Chuyên đề 2 : Tính chia hết

CHUYÊN ĐỀ 2 : TÍNH CHIA HẾT ============== A/ CHIA HẾT SỐ NGUYÊN : I/ MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN : 1/ a chia hết cho m, b chia hết cho m, c chia hết cho m, thì (a+b+c) chia hết cho m. 2/ a chia hết cho b ĩ a = bq a không chia hết cho b ĩ a = bq + r 3/ (a,b) = 1 và a.c chia hết cho b => c chia hết cho b 4/ c chia hết cho a, c chia hết cho b, và (a,b) = 1 => c chia hết cho a.b 5/ a chia hết cho m, b chia hết cho n, thì a.b chia hết cho m.n II/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI : 1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho 5 n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5 b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 2/ Phương pháp 2 : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q 3/ Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n) m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạng tữ chia hết cho n. 4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n) m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n) + Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức : an – bn a – b ( ab) n bất kỳ. an – bn a – b ( a- b) n chẵn. an + bn a + b ( a- b) n lẻ. 5/ Chứng minh bằng quy nạp toán học : 1/ Với n = 1 ta xét bài toán đúng hay không 2/ Giả sử bài toán đúng với n = k 3/ Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 ( Lưu ý thường là sử dụng điều giả sử 2/) Ví dụ CMR 16n – 15n – 1 225 n N* + Với n = 1 ta có 16 – 15 – 1 = 0 225 + Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta có : 16k – 15k – 1 225 Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 Thật vậy : 16k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16k – 15k – 15 – 1 = = ( 15+1 ) 16k – 15k – 15 – 1 = = (16k – 15k – 1) + 15. 16k – 15 Theo giả thiết qui nạp thì : 16k – 15k – 1 225 Còn 15. 16k – 15 = 15(16k – 1) Mà (16k – 1) ( 16 – 1) = 15 15(16k – 1) 15.15 = 225 Vì vậy 16k+1 – 15(k+1) – 1 225 Hay 16n – 15n – 1 225 n N* B/ CHIA HẾT ĐA THỨC : 1/ Ta sử dụng định lý Bơ zu : Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a. Từ đó ta có các hệ quả : + Đa thức f(x) ( x – a) f(a) = 0 tức là khi a là nghiệm của đa thức/ Từ đó suy ra : _ Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1 _ Đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì f(x) ( x + 1) 2/ Đa thức bậc 2 trở lên : Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có nhân tử chi hết cho đa thức chia. Cách 2 : Xét giá trị riêng. 3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có 1 thừa số chia hết cho đa thức chia. Cách 2 : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia. Cách 3 : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x) g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x)g(x) hoặc f(x) - g(x)g(x). Cách 4 : Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia ============================= MỘT SỐ BÀI TẬP - - - - - - - - - 1/ Chứng minh rằng : n(n2 + 1)( n2 + 4) 5 2/ Chứng minh rằng lập phương của một số nguyên n bất kỳ ( n>1) trừ đi 13 lần số nguyên đó thì chia hết cho 6. 3/ Chứng minh rằng : 24n – 1 15 4/ Chứng minh rằng : 2.7n + 1 3; n N* 5/ Chứng minh rằng : m3 + 20m 48; n N*, n chẵn 6/ Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9. 7/ Chứng minh rằng : 5.72(n+1) + 23n 41; n N* 8/ Phân tích ra thừa số : A = a4 – 6a3 + 27a2 – 54a + 32 Từ kết quả đó suy ra rằng biểu thức : n4 – 6n3 + 27n2 – 54n + 32 luôn là một số chẵn với mọi số nguyên dương n. 9/ Chứng minh rằng : n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24; n N 10/ Chứng minh rằng : A = n3(n2 – 7)2 – 36n 5040; n N 11/ Chứng minh rằng : a/ Một số chính phương chi cho 3 chỉ có số dư bằng 0 hay bắng 1. b/ Một số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư bằng 0 hay bắng 1. c/ Các số sau có phải là số chính phương không ; M = 19922 + 19932 + 19942 N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 P = 1 + 9100 + 94100 + 1994100 12/ Error! Not a valid link.16n – 1 17 khi n N và n chẵn. 13/ Chứng minh rằng : a Z ta có : a/ a2 – a 2 b/ a3 – a 3 c/ a5 – a 5 d/ a7 – a 7 Từ bài toán này rút ra được điều gì ? 14/ Chứng minh rằng : a/ ( n2 + n – 1)2 – 1 24; n Z b/ n3 + 6n2 + 8n 48; n chẵn c/ n4 - 10n2 + 9 384; n lẻ 15/ a/ Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3, CMR : a2 – 1 24 b/ CMR nếu a,b là các số nguyên tố lớn hơn 3,t hì : a2 – b2 24 c/ Tìm điều kiện số tự nhiên a để a4 – 1 240 16/ Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B : A = n3 + 2n2 – 3n + 2 ; B = n2 – n 17/ a/ Tìm số nguyên dương n để n5 + 1 n3 + 1 b/ giải bài toán trên với n là số nguyên 18/ Tìm giá trị n N để n + 7 n – 2 19/ Tìm n Z để : a/ n2 + 2n – 4 11 b/ 2n3 + n2 + 7n +1 2n – 1 c/ n3 – 2 n – 2 d/ n3 - 3n2 + 3n - 1 n2 +n + 1 e/n4 – 2n3 + 2n2 – 2n + 1 n4 – 1 20/a/ CMR nếu n + 1 và 2n + 1 (n N) đều là số chính phương thì n24 b/ CMR nếu 2n + 1 và 3n + 1 (n N) đều là số chính phương thì n40 21/ Các số p, p + 14, p + 10 là những số nguyên tố; tìm p 22/ CMR 32n+2 – 8n – 9 64; n 1 23/ Không thực hiện phép chia đa thức xét xem x3 – 9x2 + 6x + 16 có hay không chia hết cho : a/ x + 1; b/ x – 3; 24/ Tìm số dư phép chia x99 + x55 + x11 +x + 7 cho x + 1 25/ CMR : a/ x50 + x10 + 1 x20 + x10 + 1 b/ x2 - x9 – x1945 x2 - x + 1 c/ x10 - 10x + 9 (x – 1)2 d/ 8x9 - 9x8 + 1 (x – 1)2 26/ Tìm f(x); biết f(x) chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; còn chia cho (x – 2)(x – 3) thì được thương là 3x và còn dư. 27/ Xác định a,b để : a/ x4 – 9x3 + 21x2 + ax + bx2 – x – 2 b/ 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x + 2x2 – x + b 28/ Với điều kiện nào thì tổng 2 đa thức chia hết cho x – 1, nếu mỗi đa thức không chia hết cho x – 1 29/ Với điều kiện nào thì tích 2 đa thức chia hết cho x2 – 1, mà mỗi đa thức không chia hết cho x2 – 1 30/ Xác định a,b,c để : a/ P(x) = x4 + ax2 + bx + c (x – 3)3 b/ P(x) = x3 – 5x2 – 8x + a x2 +x + b c/ P(x) = x3 + ax2 + 2x + b x2 +x + 1 1/ Cho A = ( a+b+c)3 – a3 – b3 – c3 ( a,b,c là các số nguyên ) a/ Phân tích A thành nhân tử ? b/ CMR : Nếu a,b,c cùng chẵn hoặc cùng lẻ thì A M 24 ? 2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình : a/ x2 - y2 = 105. b/ x2 – 3y2 = 17 3/ Giải phương trình a/ b/ ( x – 1)m2 – (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0 4/ Cho Q = 32n+1 + 2n+2 ( n là số tự nhiên ). Chứng minh rằng Q chia hết cho 7 5/ Cho điểm D trong ABC đều. Vẽ các BDE, CDF đều ( E, F, D nằm cùng phía đối với BC). Chứng minh AEDF là hình bình hành 2/ Cho B = n3+ 3n2+ 2n với n là các số nguyên. Chứng minh rằng B chia hết cho 6 3/ Cho n lẻ và C = n3 – n ; D = n2 + 4n – 5 . Chứng minh rằng C M24 và DM 8. 4/ Cho F = n4 – 4n3 – 4n2 + 16n ( n: chẵn ). Chứng minh rằng F chia hết cho 384. 5/ Cho K = ( n là số nguyên). Tìm n để K là số nguyên. 1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x2 + 2y2 = 1 2/ Tìm hình chữ nhật biết các cạnh là những số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi ? 3/ Tìm tất các các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4 là một số chính phương ? 4/ Tìm các chữ số x,y,z sao cho : xyz + xzy = zzz 5/ Tìm số nguyên tố p sao cho 4p + 1 là số chính phương ? 6/Tìm nghiệm nguyên dương của x2 - y2 = 105. 7/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 - y2 = 93. 8/ CMR phương trình x2 – 3y2 = 17 không có nghiệm nguyên 9/ Giải và biện luận phương trình : a/ a2x = a2(x + b) – b. b/ ( x – 1)m2 – (5x – 1)m + 2(3x + 1) = 0 c/ ; d/ e/