Đề 7 thi học sinh giỏi toán lớp 8

Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? Tìm giá trị của x để A > 0? Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. Cho và . Chứng minh rằng : . Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ : 1,0 1,0 0,5 0,25 Vậy với thì . 0,25 b 1,0 Với 0,25 0,25 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 0,5 0,25 Với x = 11 thì A = 0,25 Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 b 2,5 Từ : 0,5 ayz + bxz + cxy = 0 0,25 Ta có : 0,5 0,5 0,5 0,25 Bài 4 6,0 0,25 a 2,0 Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 Ta có: 0,5 Chứng minh : 1,0 0,5 b, 1,75 Chứng minh : 0,25 0,25 Chứng minh : 0,25 0,25 Mà : CD = AB 0,5 Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm). 0,25