Đề tài Một số cách giải phương trình bậc 4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP THANH HÓA ĐỀ TÀI: MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 Họ và tên: TRƯƠNG MẠNH HÙNG Chức vụ: HIỆU TRƯỞNG Đơn vị công tác: Trường THCS Đông Hương - TP Thanh Hóa SKKN thuộc môn: TOÁN NĂM HỌC 2010 – 2011 A- PHẦN MỠ ĐẦU I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong việc giảng dạy môn toán ở nhà trường THCS hướng dẫn học sinh giải bài tập là thể hiện phương pháp dạy học . Hướng dẫn cách giải bài tập giúp học sinh nắm bắt con đường từ xuất phát đến nút cuối cùng của một bài toán . Từ đó học sinh tụ mình từng bước xây dựng được phép suy luận khi phải độc lập giải quyết vấn đề . Trong khi tự giải một bài toán , tránh cho học sinh giải bài toán một cách máy móc , do đó việc phân chia các dạng toán ở mức độ nhất định , phải coi trọng phân tích đặc điểm bài toán để có lời giải hợp lý . thông qua các bài tập mà cung cấp thêm kinh nghiệm giải toán và rèn luyện phương pháp suy luận . Trong quá trình dạy học môn toán , tôi suy ngẫm vẫn khẳng định rằng : phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải Có nhiều yêu điểm và phát huy được tác dụng tốt cho nhiều đối tượng - dạy toán theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải của bài toán gồm hai nội dung: a - Dạy cách tìm tòi lời giải của bài toán b - Dạy cách giải toán c. Từ những bài toán (giải phương trình bậc cao) đưa về những phương trình cơ bản đã được học... Quả vậy vai trò của người thầy chủ yếu và quyết định ở khâu hướng dẫn tìm lời giải , thầy giáo phải dự định được các hướng giải và phân tích nên chọn hướng nào . Đồng thời xây dựng được một phương pháp “Nhìn” bài toán dưới “góc độ “ tư duy sáng tạo cho học sinh ở mức độ nào đó . Từ đó tôi suy nghĩ rằng một phương pháp dạy tốt là một phương pháp xích gần nhận thức trong học tập của học sinh với nhận thức sáng tạo - hay Trang 2 nói cách khác là phương pháp dạy cho học sinh tư duy sáng tạo - cốt lõi của hoạt động dạy và học , vì vậy tôi chỉ chọn một khía cạnh trong việc hường dẫn học sinh có cách tư duy sáng tạo cho các bài toán và các em đưa ra những cách giải cơ bản ở một số phương trình bậc bốn nói chung, mà hiện nay trong chương trình Đại số cấp THCS chỉ đề cập đến phương trình bậc bốn đặc biệt . II/ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Thông qua một số ví dụ cụ thể để hình thành những nét đặc trưng của quá trình sáng tạo của học sinh THCS và nó biểu hiện cụ thể như thế nào trong hoạt động dạy và học , đặc biệt trong việc hướng dẫn học sinh tìm ra “phương hướng” giải các dạng bài tập đó . III/ PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI: Do điều kiện về thời gian , đề tài này chỉ đề cập đến một số ví dụ mang tính đặc trưng. IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Chủ yếu phương pháp tổng kết kinh nghiệm \ Trang 3 B - NỘI DUNG: I/ CƠ SỞ LÝ LUẬN: Thực sự trong quá trình giải toán là hoạt động tư duy sáng tạo toán học mà cụ thể là hoạt động tìm tòi , do đó để tìm con đường hoạt động độc lập và sáng tạo cho học sinh , thầy giáo cần tổ chức hoạt động giải toán cho học sinh ở dạng hoạt động tìm tòi , đặc biệt trong quá trình luyện tập . Để tổ chức hoạt động tìm tòi , để rèn luyện năng lực hoạt động sáng tạo cho học sinh thì cần làm tốt những vấn đề sau: 1- Rèn luyện kỷ năng vận dụng lý thuyết để giải bài tập , cần phận loại mức độ 2- Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng đặc biệt hoá , tổng quát hoá và tương tự để giải các bài tập. 3- Rèn luyện cho học sinh cách mò mẫm , dự đoán kết quả khi giải các bài toán. 4- Tạo cho học sinh thói quen nhìn bài toán ( dự kiến kết quả ) dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Khi thực hiện các biện pháp trên , thầy giáo có điều kiện đề xuất cho học sinh ( hoặc tự học sinh đề xuất những tình huống mới )mà quá trình giải quyết thúc đẩy hoạt động độc lập sáng tạo của học sinh. II. MỘT SỐ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH x4 ax3 bx2 cx d 0 (I) 1. Giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp phân tích ra thừa số: Đối với một phương trình bậc bốn nói trên ta có thể giải bằng cách phân tích vế trái ra thừa số, bằng nhiều phương pháp phân tích khác nhau. * Ví dụ 1: Giải phương trình x4 2x3 6x2 2x 1 0 (1) (Đề thi chuyên A Bùi Thị Xuân 30.7.1994) Trang 4 ở đây ta nhận thấy , phương trình (1) không phải là phương trình trùng phương, cách giải như thế nào ? Ta thử phân tích ra thừa số của vế trái để làm hạ bậc rồi đưa về dạng phương trình cơ bản để giải. Thật vậy ta có: (1) (x4 2x 1) (2x3 4x2 2x) 0 (x2 1)2 2x(x 1)2 0 x 1 0 (x 1)2 (x 1)2 2x 0   2 đến đây ta có thể giải hết sức x 4x 1 0 đơn giản và tìm ra nghiệm của (1). * Ví dụ 2: Giải phương trình x4 10x3 26x2 1 0 (2) (Đề thi HSG Lê Quí Đôn Q5 TP HCM) ở phương trình nay ta thấy không thể phân tích được thành nhân từ mà chỉ ở dưới dạng tổng các bình phương, nên suy ra phương x2 5x 0 trình vô nghiệm, cụ thể: (2) (x2 5x)2 (x2 1) 0 khong thể 2 x 1 0 xẩy ra. * Ví dụ 3: Giải phương trình x4 4x3 10x2 37x 14 0 (3) Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai x2 px q và x2 rx s trong đó p,q,r,s là các hệ số nguyên chưa xác định. Ta có: x4 4x3 10x2 37x 14 = ( x2 px q )( x2 rx s ) (3’) Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc ở hai vế của đồng p r 4 s q pr 10 nhất thức ta có: Nhờ phương trình cuối cùng của hệ số này ta ps qr 37 qs 14 dự đoán và nhận thấy các giá trị nguyên tương ứng có thể lấy được của q và s nha sau: q 1 2 7 14 -1 -2 -7 -14 s -14 -7 -2 1 14 7 2 1 Trang 5 Thử lần lượt các giá trị trên của q thì thấy với q = 2 , s = -7 phương pr 5 trình thức hai và thứ ba của hệ cho ta hệ phương trình mới khi 7 p 2r 37 đó khử p ta được 2r 2 37r 35 0 giải phương trình này ta có r = 1 . Vậy suy ra p = -5 Thay các giá trị p,q,r,s vào (3’) ta có x4 4x3 10x2 37x 14 (x2 5x 2)(x2 x 7) Vậy phương trình (3) (x2 5x 2)(x2 x 7) 0 giải ra ta có các 5 17 1 29 nghiệm như sau: ; 2 2 Đây chính là giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp phân tích thành nhân từ mà cụ thể ở ví dụ 3 này là phân tích bằng phương pháp hệ số bất định. 2. Giải phương trình bậc bốn với cách nhìn sáng tạo, biết biến đổi hợp lý (trong một số trường hợp cụ thể nào đó) * Ví dụ 4: Giải phương trình a. x4 5x3 12x2 5x 1 0 (4) (Thi học sinh giỏi Quận 1 TPHCM năm 1992-1993) Ở phương trình (4) ta có thể dùng phương pháp như trên cũng được , Song ta nhận thấy nếu x = 0 thì phương trình vô nghiệm vậy x 0 ta chia cả 1 1 hai vế của phương trình cho x 2 : (4) (x2 ) 5(x ) 12 0 (4’) Đặt x2 x 1 t x như vậy (4’) t 2 2 5t 12 0 t 2 5t 14 0 t 2; t 7 Thay x vào ta có: 2 x 1 x 2x 1 0 đây cũng chính là nghiệm của (4) 2 7 45 x 7x 1 0 x 2 Trang 6 Đây được gọi là phương trình phản thương loại 1. (Nghĩa là: Hệ số của hạng tử bậc bốn bằng hệ số tự do và hệ số của hạng tử bậc ba bằng hệ số của hạng tử bậc nhất) Nhìn chung khi gặp phương trình dạng này ta chỉ cần chia hai vế của phương trình cho x2 đối với phương trình bậc bốn. Ta cũng có thể khái quát với phương trình bậc 2n+1. * Ví dụ 5: Giải phương trình (x 2)4 (x 3)4 1 (5) (Thi vào 10 chuyên Toán - Tin học ĐHTH TP HCM 22-06-1996) Cũng như trên nếu ta “phá” ra thì hết sức phức tạp, Từ đó ta phải suy nghỉ như thế nào để có cánh giải quyết một cách “nhanh gọn”, cỉ có cánh đặt ẩn phụ. Song đặt như thế nào ? làm ra sao ? Ta đưa ra dạng tổng quát như sau: (x a)4 (x b)4 c (5’) Từ đó ta xây dựng cách làm như sau: a b a b a b a b Đặt: y x x y x a y a y 2 2 2 2 a b a b Tương tự x b y b y 2 2 Thay vào (5’) ta được phương trình trùng phương: 1 2y4 3(a b)2 y2 (a b)4 c 0 (5’’) đến đây ta giải hết sức đơn giản 8 bài toán ở ví dụ 5 Bằng hai cách: 2 ( 3) 1 2 ( 3) 1 + Đặt x 2 y y ; x 3 y y 2 2 2 2 Ta có: 1 7 (5) 2y4 3( 2 3)2 y2 ( 2 3)4 1 0 2y4 3y2 0 8 8 Đến đây ta đặt t = y2 đưa về phương trình bậc hai: 16t 2 24t 7 0 1 1 Giải ra ta được t y Thay vào ta có nghiệm của (5) là 4 2 x 2; x 3 Trang 7 Đây là cách mà chúng ta đưa phường trình bậc bốn như trên về phương trình trung phương mà chúng ta đã học ở lớp 9 + Ta cũng có thể đặt ẩn phụ tuỳ theo từng bài toán cụ thể, như ở bài ví dụ này ta đặt như sau: x 3 t x 2 t 1 vậy (5) (1 t)4 t 4 1 2t 0 t 0 hay 2t(t 3 2t 2 3t 2) 0 2t(t 1)(t 2 t 2) 0 t 1 0 từ đó t 1 2 t t 2 0 ta có x1 = 3 hoặc x2 = 2 là nghiệm của phương trình (5). ở đây ta lại đặt cách khác (linh hoạt) đưa phương trình như trên về dạng phương trình tích . * Ví dụ 6: Giải phương trình x4 3x3 6x2 3x 1 0 (6) (Thi lớp 10 Lê Hồng Phong TPHCM 1997-1998 ban A-B) Nhận thấy ở phương trình (6) có hệ số của hạng tử bậc bốn bằng hệ số của hạng tử tự do và hệ số của hạng tử bậc ba và hệ số hạng tử bậc nhất đối nhau. Đây chính là phương trình phản thương loại 2. Cách giải như cũng giồng như phương trình phản thương loại 1. Vì x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Nếu x 0: Chia cả hai vế của phương trình cho x2 ta được phương trình 3 1 1 1 mới: x2 3x 6 0 (x2 ) 3(x ) 0 x x2 x2 x 1 1 đặt x t x2 t 2 2 ta nhận được phương trình t 2 3t 4 0 x x2 1 5 x1 1 2 2 x 1 x x 1 0 x 1 5 giải ra ta có t 1; t 4 hay x2 2 1 x 2 5 x 4 x2 4x 1 0 3 x x4 2 5 * Ví dụ 7: Giải phương trình x4 x3 5x2 4x 4 0 (7) Trang 8 Ta nhận thấy theo cách giải bằng cách phân tích ra thừa số thì ta có nghiệm của vế trái là x 2; x 2 như vậy vế trái sẽ chứa nhân tử là x2 4 và dùng so đồ Hoocne ta phân tích được như sau: (7) (x2 4)(x2 x 1) 0 và tìm ra nghiệm một cách dễ dàng đó là phương trình (7) có 4 nghiệm 1 5 1 5 x 2; x 2; x ; x 1 2 3 2 4 2 Song nếu ta có cánh nhìn sáng tạo, thì cũng có: (7) x4 x3 x2 (4x2 4x 4) 0 x2 (x2 x 1) 4(x2 x 1) 0 x2 4 0 1 5 1 5 (x2 4)(x2 x 1) 0 x 2; x 2; x ; x 2 1 2 3 4 x x 1 0 2 2 Như vậy cách trên hoặc cách này hoàn toàn đều được ở một bài toán này * Ví dụ 8: Giải phương trình 32x4 48x3 10x2 21x 5 0 (8) Ta viết (8) dưới dạng 2(16x4 24x3 9x2 ) 7(4x2 3x) 5 0 5 Đặt y 4x2 3x lúc này (8) 2y2 7y 5 0 y 1 vµ y 1 2 2 Giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi đã thay 5 4x2 3x 1 0 y 1; y vào y 4x2 3x ): Nghiệm của phương trình 1 2 2 2 8x 6x 5 0 1 5 1 (8) đã tìm là x 1; x ; x ; x 1 2 4 3 4 4 2 * Ví dụ 9: Giải phương trình (x2 a)2 6x2 4x 2a 0 (9) Đây là phương bậc bốn đối với biến x, mặt khác chúng còn có thêm một biến a: (9) x4 (2a 6)x2 4x a2 2a 0 (9’) Trang 9 Nếu sử dụng phương giải phương trình bậc bốn bằng cách phân tích ra thừa số thì hết sức khó khăn. Song chúng chú ý đến nếu chúng ta nhìn theo quan điểm đây là phương trình bậc hai đối với biến a thì việc giải phương trình bậc hai lại trong “tầm tay”. Như vậy ta viết phương trình (9) a2 2(x2 1)a x4 6x2 4x 0 (9’’) Lúc này phương trình (9’’) chính là phương trình bậc hai với ânr là a. Với cách nhìn này ta tìm được x theo x và có nghiệm là: 2 4 2 4 2 2 2 2 a1,2 x 1 x 2x 1 x 6x 4x x 1 4x 4x 1 x 1 (2x 1) Như vậy ta lại giải phương trình bậc hai đối với x: x2 2x a 2 0 (*) vµ x2 2x a 0 (**) ta tìm được nghiệm của phương trình (9). Điều kiện để (*) có nghiệm là 3 a 0 và các nghiệm của phương trình (*) là: x1,2 1 3 a Điều kiện để (**) có nghiệm là 1 a 0 và các nghiệm của phương trình (**) là: x3,4 1 1 a Tổng kết: a -3 -1 Phương trình (*) Vô mghiệm 2 nghiệm 2 nghiệm Phương trình (**) Vô nghiệm Vô nghiệm 2 nghiệm Phương trình (9) Vô nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm Trang 10