Căn thức và các bài toán liên quan

. Trên BC lấy điểm M. Từ C hạ CK^ với đường thẳng AM. Cm: ABKC nội tiếp. Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại N. Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường này cắt đường thẳng DK ở E. Cmr: BD. KN = BE. KA Cm: MN//DB. Cm: BMEN là hình vuông. Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB ở O. Gọi M là 1 điểm trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M. Kẻ NE; NF và NP lần lượt vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB ở Q. Cm: QPCB nội tiếp. Cm: AN//DB. Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng. Cm: DPEN là tam giác cân. Bài 94: Từ đỉnh A của hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạio với nhau 1 góc bằng 45o. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q. Cm: E; P; Q; F; C cùng nằm trên 1 đường tròn. Cm: AB. PE = EB. PF. Cm: SDAEF = 2SDAPQ. Gọi M là trung điểm AE. Cmr: MC = MD. Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở O. Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC. Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở I. Gọi E và F lần lượt là trung điểm DH và BC. Từ E dụng đường thẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. C/m: OHIK nội tiếp. Chứng tỏ KH^OI. Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. Chứng tỏ: HJ. KC = HE. KB Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp được trong một đường tròn. Bài 96: Cho DABC, phân giác góc trong và góc ngoài của các góc B và C gaëp nhau theo thứ tự ở I và J. Từ J kẻ JH; JP; JK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB; BC; AC. Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng. Chứng minh: BICJ nội tiếp. BI kéo dài cắt đường thẳng CJ tại E. Cmr: AE^AJ. C/m: AI. AJ = AB. AC. Bài 97: Từ đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay sao cho: Ax cắt cạnh BC ở P,Ay cắt cạnh CD ở Q. Kẻ BK^Ax;BI^Ay và DM^Ax,DN^Ay . Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2 = AP. MD. Chứng minh MN = KI. Chứng tỏ KI^AN. Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o. Phân giác góc A cắt cạnh CD và đường thẳng BC tại I và K. Hạ KH và KM lần lượt vuông góc với CD và AM. Chứng minh KHDM nội tiếp. Chứng minh: AB = CK + AM. Bài 99: Cho(O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC. Vẽ cát tuyến BEF. Đường thẳng CE và CF gaëp lại đường tròn ở điểm thứ hai tại M và N. Dựng hình bình hành AECD. Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF. Chứng minh AFCD nội tiếp. Chứng minh: CN. CF = 4BE. BF Chứng minh MN//AC. Bài 100: Trên (O) lấy 3 điểm A;B;C. Gọi M;N;P lần lượt theo thứ tự là điểm chính giữa cung AB;BC;AC . AM cắt MP và BP lần lượt ở K và I. MN cắt AB ở E. Chứng minh DBNI cân. PKEN nội tiếp. Chứng minh AN. BD = AB. BN Chứng minh I là trực tâm của DMPN và IE//BC. Dạng 2: Mở đầu về hình học không gian Bµi 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ®iÓm S n»m ngoµi mp(ABCD). Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SA, SD. Tø gi¸c MNCB lµ h×nh g× ? Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD. Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD, CD. LÊy ®iÓm E Î AB, F Î BC sao cho: . a) Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH. b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña EG vµ (BCD). CMR: F, H, I th¼ng hµng. Bµi 3: Chøng minh r»ng: NÕu mét mÆt ph¼ng song song víi ®­êng th¼ng a cña mp(Q) mµ (P) vµ (Q) c¾t nhau th× giao tuyÕn cña chóng song song víi a. Bµi 4: Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) c¾t nhau theo giao tuyÕn d. Mét mÆt ph¼ng thø ba (R) c¾t (P) , (Q) theo thø tù lµ c¸c giao tuyÕn a vµ b. CMR: a) NÕu a c¾t d t¹i M th× a, b, d ®ång qui. b) NÕu a // d th× a, b, d ®«i mét song song. Bµi 5: Cho tø diÖn S.ABC, ®iÓm D Î SA sao cho sao cho . Gäi M lµ trung ®iÓm cña SC, I lµ giao ®iÓm cña DM vµ AC, N lµ giao ®iÓm cña IE vµ BC. Chøng minh r»ng: a) SB // (IDE). b) N lµ trung ®iÓm cña BC. Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®­êng cao AH. Mét ®­êng th¼ng d ^ (ABC) t¹i A. Trªn d lÊy ®iÓm S bÊt kú. a) Chøng minh BC ^ SH. b) KÎ AI lµ ®­êng cao cña tam gi¸c SAH. Chøng minh AI ^ (SBC). c) Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm. TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cña h×nh chãp S . ABC. Bµi 7: Cho tam gi¸c ABC ®Òu vµ trung tuyÕn AM, ®iÓm I Î AM sao cho IA = 2.IM . Qua I vÏ ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi mp(ABC), trªn d lÊy ®iÓm S bÊt kú. a) Chøng minh SA = SB = SC. b) Gäi IH lµ ®­êng cao cña tam gi¸c SIM. CMR: IH ^ (SBC). c) TÝnh Sxq vµ V cña h×nh chãp S . ABC biÕt ; SA = 5 cm. Bµi 8: Cho tø diÖn S . ABC. §iÓm E Î SA, F Î AB sao cho . Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SC, BC. CMR: a) EF // GH. b) EG, FH, AC ®ång qui. Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Mét ®­êng th¼ng d vu«ng gãc vãi mp(ABC) t¹i B, trªn d lÊy ®iÓm S sao cho SA = 10 cm. a) Chøng minh r»ng: SB ^ AC. b) TÝnh SB, BC, SC. c) Chøng minh tam gi¸c SAC vu«ng. d) TÝnh Stp, V. Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh 3 cm. Trªn ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi mp(ABCD) t¹i A lÊy ®iÓm S sao cho SA = 4 cm. CMR: a) (SAB) ^ (SAD). b) SC ^ BD. c) C¸c tam gi¸c SBC vµ SDC vu«ng. d) TÝnh Sxq, V cña h×nh chãp SABCD. Bµi 11: Cho l¨ng trô ®øng ABCD . A’B’C’D’ cã ®¸y lµ h×nh thoi. BiÐt ®­êng cao AA’ = 5 cm, c¸c ®­êng chÐo AC’ = 15 cm , DB’ = 9 cm. a) TÝnh AB ? b) TÝnh Sxq, V cña h×nh l¨ng trô ABCD A’B’C’D’. c) TÝnh Sxq, V cña h×nh chãp B’ ABCD. Bµi 12: Cho l¨ng trô tam gi¸c ®Òu ABC . A’B’C’ cã AA’ = 4 cm , gãc BAB’ = 450 . TÝnh Sxq vµ V. Bµi 13: H×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AD = 3 cm, AB = 4 cm, BD’ = 13 cm. TÝnh Sxq vµ V ? Bµi 14: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm. a) CM: C¸c tø gi¸c ACC’A’, BDD’B’ lµ h×nh ch÷ nhËt. b) CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2. TÝnh Stp , V ? Bµi 15: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300. TÝnh Stp vµ V ? Bµi 16: Cho h×nh lËp ph­¬ng ABCD . A’B’C’D’ cã ®é dµi c¹nh lµ 6 cm . a) TÝnh ®­êng chÐo BD’. b) TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’. ABD. c) TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’.BC’D. Bµi 17: Mét thïng h×nh trô cã diÖn tÝch xung quanh b»ng tæng diÖn tÝch hai ®¸y, ®­êng cao cña h×nh trô b»ng 6 dm. Hái thïng chøa ®­îc bao nhiªu lÝt n­íc ? ( biÕt r»ng 1 dm3 = 1 lÝt ). Bµi 18: Mét mÆt ph¼ng qua trôc OO’ cña mét h×nh trô, phÇn mÆt ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi h×nh trô ( cßn gäi lµ thiÕt diÖn) lµ mét h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch b»ng 72 cm2. TÝnh b¸n kÝnh ®¸y, ®­êng cao cña h×nh trô biÕt r»ng ®­êng kÝnh ®¸y b»ng mét nöa chiÒu cao. Bµi 19: Mét h×nh trô cã thiÕt diÖn qua trôc lµ mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 4 cm, chiÒu réng 3 cm. TÝnh Sxq vµ V cña h×nh trô ®ã. Bµi 20: Cho h×nh nãn ®Ønh A, ®­êng sinh AB = 5 cm, b¸n kÝnh ®¸y OB = 3 cm. a) TÝnh Sxq cña h×nh nãn. b) TÝnh V cña h×nh nãn. c) Gäi CD lµ d©y cung cña (O; OB)vu«ng gãc víi OB. CMR: CD ^ (AOB). Bµi 21: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A quay mét vßng quanh AB. TÝnh b¸n kÝnh ®¸y, ®­êng cao cña h×nh nãn t¹o thµnh. Tõ ®ã tÝnh Sxq , vµ V cña h×nh nãn biÕt r»ng BC = 6 cm, gãc ACB = 600. Bµi 22: Mét h×nh nãn cã thiÕt diÖn qua trôc lµ mét tam gi¸c ®Òu c¹nh b»ng 4 cm. TÝnh Sxq vµ V . Bµi 23: Mét h×nh nãn côt cã ®­êng cao 12 cm, c¸c b¸n kÝnh ®¸y lµ 10 cm vµ 15 cm. a) TÝnh Sxq cña h×nh nãn côt. b) TÝnh V cña h×nh nãn sinh ra h×nh nãn côt ®ã. Bµi 24: Mét h×nh thang ABCD cã gãc A vµ = 900, AB = BC = a , = 600. TÝnh Stp cña h×nh t¹o thµnh khi quay h×nh thang vu«ng mét vßng xung quanh: a) C¹nh AD. b) C¹nh DC. Bài 24: Cho hình chữ nhật MNPQ có MN = 3NP; NP = . Tính thể tích hình tạo thành khi quay hình chữ nhật MNPQ một vòng quanh MN . Bài 26: Một hình nón có đường sinh bằng 16cm. Diện tích xung quanh bằng . Tính bán kính đường tròn đáy của hình nón. Bài 27: Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ có bán kính đáy là r = 3,1 cm và chiều cao h = 2,4 cm ? Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại A quay quanh cạnh BC. Tính thể tích hình sinh ra bởi tam giác , biết BC = 5cm. Bài 29: Một hình trụ có chu vi đáy bằng 20cm, diện tích xung quanh bằng 140cm2. tính chiều cao của hình trụ Bài 30: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 4 cm; AC = 5 cm và A’C = 13 cm. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó. Bài 31: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng 25 cm2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình lập phương đó. Bài 32: Cho hình hộp chứ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm và góc A’AC’ bằng 600. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đó. Bài 33: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’. Tính diện tích xung quanh và thể tích của nó biết cạnh đáy dài 6 cm và góc AA’B bằng 300. Bài 34: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên đường thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC. Chứng minh rằng SA = SB = SC. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a. Bài 35: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và đường cao là . Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp. Bài 37: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. Tính diện tích toán phần của hình chóp. Tính thể tích của hình chóp. Bài 38: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3. Tính độ dài cạnh đáy. Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Bài 39: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là 6 cm. Tính thể tích của hình chóp cụt đó. Bài 40: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Tính thể tích hình chóp. Chứng minh rằng bốn mặt bên là những tam giác vuông. Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Bài 41: Một hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích hình trụ là 128p cm3, tính diện tích xung quanh của nó. Bài 42: Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng 65p cm2. Tính thể tích của hình nón đó. Bài 43: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn bằng 8 cm, đường cao bằng 12 cm và đường sinh bằng 13 cm. a) Tính bán kính đáy nhỏ. b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt đó. Bài 44: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36p cm2. Tính thể tích của hình cầu đó.