 (2®) HÖ ó y = mx-1 (m-)x= -1001 (*) HÖ ph­¬ng tr×nh v« nghiÖm ó (*) v« nghiÖm ó m - = 0 ó m = th× hÖ v« nghiÖm. 1.0 1.0 5 (2®) a. Giao ®iÓm cña (P) vµ () lµ nghiÖm cña hÖ => Giao ®iÓm A(0;-1) vµ B(3;2) b. V× A(0;-1) vµ B( 3;2) n»m vÒ hai phÝa cña ox M cÇn t×m lµ giao ®iÓm cña ox vµ AB Trong ®ã AB : = ó x-y =1 M VËy M(1;0) th× MA+ MB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt 1.0 1.0 6 2.0 HÖ ( v× VËy hÖ cã nghiÖm (0; 0) (;),(-;-) 1.0 1.0 7 2.0 BÊt ®¼ng thøc t­¬ng ®­¬ng víi BÊt ®¼ng thøc ®· cho ®óng DÊu b»ng x¶y ra ó a=b 1.0 1.0 8 (2®) Ta cã : = = = => dt(GBC) =dt(ABC) T­¬ng tù :dt(GCA) = dt(ABC) dt(GAB) = dt(ABC) dt(GAB)=dt(GBC)=dt(GCA) Ta cã ON ^ BC => ON^ MP => ON lµ ®êng cao cña MNP MP // BC OM ^ AB => OM ^ NP Þ OM lµ ®êng cao cña MNP NP // AB O lµ trùc t©m cña MNP 1.0 1.0 9 (2®) Gäi H lµ giao ®iÓm cña AM vµ BD Trong vu«ng ABD ta cã BD ==a vu«ng cã AM = = V× M = AD => == HA = 2HM =BD= HA2 + HD2= AD2 HAD vu«ng t¹i H -> AM ^ BD 1.0 1.0 10 (2®) Ta cã : => DM ^ (SAK) Gãc -> K thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh AD 1.0 1.0