Đề thi chọn học sinh năng khiếu cấp huyện năm học 2013 - 2014 môn: toán lớp 7

ĐỀ CHÍNH THỨC PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU CẤP HUYỆN Năm học 2013 - 2014 Môn: TOÁN lớp 7 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1. Cho hàm số y = f(x) = 5x2 - 2 a/ Tìm x để f(x) = 3 b/ Chứng tỏ rằng với mọi xR thì f(x) = f(-x) Bài 2. a/ Cho Chứng minh rằng a = b = c b/ Cho T là một số tự nhiên lớn hơn 99, gọi b là số lập bởi hai chữ số cuối cùng của T, a là chữ số còn lại của T. Chứng minh rằng: T 8 khi và chỉ khi (4a + b) 8 hoặc (4a - b) 8 Bài 3. Cho phân số: C = a/ Chứng minh rằng phân số trên tối giản. b/Chứng minh rằng C biểu diễn được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Bài 4. 1/ Cho tam giác ABC, AB = AC,  < 900. Kẻ BD vuông góc với AC (DAC), trên cạnh AB lấy E sao cho AE = AD. Chứng minh rằng: a/ CE vuông góc với AB b/ ED // BC 2/ Cho tam giác ABC có góc A bằng 1200. Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 + AB.AC Bài 5. Cho các số nguyên a, b, c, d ,biết a < 2b; b < 3c; c < 4d; và d < 5. Tìm giá trị lớn nhất của số a. ----------------------------------------Hết-------------------------------------- Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm PHÒNG GD&ĐT PHÙ NINH §¸p ¸n KỲ THI CHỌN HSNK CẦP HUYỆN Năm học 2013-2014 Môn: Toán 7 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 Cho hàm số y = f(x) = 5x2-2 a/ Tìm x để f(x) = 3 b Chứng tỏ rằng với mọi xR thì f(x) = f(-x) Phần Hướng dẫn chấm a/ f(x)=3 ó 5x2-2 = 3 ó x2 =1 ó x=1 Vậy x=1 thì f(x) =3 b/ Ta có :f(x) = 5x2-2 (1) f(-x) =5(-x)2-2 = 5x2-2 (2) Từ (1,2 )suy ra :với mọi xR thì f(x) = f(-x) Bài 2. a/Cho Chứng minh rằng a = b = c b/Cho T là một số tự nhiên lớn hơn 99, gọi b là số lập bởi hai chữ số cuối cùng của T, a là chữ số còn lại của T Chứng minh rằng: T8 khi và chỉ khi (4a+b)8 hoặc (4a-b) 8 Phần Hướng dẫn chấm a/ Theo tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có:== (1) =(2). Từ (1);(2) ta có :18(a-c)=15(a-c) ó 3(a-c)=0 óa=c kết hợp với (2) ta có a-b=0 .Vậy a=b=c b/ Từ giả thiết ta có : T =100a+b =[96a + (4a+b)] 8 ó (4a+b)8 Mặt khác :T =100a+b =[104a - (4a-b)] 8 ó (4a-b)8 Vậy:T8 khi và chỉ khi (4a+b)8 hoặc (4a-b) 8 Bài 3 Cho phân số: C= a/ Chứng minh răng phân số trên tối giản b/Chứng minh rằng C biểu diễn được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Phần Hướng dẫn chấm a/ Ta có:m(m+1)(m+2)+6 =m3+3m2+2m +6 Gọi d=ƯCLN(m(m+1)(m+2)+6 ;m3+3m2+2m +5) (d là số nguyên d0) ta có :m(m+1)(m+2)+6 =m3+3m2+2m +6 d (1) ;m3+3m2+2m +5 d (2)  Từ (1) và (2) suy ra 1d ó d=1 (Đpcm) b/ Từ kết quả câu a/ ta có : m3+3m2+2m +5 =m3+3m2+2m +5 m(m+1)(m+2)+5 không chia hết cho 3, m(m+1)(m+2)+6 3 mà C tối giản (cma/) Nên mẫu số của C chứa thừa số nguyên tố 3 nên C biểu diễn được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Bài 4 1/ Cho tam giác ABC, AB=AC,Â<900.Kẻ BD vuông góc với AC (DAC),trên cạnh AB lấy E sao cho AE =AD. Chứng minh rằng: a/ CE vuông góc với AB b/ ED// BC 2/ 2/ Cho tam giác ABC có góc A bằng 1200.Chứng minh rằng : BC2 = AB2+AC2 +AB.AC Phần Hướng dẫn chấm a/ a/ Vì AB=AC (gt) ; AE = AD (gt) suy ra : BE =CD (1) +Ta có : B =C (gt) (2); BC (Cạnh chung) (3) + Từ (1,2,3) suy ra BED = CDB (c.g.c) => E = D =900 (góc tương ứng) Suy ra CE vuông góc với AB b/Vì ABC cân A => B =C = (1) Vì AE =AD (cma) => E =D = (2) Từ (1,2) ta có E =B và B ,E ở vị trí đồng vị suy ra ED//BC b/ Hạ AH vuông góc với CA ta có HAB =600 HBA=300 => AH=AB ó AB =2AH (1) - Áp dụng Py ta go vào tam giác vuông BHC Ta có: BC2 =BH2+HC2 = BH2+ (HA +AC)2 = BH2+(HA +AC)(HA +AC) =BH2 +AB2+AC2+2AC.AH =BH2 +AB2+AC2+AB.AC (do (1)) Vậy nếu  =1200 thì BC2 = AB2+AC2 +AB.AC Bài 5 Cho các số nguyên a,b,c,d .Biết a<2b; b<3c; c< 4d; và d<5 Tìm giá trị lớn nhất của số a. Phần Hướng dẫn chấm a/ Ta có d là số nguyên , max(d)=4 Ta có :c< 4d <4.4=16 ó vì c là số nguyên nên max(c) =15 Tương tự: b< 3c <3.15 = 45 mà b nguyên nên max(b) = 44 a<2b ó a< 88 mà a nguyên nên max (a) =87 Vậy giá trị lớn nhất của a bằng 87