Chuyên đề: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

CHUYÊN ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH –µ— I. LÝ THUYẾT: Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: Bước 1: Lập phương trình: a) Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các địa lượng đã biết. c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình. Bước 3: Trả lời: Kiểm tra trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Chú ý: + Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai. Trong chuyên đề này chỉ nêu cách giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn (hoặc phương trình đưa được về phương trình bậc hai) + Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế.... II. CÁC DẠNG TOÁN: TOÁN VỀ QUAN HỆ SỐ: 1. Những kiến thức cần nhớ: + Biểu diễn số có hai chữ số : + Biểu diễn số có ba chữ số : + Tổng hai số x; y là: x + y + Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2 + Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2. + Tổng nghịch đảo hai số x, y là: . 2. Ví dụ: VD1: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 85. Giải Gọi số bé là x (). Số tự nhiên kề sau là x + 1. Vì tổng các bình phương của nó là 85 nên ta có phương trình: x2 + (x + 1)2 = 85 Phương trình có hai nghiệm Vậy hai số phải tìm là 6 và 7. 3. Bài tập: 1) Tìm hai số, biết tổng của hai số là 7 và tổng bình phương hai số đó là 157. 2) Tích của hai số liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó. 3) Cho một số có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 10. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm hai số đó. 4) Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150. 5) Trong một phòng họp có 360 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng 1 ghế (số ghế trong các dãy vẫn bằng nhau) để đủ chỗ cho 400 đại biểu. Hỏi bình thường trong phòng có bao nhiêu dãy ghế. TOÁN CÓ NỘI DUNG HÌNH HỌC 1. Kiến thức cần nhớ: + Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( x là chiều rộng; y là chiều dài) + Diện tích tam giác ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng) + Định lý Pitago : a2 = b2 + c2 (a là cạnh huyền; c,b là các cạnh góc vuông) + Số đường chéo của một đa giác (n là số đỉnh) 2. Ví dụ: VD: Cạnh huyền của một tam góc vuông bằng 5 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 1m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác? Giải: Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x (m) (5 > x > 0) Cạnh góc vuông thứ hai là x + 1 (m) Vì cạnh huyền bằng 5m nên theo định lý Pi-ta-go ta có phương trình x2 + (x + 1)2 = 52 Phương trình có hai nghiệm phân biệt Vậy kích thước các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 3 m và 4 m. 3. Bài tập: 1) Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Tính chu vi của hình chữ nhật, Biết diện tích của miếng đất đó là 500m2. 2) Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 10 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2m. Tìm các cạnh góc vuông của tam giác đó. 3) Chiều cao ứng với một của tam giác bằng cạnh đó. Nếu chiều cao tăng thêm 3cm và cạnh đó giảm 5cm thì diện tích của tam giác bằng diện tích ban đầu. Tính chiều cao và diện tích của tam giác ban đầu. 4) Chiều cao của một tam giác vuông là 2,4m chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng hơn kém nhau 1,4m. Tính độ dài cạnh huyền của tam giác vuông. 5) Tính các kích thước của hình chữ nhật có chu vi bằng 120m và diện tích bằng 875m2. 6) Một đa giác lồi có tất cả 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh? TOÁN CHUYỂN ĐỘNG 1. Kiến thức cần nhớ: + Nếu gọi quảng đường là s; vận tốc là v; thời gian là t thì: S = v.t; . + Gọi vận tốc thực của ca nô là v1 vận tốc dòng nước là v2 tì vận tốc ca nô khi xuôi dòng nước là v = v1 + v2. Vân tốc ca nô khi ngược dòng là v = v1 – v + Khi phân tích bài toán, ta có thể lập bảng sau: Vận tốc v (km/h) Thởi gian t (h) Quảng đường s (km) Đối tượng 1 Đối tượng 2 2. Ví dụ: VD: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 300km. Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1h. Tính vận tốc và thời của mỗi xe. Vận tốc v (km/h) Thởi gian t (h) Quảng đường s (km) Ô tô 1 x + 10 300 Ô tô 2 x 300 Giải: Gọi vận tốc ô tô thứ hai là x km (x > 0) Vận tốc ô tô thứ nhất là (x + 10) km Thời gian ô tố thứ nhất đi từ A Š B là Thời gian ô tố thứ nhất đi từ A Š B là Theo đề bài ta có phương trình: - = 1 Giải phương trình ta được: x1 = 50 (nhận) x2 = - 60 (loại) Vậy: + Vận tốc ô tô thứ nhất là 60 km + Vận tốc ô tô thứ nhất là 50 km + Thới gian ô tô thứ nhất đi là 5h + Thới gian ô tô thứ nhất đi là 6h. 3. Bài tập: 1) Bác Hai và cô bảy đi xe đạp từ huyện lên tỉnh trên quảng đường dài 30km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác hai lớn hơn vận tốc của cô Bảy là 3km/h nên bác Hai đã đến trước cô Bảy nửa giờ. Tính vận tốc của mỗi người. 2) Một bè gỗ được thả trôi trên dòng sông Sêrêpôk. Sau khi bè trôi được 5h20’, một xuồng máy bắt đầu xuất phát từ vị trí bè trôi. Sau khi xuồng máy đi được 20km thì bắt kịp bè gỗ. Tính vận tốc của bè gỗ, biết rằng vận tốc cùa xuồng máy hơn vận tốc của bè là 12km/h 3) Một ô tô đi trên quảng đường dai 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quảng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quảng đường là 8 giờ. 4) Lúc 6h30’ một người đi xe máy từ A đến B dài 75 km với vận tốc định trước. Đến B người đó nghỉ 20’ rồi quay trở về A với vận tốc lớn vận tốc dự định là 5km/h. Người đó về đến A lúc 12h20’. Tính vận tốc dự định đi của người đ xe máy. 5) Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h. Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính vận tốc của mỗi xe. 6) Một người đi ô tô từ Tiền Giang đến TP. HCM với quảng đường dài 100km. Lúc về vận tốc của ô tô tang thêm 10km/h, do đó thời gian đi nhiều hơn thời gian về 30’. Tính vận tốc của ô tô lúc đi. 7) Một ca-nô đi từ A đến B dài 60km, cả đi và về hết 12,5 h. Tính vận tốc thuc72 của ca-nô, biết vận tốc dòng nước là 2km/h. TOÁN NĂNG SUẤT (LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG, VÒI NƯỚC CHẢY ) 1. Kiến thức cần nhớ: - Tổng khối lượng công việc = năng suất x thời gian. - Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm được công việc. - Xem toàn bộ công việc là 1 - Chú ý: + Nếu có hai đối tượng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại lượng này hơn, kém đại lượng kia ta nên chọn một ẩn và đưa về phương trình bậc hai. + Nếu thời gian của hai đại lượng này không phụ thuộc vào nhau ta nên chọn hai ẩn làm thời gian của hai đội rồi đưa về dạng hệ phương trình để giải. 2. Ví dụ: VD: Hai thợ cùng đào một con mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc? Giải: Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ) Mỗi giờ đội 1 làm được Mỗi giờ đội 2 làm được Vì cả hai đội thì sau 2 giờ 55 phút =(giờ) xong. Trong 1 giờ cả hai đội làm được công việc Theo đề bài ta có phương trình Ta có Vậy đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ. Đội hai hoàn thành công việc trong 7 giờ. 3. Bài tập: 1) Hai đội công nhân phải làm 144 dụng cụ. Do 3 công nhân chuyển đi làm việc khác nên mỗi người còn lại phải làm thêm 4 dụng cụ. Tính số công nhân lúc đầu của mỗi tổ nếu năng suất của mỗi người như nhau. 2) Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riệng thì đội I xong công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm xong công việc trong bao nhiêu ngày? 3) Một đội công nhân phải làm 240 dụng cụ. Do mỗi ngày người đó tăng năng suất 5 dụng cụ nên đã hoàn thành công việc sớm hơn 7 ngày. Tính số ngày người đó đã làm. 4) Một đội công nhân hoàn thành công việc trong 420 ngày. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng đội tăng thêm 5 người thì số ngày hoàn thành công ciệc giảm 7 ngày 5) Một đội xe cần chở 120 tấn hàng. Khi bắt đầu làm việc 2 xe được thì điều đi nới khác, nên mỗi xe còn lại phài chở thêm 16 tấn. Hỏi lúc đều đội có bao nhiêu xe? 6) Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều đi làm công việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau) 7) Hai vòi nước chảy vào hai bể có dung thể tích như nhau là 2400 lít. Mỗi phút vòi thứ hai chảy nhiều hơn vòi thứ nhất 8 lít nên thời gian chảy đầy bể của vòi thứ hai ít hơn thời gian của vòi thứ nhất chảy đầy bể là 10’. Tính xem trong một phút mỗi vòi chảy được bao nhiêu lít nước.