Chuyền đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 phần đại số

i toán 1.3 + Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MABC , ngược lại nếu AH BC tại H thì tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta có bài toán 1.4 Bài 1.3 : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC . Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE HD : Từ bài 1.2 ta có định hướng giải như sau: Kẻ DQ AM tại Q, ERAM tại R . Ta có : + ( Cùng phụ ) AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) DQ = AH (1) + ( cùng phụ ) AC = AE (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) ER = AH ( 1) . Từ (1) và (2) ER = DQ Lại có ( hai góc đối đỉnh ) ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung điểm của DE + Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thì tia MADE , ngược lại nếu H là trung điểm của BC thì tia KA sẽ vuông góc với DE, ta có bài toán 1.4 Bài 1.4: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC . Gọi H trung điểm của BC . Chứng minh rằng tia HA vuông góc với DE HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toán 1.4 Trên tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’ Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) A’B = AC ( = AE) và AC // A’B ( cặp góc trong cùng phía) Mà Xét ∆DAE và ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) mà Suy ra HA vuông góc với DE Bài 2 : Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn l­ît ë M, N. Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN. c) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm DM = EN Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g) Có BD = CE (gt) , ( MD, NEBC) ( ∆ABC cân tại A) Để Cm §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN Cần cm IM = IN Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I Cần cm O là điểm cố định Để cm O là điểm cố định Cần cm OC AC Cần cm Cần cm : và Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thác bài 2 Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta có thể phát biểu lại bài toán như sau: Bài 2.1 Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M, trªn tia AC lÊy ®iÓm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I . Chøng minh r»ng: a) I là trung điểm của MN b) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay đổi lời giải: Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ MDBC ( D BC) NE BC ( EBC) Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC . Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE . Chứng minh rằng : AI BC Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không ? vì sao? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H là giao điểm của BC và AI Để cm AI BC Cần cm Để cm Có cần cm và Cần cm ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K b) Để so sánh DE với BC cần so sánh IE với CK ( vì 2.IE = DE, 2CK = BC) So sánh AI với AK ( vì AI = IE, AK = CK) Có AI AK Lời giải : a)Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K cần cm và mà AI BC b) ta có BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI AK , DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vuông cân tại A Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: a) b) . c) BE = CF lơì giải Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2 Mà AHE = AHF (g-c-g) nên HF = EF; AF = AE Suy ra: Tõ Suy ra XÐt cã lµ gãc ngoµi suy ra cã lµ gãc ngoµi suy ra vËy hay (®pcm). Từ Suy ra AE = AF và Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) => Lại có: (cặp góc đồng vị) Do đó cânCF = CD ( 2) Từ (1) và (2) suy ra BE = CF Bài 5 : Cho tam giác ABC có góc B và góc C là hai góc nhọn .Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. a) Chứng minh rằng : BE = CD. b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng. c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax . Chứng minh BH + CK BC. d) Xác định vị trí của tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất. *Phân tích tìm lời giải Để cm BE = CD Cần cm ABE = ADC (c.g.c) Để cm M, A, N thẳng hàng. Cần cm Có Cần cm Để cm Cần cm ABM = ADN (c.g.c) Gọi là giao điểm của BC và Ax Để cm BH + CK BC Cần cm Vì BI + IC = BC BH + CK có giá trị lớn nhất = BC khi đó K,H trùng với I , do đó Ax vuông góc với BC Bài 6 Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®­êng cao AH. ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ®Òu nhËn A lµm ®Ønh gãc vu«ng. KÎ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH). a) Chøng minh: EM + HC = NH. b) Chøng minh: EN // FM. *Phân tích tìm lời giải a) Để cm EM + HC = NH Cần cm EM = AH và HC = AN + Để cm EM = AH cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) + Để cm HC = AN cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) b) Để cm EN // FM ( cặp góc so le trong) Gọi I là giao điểm của AN và EF để cm Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài 7 : Cho tam ABC vuông tại A , ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC *Phân tích tìm lời giải Gọi F là giao điểm của BA và IE để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB Để cm : ∆AFE = ∆ CAB Cần cm AF = AC (2); (1); (3) + Để cm (1) : Cm CI // AE vì có FI // AC và Để Cm CI // AE Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để cm (2) : AF = AC Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) + Cm (3) : ( vì cùng phụ ) *Khai thác bài toán : Từ bài 7 ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM ( vì AM = MB = MC) Vậy HE lớn nhất = 3AM = BC khi H trùng M khi đó tam giác ABC vuông cân Bài 8 Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F. Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) * Phân tích tìm lời giải a) Để cm AE = AF ∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c) Hoặc ∆AEF cân tại A ( Có AH vừa là tia phân giác , vừa là đương cao) b) Để cm BE = CF cần tạo tam giác chứa BE( hoặc có 1 cạnh = BE) mà bằng tam giác MCF + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c. g . c) Để cm BE = CF ∆ BEI cân tại B Có ( cặp góc đồng vị ) mà vì ∆AEF cân tại A AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF 2 AE = AB + AC hay Bài 9 Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®­êng cao AH. VÏ c¸c ®iÓm D, E sao cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE. Gäi I, K lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC. Chứng minh : Tam giác ADE cân tại A TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? *Phân tich tìm hướng giải - Xét TH góc A < 900 a) Để cm ∆ ADE cân tại A cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) b) Dự đoán CI IB , BK KC Do IB, KC tia phân giác góc ngoài của ∆ HIK nên HA là tia phân giác trong. Do nên HC là tia phân giác ngoài đỉnh H . Các tia phân giác góc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nên IC là tia phân giác của góc HIK , do đó IB IC , Chứng minh tượng tự ta có BK KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác bài toán : Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đó ta có ∆ AD’E’ cân tại A và góc DAC có Từ đó ta có bài toán sau: Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn . Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho nếu vẽ các điểm D, E trong đó AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thì DE có độ dài nhỏ nhất. HD . Tự nhận xét bài 9 dễ dàng tìm được vị trí điểm M trên cạnh BC. Bài 10. Cho ∆ ABC với góc A không vuông và góc B khác 135o. Gọi M là trung điểm của BC. Về phía ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB. Đường thẳng qua A vuông góc với AB và đường thẳng qua C song song với MD cắt nhau tại E. Đường thẳng AB cắt CE tại P và DM tại Q . Chứng minh rằng Q là trung điểm của BP. HD. Trên tia đối của tia MQ lấy điểm H sao cho MH = MQ - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) BQ = CH (1) và BQ//CH hay PQ // CH ( vì là cặp góc so le trong) - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g) PQ = CH (2) , Do Q nằm giữa B và P dù góc B nhỏ hơn 1350 Từ (1) và (2) Suy ra đpcm. Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A có , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: Tia AD là phân giác của góc BAC AM = BC HD a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra Do đó b) ABC cân tại A, mà (gt) nên ABC đều nên Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra . Tia BM là phân giác của góc ABD nên Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; Vậy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB > AC) . Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng : a) BA = BH b) c) Cho AB = 4 cm, tính chu vi tam giác DEK HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn) b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với EK , cắt EK tại I Ta có : , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) mà Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = .. = 2.4 = 8 cm * Từ bài ta thấy khi thì chu vi ∆DEK = 2. AB vậy nếu có chu vi ∆DEK = 2 thì ta cũng cm được . Ta có bài toán sau : Bài 12.1 Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi DAPQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. HD :