Đề tài Phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tập ứng dụng

pháp tìm nghiệm hữu tỉ của một đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do;q là ước dương của số hạng có bậc cao nhất. VD Tìm nghiệm của đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + 3 GiảI: Các ước của 3 là : 1;-1;3;-3 (p) Các ước dương của 2 là : 1;2 (q) Xét các số ±1; ±3;±1/2; ±3/2 ta thấy -3/2 là nghiệm của đa thức đã cho. Chú ý: -Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức đó có một nghiệm bằng 1. Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + 1 = 0 nên có một nghiệm x = 1. b) 4x3 +5x2 - 3x - 6 có 4 + 5 + (-3) + (-6) = 0 nên có một nghiệm x = 1. Nếu đa thức có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì đa thức đó có một nghiệm là -1 . Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - 3 Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 5 + 11 + (-3) = 13 Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 4 + 7 + 2 = 13 Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ nên đa thức đó có một nghiệm là -1 b)x3 + 3x2 + 6x + 4 Tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng : 3 + 4 = 7 Tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ bằng : 1 + 6 = 7 Ta thấy tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ nên đa thức đó có một nghiệm là -1 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức. Nếu đa thức F(x) có nghiệm x=a thì sẽ chứa nhân tử x-a do đó khi phân tích cần làm xuất hiện các nhân tử chung sao cho có nhân tử x-a. VD: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử. a. x3 + 3x2 - 4 b. 2x3 + 5x2 + 5x + 3 GiảI : a)C1 Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= 1 nên chứa nhân tử x-1 Ta có : x3 + 3x2 - 4 = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - 4 = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1) = (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2 C2 Đa thức x3 + 3x2 - 4 có nghiệm là x= -2 nên chứa nhân tử x + 2 Ta có x3 + 3x2 - 4 = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2) = (x+2) (x2 +x -2) = (x+2) (x2 - x + 2x -2) = (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)] = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2 Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + 3 có nghiệm là x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 . Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + 3 = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) Các dạng bài tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử . Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải bài toán rút gọn một biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức ,mẫu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của chúng. Ví dụ: Rút gọn biểu thức: Giải : Ta có Ta thấy tử thức của phân thức có các nghiệm là 2; 3 ; 4 ; -5 Mẫu thức của phân thức có các nghiệm là -1 ; 3 ; -4;-5 Do đó Ví dụ 2 :Rút gọn biểu thức Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm là 1; mẫu thức cũng có nghiệm là 1 ;nên ta có = =.Ta thấy cả tử và mẫu đều không phân tích được nữa. Dạng 2 : Chứng minh chia hết Để giải bài toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải nhưng ở đây tôi chỉ trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ,ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] (x+6) GiảI: Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11 (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - 1 = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) (x+6). Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x ta có (4x + 3)2 - 25 chia hết cho 8. Cách 1: Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 ra thừa số (4x + 3)2 -25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + 3 + 5) (4x + 3 - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = 4 (x + 2) 2 (2x - 1) = 8 (x + 2) (2x - 1) Do x là số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) là số nguyên. Do đó 8 (x + 2) (2x - 1) chia hết cho 8. Ta suy ra ĐPCM. Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + 9 - 25 = 16x2 + 24x - 16 = 8 (2x2 + 3x - 2). Vì x là số nguyên nên 2x2 + 3x - 2 là số nguyên Do đó 8 (2x2 + 3x - 3) chia hết cho 8.Ta suy ra ĐPCM. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n biểu thức. A= là số nguyên. Ta có: Muốn chứng minh biểu thức là số nguyên chỉ cần chứng minh 2n + 3n2 + n3 chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ 2 (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2). Ta thấy n (n + 1) (n + 2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên ít nhất có một thừa số chia hết cho 2 và một thừa số chia hết cho 3 . Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên tích này chia hết cho 6. Vậy mọi số nguyên n biểu thức A= là số nguyên. Ví dụ 4: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho đa thức x16 + x15 + ... + x2 + x + 1. Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia như sau: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 = (x50 + x49 + ... + x35 + x34) +(x33 + x32 + ... + x18 + x17) + x16 ... x2 + x + 1. = (x34) (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + ... + x2 + x + 1) + x16 ... +x2 + x + 1 = (x16 + x15 + ... +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + ... + x2 + x + 1 chia hết cho x16 + x15 + ... x + 1. Kết quả của phép chia là : x34 + x17 + 1 Ví dụ 5: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c.Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân tử có một nhân tử là a + b + c. Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3 + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 - acb - b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B. (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B. ?Ví dụ 6: Cho CMR: với n lẻ. Ta có: => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc. => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = 0 => bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = 0 => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = 0 => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = 0 -> (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = 0 => a = - hoặc b + c = 0 => b = - c Hoặc a + c = 0 => a = - c Vì n lẻ nên a2 = -bn hoặc bn = - c2 hoặc an = - cn Thay vào ta suy ra điều phải chứng minh. Dạng 3: áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải một số dạng phương trình. a) Giải phương trình nghiệm nguyên. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình. 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > 0 => 3x + 4y > 7; x + 2y > 3 Ta có các hệ phương trình sau: (IV) (III) (II) (I) x + 2y = 4 x + 2y = 6 3x + 4y = 24 3x + 4y = 16 x + 2y = 8 x + 2y = 12 3x + 4y = 12 3x + 4y = 8 Giải hệ (I) ta được x = 16; y = - 6 (Loại). Giải hệ (II) ta được x = 4; y = 1 (Loại) Giải hệ (III) ta được x = 4; y = 6 (Loại) Giải hệ (IV) ta được x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm của hệ x = 4; y = 1. Vậy nghiệm của phương trình: x= 4; y = 1 Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x3 + xy - 7 = 0 => 2x3 + xy = 7 => x (2x2 + y) = 7 => => => => x = 1 x = 1 2x2 + y = 7 y = 5 Hoặc x = 7 x = 7 2x2 + y =1 y = - 97 Hoặc x = - 1 x = - 1 2x2 + y =-7 y - 9 Hoặc => x = - 7 x = - 7 2x2 + y = - 1 y = -99 Ví dụ 3: Tìm số nguyên x > y > 0 thỏa mãn x3 + 7 y = y3 + 7x => x3 - y3 - 7x + 7y = 0 => (x - y)3 (x2 + xy + y2) - 7 (x - y) = 0 => (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = 0 Vì x > y > 0 => x2 + xy + y2 - 7 = 0 => x2 - 2xy + y2 = 7 - 3xy => (x - y)2 = 7 - 3xy => 7 - 3xy > 0 => 3xy xy < x.y Ê 2 => x = 2; y = 1 b) Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình ( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0 Giải: Ta có: ( 3x - 5 )2 -( x - 1 )2 = 0 ú ( 3x - 5 + x - 1 )(3x - 5 - x + 1) = 0 ú ( 4x - 6)(2x - 4) = 0 4x - 6 = 0 ú x = 3/2 hoặc 2x - 4 = 0 ú x = 2 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x =3/2 hoặc x = 2 Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 Giải : Ta có x3 + 3x2 + 4x + 2 = 0 ú x3 + x2 +2x2 +2x +2x + 2 = 0 úx2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = 0 ú(x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0 hoặc (x + 1) = 0 => x = -1 hoặc (x2 + 2x + 2) = 0 không có giá trị nào của x Q Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -1 III - Bài tập: Phân tích đa thức thành nhân tử. 1) x3 - 4x2 + 8x - 8 2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz 3) x2 + 7x + 10 4) y2 + y - 2 5) n4 - 5n2 + 4 6) 15x3 + x2 - 2n 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1 10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 9 11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 2 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 3 13) Tính nhanh số trị của biểu thức sau với. a) x = - 5 P = (x+ 2)2 - 2 (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2 b) a = 5,75; b = 4,25 Q = a3 - a2b - ab2 + b3 14) CMR biểu thức (2n + 3)2 - 9 chia hết cho 4 với mọi n nguyên. 15) CM biểu thức là số nguyên với mọi số chẵn n. 16) Chứng minh đa thức: x79 + x78 + ... + x2 + x+ 1 chia hết cho đa thức x19 + x18 + ... + x2 + x + 1 C - Kết luận: Trên đây tôi đã đưa ra một suy nghĩ mà khi giảng dạy "phân tích đa thức thành mhân tử và các dạng bàI tập ứng dụng" cho bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8. Tôi đã tự nghiên cứu và cho học sinh áp dụng khi bồi dưỡng học sinh giỏi và đạt được kết quả cao. Hầu hết học sinh nắm được kiến thức và yêu thích học kiến thức này. Xin được giới thiệu với bạn đọc, các em học sinh , các bậc cha mẹ học sinh tham khảo, góp phần nhỏ vào năng lực giải toán và tri thức toán học của mình.Rất mong bạn đọc tham khảo và góp ý cho tôi để nội dung phong phú và hoàn thiện hơn./. Người thực hiện: tài liệu tham khảo Một số vấn đề đổi mới phơng pháp dạy học môn toán ở trường THCS. Sách hướng dẫn giảng dạy môn toán lớp 8. Sách giáo khoa toán 8. Tài liệu Bồi dưỡng thường xuyên môn toán chu kỳ 2004-2007 5) Toán nâng cao và các chuyên đề Đại Số 8.