Chuyên đề 3: Đại số

x y ) 13 (x y)(x y ) 25 (x, y  ) Giaûi                   2 2 2 2 2 2 2 (x y)(x y ) 13 (x y)(x y ) 13 (1) (x y)(x y ) 25 (x y)(x y) 25 (2)             3 2 (x y) 1 x y 1 x y 5(x y) 25  (3; 2) hoaëc (2;  3) Baøi 13: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006 Giaûi heä phöông trình:           2 2 2 2 2 x xy y 3(x y) x xy y 7(x y) (x, y  ). Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 116 Giaûi Ñaët u = x  y, v = xy Ta coù:               2 2 u 3u v 0 u 0 u 1 v 0 v 2v 2u          u 0 x 0 v 0 y 0                 u 1 x 2 x 1 hoaëc v 1 y 1 y 2 Baøi 14: DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2005 Giaûi heä phöông trình:                2 2 x y x y 4 x x y 1 y y 1 2 Giaûi Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông             2 2 2 2 x y x y 4 0 x y x y xy 2           2 2 x y x y 4 0 xy 2 (I)  Ñaët S = x + y, P = x.y (I)          2 S 2P S 4 0 P 2                  2 2 P 2 thoûamaõn S 4P S 0 P 2 thoûamaõn S 4P S 1  Vôùi S = 0, P = 2 thì x, y laø nghieäm cuûa phöông trình: X 2 – SX + P = 0 X 2 – 2 = 0       1 2 X 2 X 2 . Vaäy nghieäm cuûa heä             x 2 x 2 y 2 y 2  Vôùi S = 1, P = 2 thì x, y laø nghieäm cuûa phöông trình: X 2 – SX + P = 0 X 2 + X – 2 = 0      1 2 X 1 X 2 Vaäy nghieäm cuûa heä           x 1 x 2 y 2 y 1 Toùm laïi: Heä coù 4 caëp nghieäm ( 2; 2), ( 2; 2), (1; 2), ( 2; 1)    . Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 117 Baøi 15: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 Giaûi heä phöông trình:          2x y 1 x y 1 3x 2y 4 Giaûi             2x y 1 x y 1 (2x y 1) (x y) 5 . Ñieàu kieän: x + y  0; 2x + y + 1  0 (*) Ñaët u =   2x y 1 0 ;   v x y 0 Heä trôû thaønh:                          1 12 2 2 u 2 u v 1 2x y 1 4 x 2 v 1 x y 1 y 1u v 5 u 1 loaïi (thoûa maõn (*) neân laø nghieäm) Baøi 16: Giaûi heä phöông trình         3 1 1 x y x y 2y x 1 Giaûi Ñieàu kieän: xy  0. Heä phöông trình töông ñöông vôùi:                        3 4 3 y x x y y x 0 xy 1 xy hoaëc 2y x 1 x x 2 0 2y x 1    2 2 3 2 xy 1 y x 0 hoaëc 1 1 3 x 2x 1 0 x x 0 voâ nghieäm 2 2 2                                      2 y x 0 x 1 x x 1 0  x = y = 1  x = y = 5 1 . Baøi 17: Giaûi heä phöông trình          2 2 2 2 y 2 3y x x 2 3x y Giaûi Nhaän xeùt: Vôùi xy  0 thaáy veá phaûi döông neân suy ra x > 0, y > 0 . Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 118 Ta coù heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông     2 2 2 2 3yx y 2 1 3xy x 2 2       (1)  (2) ta ñöôïc 3xy (x  y) = (y  x) (y + x)  (x  y) (3xy + x + y) = 0    1 2 x 1 x 2 loaïi      y = x, theá vaøo (1) ta ñöôïc 3x 3  x 2  2 = 0  (x  1) (3x 2 + 2x + 2) = 0  x = 1  y = 1 (thoûa maõn) Vaäy heä phöông trình coù moät nghieäm             x 2 x 2 y 2 y 2 . Baøi 18: Giaûi heä phöông trình          3 x y x y x y x y 2 Giaûi Ñieàu kieän      x y 0 x y 0 Khi ñoù heä phöông trình                  2 3 2 x y x y x y x y 2      2 x y 0 x y = 1 x y 0 x y 1 x y 2 x + y = 1 (loaïi)x+y x y 2 0                              3 x = x 1 2 y 1 1 y 2 . Baøi 19: CAO ÑAÚNG BAÙN COÂNG HOA SEN Giaûi heä phöông trình:       2 2 x y y x 6 x y y x 20 Giaûi Ñieàu kieän: x  0; y  0 (*) Ñaët u =   x 0,v y 0 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 119 Ñöa veà heä:       2 2 4 2 2 4 u v uv 6 u v u v 20 Giaûi heä naøy ta ñöôïc         u 1 u 2 ; v 2 v 1 Nghieäm cuûa heä ñaõ cho (x; y) = (4; 1) hay (x; y) = (1; 4) .  Vaán ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÁT PHÖÔNG TRÌNH COÙ CHÖÙA THAM SOÁ A. ÑEÀ THI Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011 Tìm m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm.  3 2 2 2x y 2 x xy m x x y 1 2m           (x, y R). Giaûi Ta coù:  3 2 2 2x y 2 x xy m x x y 1 2m            3 2 2 2 2x x y 2x xy m x x 2x y 1 2m                     2 2 x 2x y x 2x y m x x 2x y 1 2m                    2 2 x x 2x y m x x 2x y 1 2m             (*). Ñaët: u = x 2 – x = 2 1 1 x 2 4         1 u 4   . v = 2x – y  v  R . Heä (*) trôû thaønh: uv m u v 1 2m         u 1 2m u m v 1 2m u           2u u m 2u 1 v 1 2m u          2 u u m (1) 2u 1 v 1 2m u           . Ñaët: 2 u u f(u) 2u 1     , vôùi 1 u 4   . Ta coù:   2 2 2u 2u 1 f '(u) 2u 1      , 1 3 u (Loaïi) 2 f '(u) 0 1 3 u (Nhaän) 2            Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 120 u 1 4  1 3 2   +  f'(u) + 0  f(u) 2 3 2  5 8  –  Döïa vaøo baûng bieán thieân ta coù: Heä ñaõ cho coù nghieäm  (1) coù nghieäâm u thuoäc 1 ; 4        2 3 m 2   . Baøi 2: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011 Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá thöïc m ñeå phöông trình sau coù nghieäm:  6 x 2 (4 x)(2x 2) m 4 4 x 2x 2         ( x R ). Giaûi Ñieàu kieän: 1  x  4 Ñaët t = 4 2 2  x x vôùi x  [1; 4] t' = 1 1 2 4 2 2    x x = 2 4 2 2 2 4 2 2      x x x x t' = 0  2 4 2 2  x x  16 – 4x = 2x – 2  6x = 18  x = 3  t = 3 Ñieàu kieän: 3  t  3 x 1 3 4 Ta coù: t 2 = 2 + x + 2 (4 )(2 2)x x  t' + 0  x + 2 (4 )(2 2)x x  = t 2  2 t 3 (1) thaønh: 4 + t 2 = m + 4t  t 2 – 4t + 4 = m (2) 3 6 Xeùt f(t) = t 2 – 4t + 4 vôùi t  [ 3 ; 3] f'(t) = 2t – 4, f'(t) = 0  t = 2  f(t) = 0 t 3 2 3 f'  0 + f 7 4 3 1 0 (1) coù nghieäm  (2) coù nghieäm t  [ 3 ; 3]  0  m  1. Baøi 3: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2008 Tìm giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä phöông trình      x my 1 mx y 3 coù nghieäm (x; y) thoûa maõn xy < 0. Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 121 Giaûi Ta coù:      x my 1 mx y 3 2 x y 1 m 1 m 1 1 D 1 m , D 1 3m, D 3 m m 1 3 1 m 3            Ta thaáy: m, D = 1 + m 2  0  heä luoân coù nghieäm:               2 2 1 3mDx xx D 1 m Dy 3 m y y D 1 m Heä coù nghieäm (x; y) thoûa xy < 0      2 2 1 3m 3 m . 0 m 1 m 1  (1 + 3m)(3 – m) < 0    1 m 3 hay m > 3 Baøi 4: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ ÑOÁI NGOAÏI Ñònh m ñeå heä phöông trình sau voâ nghieäm:        2 2 x y xy m x y xy m 1 Giaûi S = x + y, P = xy Heä trôû thaønh          2 S P m S vaø P laø nghieäm phöông trình: X mX m 1 0 PS m 1  X = 1 hay X = m – 1 Vaäy (S = 1, P = m – 1) hay (S = m – 1, P = 1) Heä voâ nghieäm  S 2 – 4P < 0         2 1 4(m 1) 0 (m 1) 4 0  5 4 < m < 3. Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006 Tìm m ñeå phöông trình sau coù hai nghieäm thöïc phaân bieät:    2x mx 2 2x 1 Giaûi Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät:    2x mx 2 2x 1 (1)    2 2 2 1 x2x 1 0 2 x mx 2 (2x 1) f x 3x (m 4)x 1 0 (2)                  (1) coù 2 nghieäm phaân bieät  (2) coù hai nghieäm x1, x2 thoûa maõn: 1 2 1 x x 2    Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 122  2 (m 4) 12 0 S m 4 1 2 6 2 1 3 m 4 f 1 0. 2 4 2                          9 m 2 Baøi 6: Tìm m ñeå heä phöông trình sau        x y 1 x x y y 1 3m coù nghieäm Giaûi        x y 1 x x y y 1 3m (I) Ñieàu kieän x  0, y  0 Ñaët 3 u x u x x, u 0    3 v = y v y y, v 0   (I)  3 3 u v 1 u v 1 3m        u 3 + (1  u) 3 = 1  3m  u 2 + u = m (0  u  1) Khaûo saùt f(u) =  u 2 + u; f'(u) =  2u + 1; f’(u) = 0  u = 1 2 Baûng bieán thieân u 0 1 2 1 f'(u) + 0  f(u) 1 4 0 0 Nhôø baûng bieán thieân ta choïn 0  m  1 4 . Baøi 7: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 Cho phöông trình            2 2 2 35 x m x 4 2 m 0 3 Chöùng minh raèng vôùi moïi m  0 phöông trình luoân coù nghieäm. Giaûi            2 2 2 35 x m x 4 2 m 0 3 (1) Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – 123 Ñaët   2t x 4 2  t 2 = x 2 + 4  x 2 = t 2 – 4 (1)  t 2 – 4 +       2 5 m t 3 + 2 – m3 = 0  f(t) = t 2 +       2 5 m t 3  2 – m3 = 0 (2) Xeùt 1.f(2) =              3 2 3 24 4 m 2m m 2m h(m) 3 3  h'(m) = 3m 2 + 4m; h'(m) = 0  m = 0   4 m 3  Baûng bieán thieân: x 0 4 3 + h'(m) + 0  h (m) 4 27 4 3   Vaäy khi m  0 thì h(m) < 0  a.f(2) < 0  (2) coù nghieäm t1 < 2 < t2  (1) luoân coù nghieäm m Baøi 8: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ ÑOÁI NGOAÏI Xaùc ñònh m ñeå phöông trình sau ñaây coù nghieäm:  2x 2x 3  m = 0 Giaûi Phöông trình   2x 2x 3 = m, ñieàu kieän m  0  x 2  2x + 3 = m 2  (x – 1)2 = m2 – 2 YCBT  m 2 – 2  0  m2  2  m  2 (vì m  0)