Các dạng toán về số và chữ số ở tiểu học

CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ VÀ CHỮ SỐ Ở TIỂU HỌC I. Những kiến thức cần lưu ý a. Có mười chữ số là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Khi viết 1 số tự nhiên ta sử dụng mười chữ số trên. Chữ số đầu tiên kể từ bên trái của 1 số tự nhiên phải khác 0. b. Phân tích cấu tạo của một số tự nhiên: ab = a × 10 + b abc = a × 100 + b × 10 + c = × 10 + c abcd = a × 1000 + b × 100 + c × 10 + d = × 10 + d = × 100 + cd c. Quy tắc so sánh hai số tự nhiên: c.1 - Trong 2 số tự nhiên, số nào có chữ số nhiều hơn thì số đó lớn hơn. c.2 - Nếu 2 số có cùng chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên kể từ trái sang phảilớn hơn sẽ lớn hơn. d. Số tự nhiên có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8 là các số chẵn. Số chẵn có tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8. e. Số tự nhiên có tận cùng bằng 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ. Số lẻ có tận cùng bằng 1, 3, 5, 7, 9. g. Hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. Hai số hơn (kém) nhau 1 đơn vị là hai số tự nhiên liên tiếp. h. Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số chẵn hơn (kém) nhau 2 đơn vị là 2 số chẵn liên tiếp. i. Hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. Hai số lẻ hơn (kém) nhau 2 đơn vị là 2 số lẻ liên tiếp. k. Khi phải viết số có nhiều chữ số giống nhau người ta thường chỉ viết 2 chữ số đầu rồi ... sau đó viết chữ số cuối bên dưới ghi số lượng chữ số giống nhau đó Ví dụ: 10 . . . 0 8 chữ số 0 II. Các dạng bài 1. Dạng 1: Sử dụng cấu tạo thập phân của số Ở dạng này ta thường gặp các loại toán sau: - Loại 1: Viết thêm 1 hay nhiều chữ số vào bên phải, bên trái hoặc xen giữa một số tự nhiên. Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số,biết rằng nếu viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số lớn gấp 13 lần số đã cho. Giải Gọi số phải tìm là ab . Viết thêm chữ số 9 vào bên trái ta dược số 9ab . Theo bài ra ta có: = × 13 900 + = × 13 900 = × 13 – 900 = × (13 – 1) 900 = × 12 = 900: 12 = 75 Bài 2: Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112 đơn vị. Giải Gọi số phải tìm là abc . Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta dược số abc5 . Theo bài ra ta có: abc5 = + 1112 10 × + 5 = + 1112 10 × = + 1112 – 5 10 × = + 1107 10 × – = 1107 (10 – 1) × = 1107 9 × = 1107 = 123 Bài 3: Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu viết chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó ta được số lớn gấp 10 lần số đã cho, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận dược thì số đó lại tăng lên 3 lần. Giải Gọi số phải tìm là . Viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số a0b . Theo bài ra ta có: × 10 = Vậy b = 0 và số phải tìm có dạng a00 . Viết thêm chữ số 1 vào bên trái số ta được số 1a00 . Theo bài ra ta có: = 3 × Giải ra ta được a = 5. Số phải tìm là 50 ab abcd- Loại 2: Xoá bớt một chữ số của một số tự nhiên. cd Bài 1: Cho số có 4 chữ số . Nếu ta xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số đó giảm đi 4455 đơn vị. Tìm số đó. Giải Gọi số phải tìm là . Xoá đi chữ số hàng chục và hàng đơn vị ta được số . Theo đề bài ta có – = 4455 100 × + – = 4455 + 100 × – = 4455 + 99 × = 4455 = 99 × (45 – ) Ta nhận xét tích của 99 với 1 số tự nhiên là 1 số tự nhiên nhỏ hơn 100. Cho nên 45 – phải bằng 0 hoặc 1. - Nếu 45 – = 0 thì = 45 và = 0. - Nếu 45 – = 1 thì = 44 và = 99. Số phải tìm là 4500 hoặc 4499. - Loại 3: Số tự nhiên và tổng, hiệu, tích các chữ số của nó. Bài 1: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó. Giải Cách 1: Gọi số phải tìm là . Theo bài ra ta có = 5 × (a + b) 10 × a + b = 5 × a + 5 × b 10 × a – 5 × a = 5 × b – b (10 – 5) × a = (5 – 1) × b 5 × a = 4 × b Từ đây suy ra b chia hết cho 5. Vậy b bằng 0 hoặc 5. + Nếu b = 0 thì a = 0 (loại) + Nếu b = 5 thì 5 × a = 20, vậy a = 4. Số phải tìm là 45. Cách 2: ab Theo bài ra ta có = 5 × ( a + b) Vì 5 × (a + b) có tận cùng bằng 0 hoặc 5 nên b bằng 0 hoặc 5. + Nếu b = 0 thay vào ta có: a5 = 5 × (a + 5) 10 × a + 5 = 5 × a + 25 Tính ra ta được a = 4. Thử lại: 45: (4 + 5) = 5 . Vậy số phải tìm là 45. Bài 2: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số chia cho hiệu các chữ số của nó được thương là 28 và dư 1 Giải Gọi số phải tìm là và hiệu các chữ số của nó bằng c. Theo bài ra ta có: = c × 28 + 1, vậy c bằng 1, 2 hoặc 3. + Nếu c = 1 thì = 29. Thử lại: 9 – 2 = 7 khác 1 (loại) + Nếu c = 2 thì = 57. Thử lại: 7 – 5 = 2 ; 57: 2 = 28 (dư 1) + Nếu c= 3 thì = 58. Thử lại: 8 – 5 = 3 ; 85: 3 = 28 (dư 1) Vậy số phải tìm là 85 và 57. Bài 3: Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó Giải Cách 1: Gọi số phải tìm là abc . Theo bài ra ta có = 5 × a × b × c. Vì a × 5 × b × c chia hết cho 5 nên chia hết cho 5. Vậy c = 0 hoặc 5, nhưng c không thể bằng 0, vậy c = 5. Số phải tìm có dạng ab5. Thay vào ta có: 100 × a + 10 × b + 5 = 25 × a × b. 20 × a + 2 × b +1 = 5 × a × b. Vì a × 5 × b chia hết cho 5 nên 2 × b + 1 chia hết cho 5. Vậy 2 × b có tận cùng bằng 4 hoặc 9, nhưng 2 × b là số chẵn nên b = 2 hoặc 7. - Trường hợp b = 2 ta có a25 = 5 × a × 2. Vế trái là số lẻ mà vế phải là số chẵn. Vậy trường hợp b = 2 bị loại. - Trường hợp b = 7 ta có 20 × a + 15 = 35 × a. Tính ra ta được a = 1. Thử lại: 175 = 5 × 7 × 5. Vậy số phải tìm là 175. Cách 2: Tương tự cách 1 ta có: = 25 × a × b Vậy chia hết cho 25, suy ra b = 2 hoặc 7. Mặt khác, là số lẻ cho nên a, b phải là số lẻ suy ra b = 7. Tiếp theo tương tự cách 1 ta tìm được a = 1. Số phải tìm là 175. - Loại 4: So sánh tổng hoặc điền dấu Bài 1: Cho A = + ab + 1997 B = 1ab9 + 9ac + 9b So sánh A và B Giải Ta thấy: B = 1009 + ab0 + 900 + ac + 90 + b = 1999 + + a0 + c + b = 1999 + + ab → A < B Bài 2: So sánh tổng A và B. A = + de + 1992abc B = 19bc + d1 + a9c Giải: Ta thấy: B = 1900 + bc + d0 + 1 + a00 + e + 90 = + + 1991 Từ đó ta suy ra A > B. Bài 3: Điền dấu 1a26 + 4b4 + 5bc abc + 1997 + m000 m0bc + a00 x5 + 5x xx + 56 2. Dạng 2: Kĩ thuật tính và quan hệ giữa các phép tính Bài 1: Tổng của hai số gấp đôi số thứ nhất. Tìm thương của 2 số đó. Giải Ta có: STN + ST2 = Tổng. Mà tổng gấp đôi STN nên STN = ST2 suy ra thương của 2 số đó bằng 1 Bài 2: Một phép chia có thương là 6 và số dư là 3, tổng của số bị chia, số chia và số dư bằng 195. Tìm số bị chia và số chia. Giải Gọi số bị chia là A, số chia là B Ta có: A: B = 6 (dư 3) hay A = B × 6 + 3 Và: A + B + 3 = 195 → A + B = 1995 – 3 = 1992 B = (1992 – 3): (6 + 1) = 27 A = 27 × 6 + 3 = 165 Bài 3: Hiệu của 2 số là 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 3 và số dư là 3. Tìm 2 số đó. Giải Số bé là: (33 – 3): 2 = 15 Số lớn là: 33 + 15 = 48 Đáp số: SL 48 ; SB 15. ------------------------------------------------------------------------------------------- * BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Tìm 1 số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó ta được 1 số lớn gấp 31 lần số phải tìm. Bài 2: Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được số lớn gấp 26 lần số phải tìm. Bài 3: Tìm 1số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn hơn số phải tìm 230 đơn vị. Bài 4: Cho số có 3 chữ số, nếu ta xoá chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 5 lần. Tìm số đó. Bài 5: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó lớn gấp ba lần tích các chữ số của nó. Bài 6: Cho A = abcde + abc + 2001 ; B = ab56e + 1cd8 + a9c + 7b5 So sánh A và B Bài 7: Cho hai số, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương là 7 và số dư lớn nhất có thể có được là 48. Tìm hai số đó. Bài 8: Tìm số có hai chữ số biết tổng các chữ số của số đó bằng số lẻ nhỏ nhất có hai chữ số, còn chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục 3 đơn vị 3. Dạng 3: Thành lập số và tính tổng Bài 1: Cho 4 chữ số 0, 3, 8 và 9. a, Viết được tất cả bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đã cho. b, Tìm số lớn nhất, số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho. c, Tìm số lẻ lớn nhất, số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho. Giải Cách 1: Chọn 3 làm chữ số hàng nghìn, ta có các số: Nhìn vào sơ đồ bên ta thấy: Từ 4 chữ số đã cho ta viết được 6 số có chứ số hàng nghìn bằng 3 thoả mãn điều kiện của đề bài. Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn. Vậy só các số thoả mãn điều kiện của đề bài là 6 × 3 = 18 (số) Cách 2: Lần lượt chọn các chữ số hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị như sau: - Có 3 cách chọn chữ số hàng nghìn của số thoả mãn điều kiện đề bài (vì số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn). - Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm (đó là 3 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn) - Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là 2 chữ số còn lại khác chữ số hàng nghìn và hàng trăm). - Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (đó là chữ số còn lại khác hàng nghìn, hàng trăm và hàng chục). Vậy các số viết được là: 3 × 3 × 2 × 1 = 18 (số) b, Số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số đã cho phải có chữ số hàng nghìn là chữ số lớn nhất (Trong 4 chữ số đã cho). Vậy chữ số hàng nghìn của số phải tìm bằng 9. Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong 3 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng trăm bằng 8. Chữ số hàng chục là chữ số lớn trong 2 chữ số còn lại. Vậy chữ số hàng chục là 3. Số phải tìm là 9830. Tương tự phần trên ta nhận được số bé nhất thoả mãn điều kiện của đề bài là 3089. c, Số lẻ lớn nhất thoả mãn điều kiện của đề bài phải có chữ số hàng nghìn là số lớn nhất trong 4 chữ số đã cho. Vậy chữ số hàng nghìn của số phải tìm bằng 9. Số phải tìm có chữ số hàng nghìn bằng 9 và là số lẻ nên chữ số hàng đơn vị phải bằng 3. Chữ số hàng trăm phải là chữ số lớn nhất trong hai chữ số còn lại, nên chữ số hàng trăm phải bằng 8. Vậy số phải tìm là 9830. Tương tự số chẵn nhỏ nhất là 3098. Bài 2: Viết liên tiếp 15 số lẻ đầu tiên để được một số tự nhiên. Hãy xoá đi 15 chữ số của số tự nhiên vừa nhận được mà vẫn giữ nguyên thứ tự các chữ số còn lại để được: a, Số lớn nhất. b, Số nhỏ nhất. Viết các số đó. Giải Viết 15 số lẻ đầu tiên liên tiếp ta được số tự nhiên: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Để sau khi xoá 15 chữ số ta nhận được số lớn nhất thì chữ số giữ lại đầu tiên kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy trước hết ta xoá 4 chữ số đầu tiên của dãy 1, 3, 5, 7. Số còn lại là: 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Ta phải xoá tiếp 15 – 4 = 11 chữ số còn lại để được số lớn nhất. Để sau khi xoá nhận được số lớn nhất thì chữ số thứ hai kể từ bên trái phải là chữ số 9. Vậy tiếp theo ta phải xoá tiếp những chữ số viết giữa hai chữ số 9 trong dãy, đó là 11 13 15 17 1. Số còn lại là: 992 123 252 729. Ta phải xoá tiếp 11 – 9 = 2 chữ số từ số còn lại để được số lớn nhất. Chữ số thứ ba còn lại kể từ bên trái phải là 2, vậy để được số lớn nhất sau khi xoá 2 chữ số ta phải xoá số 12 hoặc 21. Vậy số lớn nhất phải là 9 923 252 729. b, Lập luận tương tự câu a. số phải tìm là 1 111 111 122 Bài 3: Cho 3 chữ số 2, 3 và 5. Hãy lập tất cả các số có 3 chữ số mà mỗi số có đủ 3 chữ số đã cho. Hỏi: a, Lập được mấy số như thế b, Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng mấy lần? c, Tính tổng các số. Giải a, Ta lập được 6 số sau 235 325 523 253 352 532 b, Mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 2 lần. c, Tổng các số đó là: (2 + 3 + 5) × 2 × 100 + (2 + 3 + 5) × 2 × 10 + (2 + 3 + 5) × 1 = 10 × 2 × (100 + 10 + 1) = 10 × 2 × 111 = 2220 Bài 4: Cho 4 chữ số 1, 2, 3, 4. Hãy lập tất cả các số có 4 chữ số mà ở mỗi số có đủ 4 chữ số đẫ cho. Tính tổng các số đó. Giải Chọn chữ số 1 ở hàng nghìn ta lập được 6 số sau: 1234 1324 1423 1243 1342 1432 Ta thấy mỗi chữ số đứng ở mỗi hàng 6 lần. Vậy tổng các số lập được: (1 + 2 + 3 + 4) × 1000 × 6 + (1 + 2 + 3 + 4) × 100 × 6 + (1 + 2 + 3 + 4) × 10 × 6 + (1 + 2 + 3 + 4) × 1 × 6 = 10 × 6 × (1000 + 100 + 10 + 1) = 60 × 1111 = 66660. Bài 5: Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hãy lập tất cả các số có 5 chữ số mà ở mỗi số có đủ 5 chữ số đã cho. Tính tổng Giải Chọn chữ số 1 ở hàng chục nghìn ta lập được 24 số Tương tự nên ta lập được 24 × 5 = 120 (số) Tổng là: (1 + 2 + 3 + 4 + 5) × 10000 × 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) × 1000 × 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) × 100 × 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) × 10 × 24 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) × 1 × 24 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) × 24 × 11111