Đề tài Phương trình đại số trong chương trình giáo dục phổ thông

án học phổ thông. III. Một số phương trình thường gặp: Phần I. Phương trình chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối. Nguyên tắc giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối: Khử dấu giá trị tuyệt đối. Dạng 1. Giải phương trình: , Với k là hằng số không âm. Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện để xác định (nếu cần). Bước 2: Khi đó . Tìm nghiệm x. Bước 3. Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a. b. Giải: a. Điều kiện: . Đối chiếu điều kiện ta có phương trình có hai nghiệm và . b. Ta có Vậy phương trình có 4 nghiệm ; ; và . Dạng 2. Giải phương trình . Phương pháp giải: Bước 1: Đặt điều kiện để và xác định (nếu cần). Bước 2: Khi đó . Tìm nghiệm x. Bước 3. Kiểm tra điều kiện, từ đó đưa ra kết luận nghiệm cho phương trình. Ví dụ: Giải các phương trình: a. b. Giải: a. Ta có Vậy phương trình có 2 nghiệm và . b. Ta có Vậy phương trình có 4 nghiệm và . Dạng 3. Giải phương trình . Phương pháp giải: Ta có thể lựa chọn một trong ba cách giải sau: Cách 1: Dùng phép biến đổi tương đương sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối. Cách 2: Dùng phép biến đổi tương đương sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối. Cách 3: Bình phương hai vế đưa về một phương trình hệ quả không chứa giá trị tuyệt đối, tìm nghiệm của phương trình hệ quả rồi thử lại. Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Ta có Cách 1: Vậy phương trình có nghiệm . Cách 2: Vậy phương trình có nghiệm . Cách 3. Thử lại ta thấy thoả mãn phương trình. Vậy phương trình có nghiệm . Lưu ý: 1. Qua ví dụ trên ta thấy các cách đều có độ phức tập như nhau. Vậy trong trường hợp nào thì cách 1, cách 2 hay cách 3 sẽ hiệu quả hơn? Khi bất phương trình đơn giản thì nên dùng cách 1, còn nếu bất phương trình đơn giản thì nên dùng cách 2. Tuy nhiên nếu cả hai cùng phức tạp thì ta có thể dùng cách 3 sau đó thử lại. 2. Đối với các phương trình khác thì chúng ta luôn chú ý đến khái niệm giá trị tuyệt đối và các tính chất của nó để linh hoạt trong quá trình giải toán. Phần II. Phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai. Nhắc lại, nguyên tắc để giải phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai đó là: Khử dấu căn bậc hai. Cách mà chúng ta thường dùng để khử dấu căn bậc hai là bình phương. Dạng 1. Giải phương trình: , với k là hằng số không âm. Phương pháp giải: Dùng phép biến đổi tương đương: Chú ý: Đối với phương pháp này không cần đặt điều kiện vì trong phương trình đã chứa điều kiện . Đôi khi việc giải điều kiện này lại rất phức tạp. Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Phương trình Vậy phương trình có 2 nghiệm là và . Nhận xét: Ở đây có một số học sinh không hiểu, đã đặt điều kiện nên mất thời gian và giải xong lại phải đối chiếu điều kiện. Như thế là thừa. Dạng 2. Giải phương trình: Phương pháp giải: Dùng phép biến đổi tương đương: Chú ý: Việc chọn điều kiện hay là điều cần lưu ý. Trong quá trình giải nếu bất phương trình nào đơn giản thì chọn điều kiện đó. Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Phương trình Vậy phương trình có nghiệm là . Nhận xét: Ở đây có một số học sinh vẫn đặt điều kiện để phương trình có nghĩa, rồi mới biến đổi tương đương. Làm như thế là thừa. Dạng 3. Giải phương trình . Phương pháp giải: Đã trình bày trong phần lý thuyết. Chú ý: Trong làm toán cần chú ý đến việc lựa chọn phương pháp giải. Cách 1 chỉ có hiệu quả trong trường hợp bất phương trình giải được nhanh. Còn nếu trường hợp khó khăn thì nên dùng cách 2. Cách 3 được áp dụng khi bài toán phải nâng lên luỹ thừa mà bậc của nó quá cao. Ví dụ 1. Giải phương trình Phân tích: Bài toán này do vế phải là nhị thức bậc nhât đồng thời sau khi bình phương hai vế ta được một bất phương trình bậc hai ngay nên ta sử dung cách 1 là có hiệu quả. Giải: Ta có phương trình Vậy phương trình có nghiệm là . Chú ý: Tránh nhầm điều kiện thành . Ví dụ 2. Giải phương trình Phân tích: Phương trình này nếu dùng cách 1 khi biến đổi bước 1 chúng ta gặp phải phương trình mà vế phải là một tam thức bậc hai, nên trình bày theo cách 1 sẽ phức tạp. Ta có thể dùng cách 2 sẽ hiệu quả hơn. Giải. Ta có phương trình Thử lại ta thấy phương trình có nghiệm là . Chú ý: Khi sử dụng phương trình hệ quả phải nhớ thử nghiệm và cũng vì thế không cần đặt điều kiện của phương trinh. Ví dụ 3. Giải phương trình Phân tích: Nếu giải phương trình này theo cách 1 hoặc cách 2 thì phải bình phương hai vế, nếu như thế lúc đó sẽ được một phương trình bậc 4, giải rất phức tạp. Nên ta có thể dùng cách 3 để làm giảm mức độ phức tạp đó. Giải: Ta có Đặt , , phương trình trở thành: Đối chiếu điều kiện ta có . Do đó ta có: Vậy phương trình có 2 nghiệm là và . Dạng 4. Phương trình chứa nhiều căn bậc hai. Phương pháp giải: Để giải các bài toán này chúng ta phải nghĩ đến việc làm mất căn thức. Cách làm có thể đó là bình phương cho đến khi nào mất hết căn. Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Do hai vế không âm nên bình phương hai vế ta có: Vậy phương trình có hai nghiệm và . Chú ý: Trình bày như trên chúng ta thấy rất dễ dàng, nhưng học sinh thường bị sai sót ở bước (*) như sau: Thứ nhất không được viết gọn lại thành mà phải để nguyên , hoặc muốn viết thì ngay từ đầu phải đặt điều kiện để các căn thức đó có nghĩa. Thứ hai đến bước (*) muốn bình phương hai vế thì phải có điều kiện cho các biểu thức trong căn có nghĩa. IV. Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. Các phương trình vô tỉ thường phức tạp, khác hoàn toàn với các dạng cơ bản đã giới thiệu ở trên, do đó việc giải cũng không hoàn toàn dễ dàng mà đòi hỏi phải tư duy một cách hợp lý. Sau đây là một số phương pháp. 1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai, bậc ba. Để giảm độ phức tạp của các bài toán đã cho ta thường đặt ẩn phụ một cách phù hợp. Dưới đây là một số ví dụ. Ví dụ 1. Giải phương trình: Phân tích: Để ý rằng khi khai triển tích ta thấy có một bộ phận giống với biểu thức trong căn. Do đó ta có thể đặt là giải được bài toán. Giải: Đặt , Ta có phương trình: loại vì do đó (*) Vậy phương trình có hai nghiệm và . Chú ý: Trong bài này có căn nhưng ta không cần đặt điều kiện, vì bước (*) đã bao gồm luôn điều kiện để căn có nghĩa, điều này làm giảm được một phần sự phức tạp của bài toán. Ví dụ 2. Giải phương trình: Giải: Bình phương hai vế ta có: (*) Điều kiện: . Ta có (*) Đặt , với ta có phương trình sau: loại vì do đó Vậy phương trình có hai nghiệm và . Chú ý: Ở ví dụ này điều kiện của phương trình (*) là hết sức quan trọng, nếu ở đây không đặt điều kiện thì không viết được các bước tiếp theo. 2. Đặt ẩn phụ, coi x là tham số. Phương pháp giải là sau khi đặt ẩn phụ ta vẫn còn x, ta sẽ giải ẩn phụ đó theo x. Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Đặt , với , ta có phương trình: Ta coi phương trình theo ẩn t và tính , do đó loại vì do đó Vậy phương trình có nghiệm . 3. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình. Đối với phương trình có nhiều loại căn thức ta có thể đặt mỗi một căn là một ẩn phụ để đưa về hệ phương trình. Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Điều kiện . Đặt ; với , ta có hệ phương trình sau: Thay (1) vào (2) ta được: Thử vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm là . Có những phương trình chúng ta chỉ cần đặt thêm một ẩn phụ mới, ta cũng chuyển về được hệ phương trình. Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: . Đặt với . Ta có hệ phương trình: Đặt ; với . Ta có hệ phương trình: loại vì do đó Thử và vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có hai nghiệm và . Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải: Đặt . Ta có hệ phương trình sau: Trừ vế theo vế hai phương trình ta có: Vậy ta có Thử và vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có hai nghiệm và . 4. Đặt ẩn phụ và sử dụng hằng đẳng thức. Đối với phương trình có dạng ta sử dụng phương pháp này. Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Đặt ; ; Ta có phương trình: Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm ; và . 5. Sử dụng lượng liên hợp trong biến đổi. Ta biết mục đích của việc nhân lượng liên hợp là biến đổi thành hằng đẳng thức để làm mất căn. Ví dụ: Giải phương trình: Giải: Điều kiện . Với điều kiện đó ta thấy . Nhân vào hai vế với ta có: loại vì do đó Bình phương hai vế ta có: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất . Trong quá trình giải toán chúng ta còn gặp rất nhiều phương trình chứa căn ở những cách viết khác nhau. Để giải được các phương trình đó, chúng ta cần nắm vững các phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả, đồng thời biết sử dụng linh hoạt các phương pháp trên. Chúng ta cũng có thể sáng tạo ra nhiều bài toán tương tự để rèn luyện thêm cho học sinh, trên cơ sở đó khắc phục các sai sót, phát huy tính sáng tạo của các em. Trong nội dung bài viết này chúng tôi không đề cập đến các phương trình có chứa tham số, nhưng đây cũng là một dạng toán hết sức quan trọng mà trong giải toán chúng ta cũng có khi gặp. Mong các giáo viên chúng ta tìm hiểu thêm. V. Một số bài tập áp dụng Bài 1. Giải các phương trình: a. b. c. d. e. f. Bài 2. Giải các phương trình: a. b. c. d. e. f. Bài 3. Giải các phương trình: a. b. c. d. e. f. C. KẾT LUẬN. Chương Phương trình - Hệ phương trình có một tầm quan trọng rất lớn đối với chương trình Toán học phổ thông. Kiến thức trong chương vừa là sự hoàn chỉnh những kiến thức đã học ở lớp dưới, đồng thời bổ sung thêm một số phương pháp giải toán phù hợp với tư duy, năng lực của học sinh THPT. Do đó, nếu có được sự đầu tư phù hợp, giáo viên có thể khắc sâu và mở rộng một số kiến thức cũng như phương pháp cho các em học sinh, trong đó cần quan tâm khắc phục các sai sót và các kỹ năng trình bày. Với yêu cầu của chuyên đề là phù hợp với đối tượng học sinh đại trà (học sinh có học lực trung bình trở xuống), chúng tôi chỉ mới đưa ra được một số nội dung hết sức cơ bản cho dạy học chương này. Rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý và bổ sung của người đọc để tài liệu được hoàn thiên hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.