Đề tài Cực trị Đại số

đẹp mà t among muốn: ,2 , 0.ac b a£ ³ Trước hêt ta xét trường hợp 2 2 2 21 2 3 ... na a a a= + + + ,khi đó bất đẳng thức là hiển nhiên vì vế phải luôn không âm. Trường hợp 2 2 2 21 2 3 ... na a a a> + + + ,ta xét tam thức bậc hai: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ... ) 2( ... ) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) n n n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b a x b a x b a x b a x b = - - - - - - - + - - - = - - - - - - - - Ta có: 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ... 0n n ab af b b b b a a a é ùæ ö æ ö æ ö ê ú= - - + + - £ç ÷ ç ÷ ç ÷ ê úè ø è ø è øë û Do đó phương trình ( ) 0f x = luôn có nghiệm, do đó: ' 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ... ) ( ... )( ... ) 0. ( ... )( ... ) ( ... ) n n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a a a b b b a b a b a b D = - - - - - - - - - - £ Þ - - - - - - £ - - - Sau đâu sẽ là phần bài tập dành cho các bạn: Bài 1: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 ( ), , , , , .a b c d e a b c d e a b c d e+ + + + ³ + + + " Bài 2: Chứng minh rằng: [ ]2 2 2 21 2 1 2(1 ... ) 4( ... ), 0,1n n ia a a a a a a+ + + + ³ + + + " Î Bài 3: Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 3 3( ) 3( )a b c a b b c c a+ + ³ + + . Bài tóan số 3 là một bài tóan ứng dụng tam thức bậc hai cực khó, bạn nào làm được bài tóan này xin hãy gửi thư cho chúng tôi, “nhóm chuyên đề 12 Toán trường Phổ thông Năng Khiếu-Đại học Quốc Gia,Thành phố Hồ Chí Minh”. Năm bạn gửi lời giải sớm nhất sẽ được gửi tặng một món quà của chúng tôi,các bạn nhớ ghi địa chỉ rõ ràng trong thư gửi đến để thuận tiện trong việc gửi quà cho các bạn J. i)Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối luôn gây khó khăn cho chúng ta trong việc tính tóan, do đó bất đẳng thức với dấu giá trị tuyệt đối không phải là một vấn đề đơn giản. Trước hết chúng ta hãy điểm qua một số bất đẳng thức trị tuyệt đối cơ bản: 0x x x x y x y x y x y ³ ³ + £ + - ³ - Các bất đẳng thức trên tuy cơ bản và đơn giản nhưng chúng ứng dụng vào việc giải quyết các bài tóan về dấu giá trị tuyệt đối rất tốt,chúng ta hãy xét qua một số ví dụ Bài tóan: Cho 1 2 ... na a a£ £ £ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2 ... nA x a x a x a= - + - + + - (Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK Tp.HCM) Giải: Ta xét 2 trường hợp, n chẵn và n lẻ. Với n chẵn,đặt 2n k= . Ta có: 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 ... ... ... ... ... ... . k k k k k k k k k k k k A x a x a x a a x a x a x x a x a x a a x a x a x a a a a a a + + + + + + = - + - + + - + - + - + + - ³ - + - + + - + - + - + + - = - - - - + + + + Dấu bằng có thể xảy ra, chẵn hạn như .kx a= Với n lẻ, đặt 2 1n k= + . Ta có: 1 2 1 2 3 2 1 1 2 2 3 2 1 1 2 2 3 2 1 ... ... ... 0 ... ... ... k k k k k k k k k k k k k A x a x a x a x a a x a x a x x a x a x a a x a x a x a a a a a a + + + + + + + + + + = - + - + + - + - + - + - + + - ³ - + - + + - + + - + - + + - = - - - - + + + + Dấu bằng có thể xảy ra, chẵn hạn như 1kx a += . Lời giải của bài tóan trên có lẽ là khá kỹ thuật, tuy nhiên mọi thứ đều có nguồn gốc của nó. Tác giả đã phải làm với các trường hợp n nhỏ rồi mới có thể giải một cách tổng quát. Đây cũng là một kinh nghiệm trong học và làm Tóan, chúng ta nên bắt đầu từ những cái nhỏ và khái quát lên cho cái lớn. Ngòai việc áp dụng bất đẳng thức x x³ , ta còn có thể sử dụng bất đẳng thức: 1 2 1 2... ...n nx x x x x x+ + + ³ + + + để giải quyết bài tóan trên. Một phương pháp cũng hay sử dụng đối với dấu giá trị tuyệt đối nói dhung là xét từng khỏang để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Đôi khi,chúng ta cũng thường xuyên dử dụng các bất đẳng thức cổ điển trong việc chứng minh các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, nhất là bất đẳng thức Bouniakovski. Bởi lẻ áp dụng bất đẳng thức này, các giá trị tuyệt đối sẽ được bình phương làm mất dấu giá trị tuyệt đối. Ta thử xét một ví dụ Bài toán: Cho ,a b là các số thực thỏa mãn 2 2 1.a b+ = Chứng minh rằng: ( ) ( )1 1 1 1 2 6a b a b+ + + + - + - £ Lời giải dựa trên bất đẳng thức Bouniakovski. Ta làm như sau: 2 2 21. 1 1. 1 2 ( 1) ( 1) 2 1a a a a aé ù+ + - £ - + - = +ë û 2 2 21. 1 1. 1 2 ( 1) ( 1) 2 1b b b b bé ù+ + - £ - + + = +ë û 2 2 2 22. 1 2. 1 8( 2) 2 6.a b a b+ + + £ + + = Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế,ta có điều phải chứng minh. Sau đây là các bài tập áp dụng dành cho bạn đọc: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức sau ,biết [ ]2,3x Î - a) 2 1 3.A x= + + b) 1 2 1B x x= + + - c) 2 2C x x= - Bài 2: Chứng minh rằng: 2 23( 1 1) 4( ) 10 ( 1)( 1)ab ab a b a b a b+ + - + + + - £ + + Bài 3: Cho các số thực [ ], , 1, 2x y z Î Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 ( ) ( ) ( ) xy yz xz P z x y x y z y x z - - - = + + + + + B. Một số vấn đề về cực trị phân thức. a)Một số kiến thức cần nhớ: Tam thức bậc hai 2 2 2 4( ) ax 4 b b acf x bx c a x a a -æ ö= + + = + -ç ÷ è ø i) Nếu 2 min 40, 4 b aca f a - > = - khi 2 bx a - = ii)Nếu 2 ax 40, 4m b aca f a - < = - khi 2 bx a - = Định lý: Nếu tam thức bậc hai ( )f x có hai nghiệm thì phân tích được thành nhân tử. b)Một số dạng toán: i) Dạng 2( ) axf x bx c= + + Phương pháp giải và các kết quả về dạng bất đẳng thức này đã được nêu trong phần một số kiến thức cần nhớ. Dưới đây là một số bài tập áp dụng. Bài 1: Tìm cực trị các đa thức sau: a. Tìm 2min 4 4 6.A x x= - + b.Tìm ax B=-x+3 x 7m - c. Tìm min và max của 2( ) 4 6f x x x= - + khi [ ]3, 4x Î - Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất ( ) ( 1)( 2)( 3)( 6)f x x x x x= - + + + ii) Dạng 2( ) ax mf x bx c = + + Phương pháp chủ đạo trong việc tìm giá trị nhỏ nhất,lớn nhất của 2( ) axg x bx c= + + , sau đó tương ứng thành giá trị lớn nhất của 1 ( )g x ,sau đó nhân vào m để đạt được điều cần tìm với ( ) m g x . Dưới đây là một số bài tập áp dụng. Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2( ) 6 5 9 f x x x = - - . Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của 6( ) 3 7 f x x x - = - + iii)Dạng 2( ) ax mx nf x bx c + = + + Phương pháp tổng quát để hạ bệ những phân thức dạng này là: Bước 1: (Đổi biến) Đặt mx n y+ = . Bước 2: (Chuyển biến) Chuyển ( )f x thành ( )f y bằng cách chuyển 2 ' 2 ' 'ax bx x a y b y c+ + = + + (thay y nx m - = ) Khi đó: ' 2 ' '( ) ( ) yf x f y a y b y c = = + + Thông thường ' 'a c .Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy: ' 2 ' ' '2a y c a c y+ ³ để đánh giá. Tuy nhiên nhớ cẩn thận các trường hợp 0.y < Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 2 3 4 1 xA x - = + Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức 2 4 3 1 xB x x + = + + iv) Dạng 2 2( ) , 0.ax mx nx df x am bx c + + = ¹ + + Phương pháp giải là đưa về dạng iii), cụ thể như sau: ( )22 2 2 2 ax ax ax ax m mb mcbx c n x d mx nx d a a a bx c bx c mb mcn x d m a a a bx c æ ö æ ö+ + + - + -ç ÷ ç ÷+ + è ø è ø= + + + + æ ö æ ö- + -ç ÷ ç ÷ è ø è ø= + + + Ta xét qua một số bài tập sau: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất 2 2 3 8 6 2 1 x xA x x - + = - + Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất 2 2 3 14 4 xB x + = + C.Từ một đẳng thức đại số. Bài viêt này sẽ cung cấp cho các bạn một số bất đẳng thức được hình thành từ các đẳng thức đại số: Trước hết ta nếu lại một số đẳng thức hay của đại số: 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ab bc ca b c c a c a a b a b b c x y y z y z z x z x x y x y y z y x z x z x x y + + = - - - - - - - + + + + + + + + = - - - - - - - (1) (2) Trong đó ( , , )a b c và ( , , )x y z là các bộ số khác nhau phần biệt. Lưu ý với các bạn rằng hai đẳng thức này là tương đương nhau, chẵn hạn trong (2) , đặt , ,x y a y z b z x c+ = + = + = ta sẽ thu được đẳng thức (1) Từ các đẳng thức trên ta rút ra một số hệ quả trực tiếp sau đây: 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c c a a b x y y z z x x y y z z x æ ö æ ö æ ö+ + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷- - -è ø è ø è ø æ ö æ ö+ + +æ ö+ + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷- - -è øè ø è ø Đề thi vào lớp 10 PTTH Chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM năm 1999. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 . ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 4 x y y z z x x y y z z x xy yz zx x y y z z x + + + + + ³ - - - + + ³ - - - - Ta hãy xét một số bài tóan lien quan đến các bất đẳng thức thú vị này. Bài tóan dưới đây là bài tóan về bất đẳng thức Nesbit ở dạng hiệu: Bài toán: Cho , ,a b c là các số thực phân biệt. Chứng minh rằng: 2.a b c b c c a a b + + ³ - - - Rõ rang các bạn cũng thấy được mối lien hệ với các bất đẳng thức ta đang xét rồi chứ, để mối quan hệ thêm rõ rang ta bình phương hai vế của bất đẳng thức, và ta thu được: 2 2 2 2 4 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c ab bc ca b c c a a b b c c a c a a b a b b c æ öæ ö æ ö æ ö+ + + + + ³ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷- - - - - - - - -è ø è ø è ø è ø Mặc khác ta đã có: 2 2 2 2a b c b c c a a b æ ö æ ö æ ö+ + ³ç ÷ ç ÷ ç ÷- - -è ø è ø è ø 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ab bc ca ab bc ca b c c a c a a b a b b c b c c a c a a b a b b c æ ö + + ³ + + =ç ÷- - - - - - - - - - - -è ø Cộng các bất đẳng thức trên vế theo vế và ta thu được điều cần chứng minh. Sau đây là một số bài tập dành cho các bạn đọc: Bài 1: Cho các số thực , ,x y z khác nhau đôi một. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 3 3 3 3 3 3( ) ( ) ( ) x y y z z xA x y y z z x - - - = + + - - - . Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2 2 2 2 2 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) B x y z x y y z z x é ù = + + + +ê ú- - -ë û Trong đó , ,x y z là các số thực phân biệt. Bài 3: (Dành cho các bạn học sinh lớp 10 hoặc cao hơn) Chứng minh rằng nếu 2 x y z p+ + = thì ta có bất đẳng thức sau: cos cos cos 2. sin( ) sin( ) sin( ) x y z y z z x x y + + ³ - - - Tài liệu tham khảo · Bất Đẳng Thức Trần Phương. · Giới thiệu tóm tắt cuộc đời và GS.Nguyễn Cang sự nghiệp các nhà Tóan Học-Tập 1,2 PGS.Nguyễn Đăng Phất. · Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ · Các bài tóan cực trị của hàm số-Tập 1 Phan Huy Khải.