Chuyên đề Hướng dẫn học sinh cách giải phương trình bậc hai một ẩn

có 0 nên Pt : ax2 + bx + c = 0 có nghiệm. * Nếu chỉ với điều kiện ac 0 chưa đảm bảo phương trình có nghiệm vì vậy khi gặp trường hợp ac 0 ta cần xét 2 trường hợp : a 0 ( Khi đó Pt có nghiệm ) và a = 0. c. Ngoài ra có thể sử dụng một số cách sau. Cách 1. Cho Pt bậc 2. ax2 + bx + c = 0. (Đặt f(x) = ax2 + bx + c) (4) Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực sao cho af() 0 thì Pt (4) có nghiệm. Thật vậy: với f(x) = ax2 + bx + c af() = a2x2 + abx + ac = (ax + )2 - (- ac) = (ax + )2 - . Do đó: af() 0 thì (a + )2 0 Vậy Pt (4) có nghiệm. Cách 2. Cho Pt : ax2 + bx + c = 0 (Đặt f(x) = ax2 + bx + c) (5) Chứng minh rằng nếu tồn tại 2 giá trị sao cho f()f() 0 thì (5) có nghiệm. Thật vậy: f()f() 0 a2f()f() 0. Vậy tồn tại một trong 2 biểu thức f() ; f() nhỏ hơn bằng 0. Theo cách 1 thì (5) có nghiệm. Bài tập về nhà a) Với giá trị nào của a thì phương trình sau vô nghiệm: 2 b) Với giá trị nào của k thì phương trình sau có nghiệm: (k2 – 4)x2 + 2(k + 2)x + 1 = 0 2. Dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2 để chứng minh một hệ số có nghiệm. Ví dụ . Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm. Giải Từ (61) thế vào (62) ta được Pt: 49y2 + 42y + (49 - 8m) = 0 (63) Từ (61) ta thấy: nếu tồn tại y thì cũng tồn tại x, do đó chỉ cần tìm điều kiện để (63) có nghiệm Giải: (63) 0 ta được: 212 - 49(49 - 8m) 0 9 - (49 - 8m) 0 m 5 Vậy với m 5 thì hệ Pt đã cho có nghiệm. Bài tập áp dụng Bài 1. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình sau có nghiệm Bài 2. Tìm giá trị của m để p/trình sau có nghiệm: (m – 3)x4 – 2mx2 + 6m = 0 Vấn đề 2. Quan hệ giữa các nghiệm trong 1 phương trình bậc hai và giữa hai phương trình bậc hai. 1. Quan hệ giữa hai nghiệm trong 1 phương trình bậc hai. (sử dụng định lí Viét và ứng dụng của nó) a. Ví dụ 1. Cho Pt: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (9) +) Giải với m = -3 +) Tìm m sao cho T = 10x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất; tìm giá trị nhỏ nhất đó? Giải: +) Với m = -3 => x = -2 +) Ta có : T = (x1 + x2)2 + 8x1x2. Với m 3 ta có : T = 4(m + 1)2 + 8(2m +10) = 4(m +3)2 + 48. Ta luôn có: T 48. Dấu “ = ,, xãy ra khi m = -3. Vậy T nhỏ nhất là 48 b. Ví dụ 2. Cho Pt: x2 + 5x + 2 = 0. Có 2 nghiệm x1; x2. Không giải Pt; hãy tính x12 + x22 ; x13 + x23 ; x12x23 + x13x22. Giải. Ta có : x1 + x2 = -5 ; x1x2 = 2. Nên x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2 x1x2 = (-5)2 - 2.2 = 21. . x13 + x23 = (x1 + x2)3 - 3x1x2(x1 + x2) = (-5)3 - 2.2.(-5) = -95. . x12x23 + x13x22 = x12x22(x12 + x22) = -20. Bài tập áp dụng Bài 1. Hãy xác định vị trí của m sao cho Pt: x2 + (m - 2)x + m + 5 = 0 có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức x12 + x22 = 10. Bài 2. Cho Pt: x2 - 6x +1 = 0. Gọi x1 , x2 là nghiệm của Pt. Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức: 1) x12 + x22 ; 2) ; 3) 2. Lập phương trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó. Nếu có 2 số u ,v có : u + v = S ; uv = P thì u và v là nghiệm của phương trình: X2 - SX + P = 0. Chú ý : Chỉ tìm được nghiệm của phương trình trên với điều kiện : S2 - 4P 0. a. Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau *) và 1 - ; *) + và Giải *) Ta có : s = + (1 - ) = 1 ; p = (1 - ) = - 3. Vậy Pt cần lập là : x2 - x + 3 - = 0. b. Ví dụ 2. Lập phương trình bậc hai có các hệ số là số nguyên và có một nghiệm là; Giải: Phương trình cần lập có dạng : x2 + ax + b = 0 ( a ,b Z ) Giả sử x1 = khi đó ta có: (2 - 5)2 + (2a – 20) = 0 (49 – 5a + b) + (2a – 20) = 0. Nếu 2a - 20 0 ta có: = là số hữu tỉ - vô lí! Vậy 2a - 20 = 0 => a = 10 khi đó b = 1. Vậy Pt cần lập là: x2 + 10x + 1 = 0. Bài tập áp dụng. Cho x = ; y = a. Lập phương trình bậc 2 có nghiệm là hai số x; y nói trên? b. Tính A = x4 + y4. x5 + y5 ; x6 + y6. 3 Quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai. Ví dụ . Tìm giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó ? x2 + ax + 8 = 0 (1) và x2 + x + a = 0 (2) Giải Giả sử x0 là nghiệm của 2 p/trình, ta có: (a – 1)x0 + (8 – a) = 0 *Nếu a 1 thì x0 = thay vào (2) và rút gọn ta được: a3 - 24a + 72 = 0 (a +6)(a2 - 6a + 12) = 0 a = -6. Với a = -6 thì (1) trở thành : x2 - 6x + 8 = 0 (2) trở thành : x2 + x - 6 = 0 chúng có nghiệm chung x = 2. * Nếu a = 1. Cả hai Pt đều vô nghiệm. Vậy với a =-6 thì hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung. Bài tập áp dụng Với giá trị nào của k thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung? tìm nghiệm chung đó. 2x2 + (3k + 1)x – 9 = 0 6x2 + (7k – 1)x – 19 = 0. Vấn đề 3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số cho trước. 1. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0. a) Theo định lí Viét; ta biết rằng p/trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm x1; x2 thì S = x1 + x2 = ; P = x1x2 = do đó điều kiện Pt bậc 2 - Có nghiệm dương: 0 , P > 0, S > 0. - Có 2 nghiệm âm : > 0, P > 0, S < 0. - Có 2 nghiệm trái dấu : P 0). b). Nếu bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc hai ( a 0) có ít nhất một nghiệm không âm, ta có thể thực hiện: - Cách 1. Xét P = . Pt có ít nhất 1 nghiệm không âm nếu: +P < 0 ( hai nghiệm trái dấu ). +P = 0 ( có 1 nghiệm bằng 0; 1 nghiệm dương hoặc âm ). +P > 0 ; 0, S > 0 ( 2 nghiệm đều dương ). - Cách 2. Xét S = . Trước hết phải có 0 khi đó phương trình có ít nhất một nghiệm không âm nếu: +Có S > 0 ( có 1 nghiệm dương ). +S = 0 ( 2 nghiệm đối nhau ) +S < 0 ; P 0 ( có 1 nghiệm không âm ; 1 nghiệm âm ) - Cách 3 . Tìm nghiệm của p/trình rồi giải điều kiện tồn tại nghiệm không âm. c) Ví dụ 1. Cho phương trình 2x2 + 3x + a = 0. (1) *)Tìm a để Pt có nghiệm ? **) Chứng minh rằng nếu Pt có nghiệm thì nó có ít nhất 1 nghiệm âm ? ***) Xác định a để Pt có cả 2 nghiệm âm ? Tìm điều kiện để 2 Pt trên có ít nhất 1 nghiệm chung. Giải *). 0 9 - 8a 0 a . Với a thì (1) có nghiệm **). Xét tổng các nghiệm : S = - < 0 Pt có ít nhất 1 nghiệm không âm. ***). Để Pt có 2 nghiệm âm thì 0 ; S 0 nên ta cần 0 < a . Vậy với 0 < a Pt (1) có 2 nghiệm âm. d. Ví dụ 2. * Xét giá trị của m để Pt sau có ít nhất 1 nghiệm x 0. (m + 1)x2 – 2x + (m – 1) = 0 (2) Giải * Xét m = -1 Pt (2) trở thành: -2x = 2 x = -1 (loại) **) Điều kiện để (2) có nghiệm là: 0 1 – (m + 1)(m – 1) 0 2 – m2 0 -. Xét S = x1 + x2 = có 2 trường hợp + Nếu m > -1 S > 0 (2) có ít nhất 1 nghiệm dương. + Nếu m < -1 S < 0 P = (2) có 2 nghiệm âm. Vậy giá trị cần tìm của m là Bài tập áp dụng. Bài 1 Cho Pt: x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (m - tham số) a) Chứng minh Pt có nghiệm với mọi m. b) Xác định m để Pt có 2 nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau. Bài 2. Tìm giá trị của m để Pt sau có 4 nghiệm phân biệt x(x - 2)(x + 2)(x + 40 = m 2. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số . Ví dụ. Cho Pt: (2m – 1)x2 - 4mx + 4 = 0. (1) Tìm m để pt có 1 nghiệm đúng bằng m Giải *) = (2m)2 - 4(2m - 1) = 4(m - 1)2 0 . Vậy phương trình luôn cớ nghiệm. **) 2 nghiệm của Pt là x1 = 2 ; x2 = , để Pt có đúng 1 nghiệm bằng m thì: m = 2 hoặc m = m = ***) Nếu m = thì Pt (2) trở thành -2x + 4 = 0 x = 2 (giá trị m = không thoả mãn) Bài tập áp dụng Bài 1. Cho Pt: x2 + ax + b = 0. Tìm a, b sao cho các nghiệm của Pt cũng là a và b. Bài 2. Tìm giá trị của m để Pt sau có 1 và chỉ có 1 nghiệm x m 2x2 - 2mx + m2 - 1 = 0 Vấn đề 4. ý nghĩa hình học. 1. Đồ thị của hàm số bậc hai Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0) (y = f(x) = ax2 + bx + c) đồ thị hàm số: + Là một parabol (P) với bề lõm: - Quay về phía trên nếu a > 0 - Quay về phía dưới nếu a < 0 a.Nhận xét: - Parabol (P) có thể không cắt trục hoành (không có điểm chung : h1a , h2a) - (P) có thể tiếp xúc với trục hoành (có 1 điểm chung : h1b ,h2b) - (P) có thể cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt ( có 2 điểm chung : h1c, h2c) b.Đặc điểm của giao điểm . Mọi điểm của (P) đều có toạ độ (x; y = ax2 + bx + c ) . Mọi điểm của 0x có toạ độ (x; y= 0 ) . Giao điểm của (P) và 0x phải có đồng thời các toạ độ trên ax2 + bx + c = 0. (a 0) Kết luận . Nghiệm của pt : ax2 +bx +c = 0 là hoành độ các giao điểm của (P ) với trục 0x . - (P) cắt 0x tại 2 điểm Pt có 2 nghiệm phân biệt - (P) cắt tiếp xúc với 0x Pt có nghiệm kép. - (P) không cắt 0x Pt vô nghiệm. 2. Quan hệ giữa (P) và đương thẳng (d) y = px + q. a. Nhận xét. –Mọi điểm của (P) có toạ độ (x ; y = ax2 + bx + c) - Mọi điểm của (d) có toạ độ ( x; y = px + q). - Giao điểm của (P) và (d) phải có đồng thời các toạ độ trên ax2 + bx + c = px + q b. Kết luận. - Pt trên có 2 nghiệm phân biệt (P) tiếp xúc với (d) tại 2 điểm phân biệt. (h3a) - Pt có 1 nghiệm kép (P) tiếp xúc với (d) . (h3b) - Pt vô nghiệm (P) không cắt (d). (h3c) (d) O x y (p) h3a O x y (p) h3b (d) O x y (p) h3c (d) Bài tập áp dụng. Cho (P) có Pt: y = x2 - 3x + 2 và y = a. a) Với giá trị nào của a thì (P) và (d) cát nhau tại 2 điểm phân biệt . b) Chứng tỏ rằng nếu a > 2 thì đường thẳng cắt (P) tại 2 điểm nằm về 2 phía của trục 0y. Giải a). Điều kiện cần thoả mãn là Pt: x2 – 3x + 2 = a có 2 nghiệm phân biệt x2 – 3x + 2 – a = 0 có 2 nghiệm phân biệt = 4a + 1 > 0 a > . b). Nếu 4.2 + 1 = 9 Pt có 2 nghiệm phân biệt. Do x1.x2 = 2 - a < 0 nên 2 nghiệm trái dấu, nên giao điểm nằm về 2 phía đối với trục 0y. Bài tập về nhà. Bài 1. Cho (P) có p/trình y = x3 – 3x – 1 và đường thẳng (d) đi qua điểm A(. Xác định k để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)(k là hệ số góc của đường thẳng d) Bài 2. Cho (P) có Pt: y = mx2 – 2mx + m – 1. Chứng minh rằng (P) luôn tiếp xúc với một đường thẳng d cố định? Xác định đường thẳng đó. C. Lời kết Bản thân tôi đã có gắng, nỗ lực kiên trì áp dụng kinh nghiệm này song với thời gian giảng dạy chưa nhiều và những yếu tố chủ quan của bản thân cũng như điều kiện về học sinh, chắc chắn kinh nghiệm này không tránh khỏi những hạn chế. Tôi rất mong được sự giúp đỡ, bổ sung đóng góp ý kiến của tổ chuyên môn, của nhà truờng và các đồng nghiệp để kinh nghiệm của tôi hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Mê Linh, ngày 15 tháng 03 năm 2014. Người viết Phạm Phúc Đinh