Các bài toán liên quan đến hàm số

ị : x -2 -1 0 1 2 y = -x2 -2 - 0 - -2 Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (D) : y = 2x + m và parabol(P) l à : - x2 = 2x + m x2 + 4x + 2m = 0 (1) Để (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt > 0 4 – 2m > 0 m < 2 Vậy với m < 2 thì đường thẳng (D) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt Bài 10 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho đường thẳng (D) và parabol (P) có phương trình : (D) : y = k(x -1) (P) : y = x2- 3 x + 2 a) Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của k , (D) và (P) luôn có điểm chung b) Trong trường hợp (D) tiếp xúc với (P) .Tìm toạ độ tiếp điểm. Giải: a)Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là: x2 – 3x + 2 = k(x -1) x2 – (3+ k)x +2 + k = 0 (1) Phương trình (1) có : = ( 3 + k)2 – 4 ( 2 + k) = 9 + 6k + k2 – 8 – 4k = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 0 với mọi k Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi k .Do đó đường thẳng (D) và parabol (P) luôn có điểm chung b) (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 (k + 1)2 = 0 k = - 1 ,Khi đó phương trình (1) có nghiệm là x = = = 1 (Đây chính là hoành độ giao điểm của (D) và (P) ).Tung độ giao điểm là: y = 0 Vậy toạ độ tiếp điểm là : (1 ;0 ) Bài 11: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P) đi qua điểm A(-2;4) và tiếp xúc với đường thẳng (D) của hàm số : y = (m-1)x – (m – 1) Tìm a , m và toạ độ tiếp điểm. Vẽ đồ thị (P) và (D) với a , m tìm được trên cùng hệ trục toạ độ. Giải: Đồ thị (P) đi qua điểm A(-2; 4) nên ta có : 4 = a.(-2)2 => a = 1 => (P) : y = x2 Đề (P) tiếp xúc với (D) thì phương trình : (m -1)x – (m -1) = x2 có nghiệm kép x2 – (m -1)x + (m-1) = 0 có nghiệm kép = 0 (m -1)2 – 4(m-1) = 0 (m -1)(m-1- 4) = 0 (m – 1)(m – 5) = 0 *)Với m = 1 => x = = = 0 (đây là hoành độ tiếp điểm) , tung độ tiếp điểm là: y = 0.Vậy toạ độ tiếp điểm thứ là : (0 ; 0 ) Chính là gốc toạ độ. Khi đó đường thẳng (D) trùng với trục hoành Ox *) Với m = 5 => x = = = 2 (là hoành độ tiếp điểm ) ,tung độ tiếp điểm là: y = 4 . Vậy toạ độ tiếp điểm thứ 2 là : ( 2 ; 4) b) Ta vẽ đồ thị hàm số : y = x2 . Khi m = 1 đường thẳng (D) trùng với trục hoành Khi m = 5 đường thẳng (D) có phương trình là : y = 4x – 4 Có đồ thị như sau : Bài 12: Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (D) : y = 2x + m Vẽ P. Tìm m để (D) tiếp xúc với (P) (Hướng dẫn : xem bài 11) Bài 13: Trong cùng hệ trục toạ độ gọi (P) và (D) lần lượt là đồ thị hàm số : y = - và y = x + 1 a) Vẽ (P) và (D) b) Dùng đồ thị hàm số để giải phương trình : x2 + 4x + 4 = 0 c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (D) và cắt (P) tại điểm có tung độ là – 4 Giải: a) Vẽ (P) và (D): Phương trình : x2 + 4x + 4 = 0 (1) - x2 = 4x + 4 - = x + 1 Đặt y = - => y = x + 1 là hai đồ thị hàm số đã vẽ ở câu a) Do đó nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giáo điểm của 2 đồ thi trên. Dựa vào đồ thị ta có: Hai đồ thị tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là – 2 .Nên nghiệm của phương trình đã cho là x = -2 Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = ax + b Vì (d) // (D) => a = 1 Vì (d) cắt (P) tại điểm có tung độ bằng – 4 => hoành độ của đó là : x = 4 .Tức là đường thẳng (d) đi qua điểm ( 4; - 4 ) nên ta có : - 4 = 1. 4 + b => b = - 8.Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là: y = x – 8. Bài 14: Cho hàm số : y = x2 và y = x + m Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x2 và độ thị (D) của y = x + m có 2 giao điểm phân biệt A và B Tìm phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (D) tiếp xúc với (P) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai giao điểm theo toạ độ của 2 điểm ấy. Áp dụng : Tìm m sao cho khoảng cách giữa 2 điểm A và B ở câu a) là 3 Giải : Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : x2  = x + m x2 – x – m = 0 (1) (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt > 0 (-1)2 – 4.1.(-m) > 0 1 + 4m > 0 m > - Gọi phương trình đường thẳng (d) cần tìm : y = ax + b Vì (d ) (D) => a.1 = -1 => a = -1 => y = -x + b Phương trình hoành độ giáo điểm của (d) và (P) là : x2 = - x + b x2 + x - b = 0 (2) Phương trình (2) có : = 1 + 4b (d) tiếp xúc (P) phương trình (2) có nghiệm kép = 1 + 4b = 0 => b = - Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là : y = - x - Giả sử A(xA; yA) và B(xB; yB) (Hình vẽ) Khoảng cách giữa hai điểm xA , xB trên trục Ox bằng .Khoảng cách giữa hai điểm yA , yB trên trục Oy bằng Trong tam giác vuông ABC ta có : AB2 = AC2 + BC2 = ( xB – xA)2 + (yB – yA )2 => AB = Theo câu a) ta có : Với m > - phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là: x1 = ; x2 = Với x1 = => y1 = x2 = => y2 = Gọi A( ; ) và B( ; ) Áp dụng công thức trên ta có : AB = = = = AB = 3 = 3 2+ 8m = 18 m = 2 Trả lời : m = 2 là giá trị cần tìm Bài 15 : Trong cùng hệ trục toạ độ , gọi (P) là đồ thị hàm số : y = x2 , (D) là đồ thị hàm số :y = x + 2 a) Vẽ (D) và (P) b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (D) bằng đồ thị và bằng phép toán Giải: a)Vẽ (D) và (P) b) Dựa vào đồ thị ta có đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại hai điểm M(-2 ; 1) và N(4 ; 4) Kiểm tra bằng phép tính : Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : x2 = x + 2 x2 – 2x – 8 = 0 (1) Có : = 1 + 8 = 9 => = 3 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt : x1 = 1 – 3 = - 2 ; x2 = 1 + 3 = 4 Do đó đường thẳng (D) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt ,có hoành độ giao điểm lần lượt là -2 , 4 Với x1 = - 2 => y1 = (-2)2 = 1 => M(-2 ; 1) Với x2 = 4 => y2 = . 42 = 4 => N( 4 ; 4) Bài 16: Cho parabol (P) : y = - và điểm M (1 ; -2) Viết phương trình đường thẳng (D) qua M và có hệ số góc là m Chứng minh rằng (D) luôn luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi Giải : Phương trình đường thẳng (D) cần tìm có dạng: y = mx + b Vì (D) đi qua M(1 ; -2) => -2 = m.1 + b => b = - m – 2 Vậy phương trình đường thẳng (D) cần tìm là : y = mx – m – 2 b)Ta có phương trình hoành độ giáo điểm của (D) và (P) là : - = mx – m – 2 x2 + 4mx – 4m – 8 = 0 (1) Phương trình (1) có: = 4m2 + 4m + 8 = 4m2 + 4m + 1 + 7 = (2m + 1)2 + 7 > 0 với mọi m Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m Do đó đường thẳng (D) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m thay đổi. Bài 17 : Trong cùng hệ trục toạ độ vuông góc cho parabol (P) : y = - x2 và đường thẳng (D) : y = mx – 2m – 1 Vẽ (P) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P) Giải : Tự vẽ Phương trình hoành độ giao điểm của (D) và (P) là : - x2 = mx – 2m – 1 x2 + 4mx – 8m – 4 = 0 (1) (D) tiếp xúc với (P) phương trình (1) có nghiệm kép = 0 4m2 + 8m + 4 = 0 (2m + 2)2 = 0 2m + 2 = 0 m = -1 Vậy m = -1 thì (D) tiếp xúc với (P) Gọi A(x0 ; y0 ) là điểm cố định mà đường thẳng (D) luôn đi qua Khi đó phương trình : y0 = mx0 - 2m – 1 có nghiệm với mọi m (x0 – 2)m – (y0 + 1) = 0 có nghiệm với mọi m Suy ra điểm A( 2 ; -1).Thay x = 2 vào phương trình của (P) ta có y = - . 22 = - 1 Nên điểm A(2 ; -1) thuộc (P).Vậy đường thẳng (D) luôn đi qua điểm A( 2 ; -1) cố định thuộc (P) Bài 18 : Trên cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (D) : y = x – 1 Vẽ (P) và (D) Chứng tỏ (bằng phép toán ) (P) và (D) tiếp xúc nhau tại 1 điểm ,xác định toạ độ điểm này. Bài 20 : Trong cùng hệ trục toạ độ cho parabol (P) : y = và đường thẳng (D) đi qua điểm I( ; -1) có hệ số góc m Vẽ (P) và viết phương trình của (D) Tìm M sao cho (D) tiếp xúc với (P) Tìm m sao cho (D) và (P) có 2 điểm chung phân biệt Bài 21 : Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng y = x + 3 Xác định toạ độ giao điểm A, B của parabol và đường thẳng Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của parabol sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất Bài 22 : Cho hàm số : y = x2  (P) Vẽ đồ thị hàm số trên Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) : y = (m- 4)x + m + 1 cắt đồ thị hàm số trên tại điểm A có hoành độ bằng 2 .Rồi tìm toạ độ thứ 2 khác A Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) và parsbol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. Gọi y1 ; y2 là tung độ giao điểm của 2 đồ thị (d) và (P) . Tìm m để y1 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Giải a) b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2  = (m- 4)x + m + 1 x2 – 2 (m – 4)x – 2m – 2 = 0 (*) Vì đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 2 nên là nghiệm của phương trình (*) => 4- 2(m -4).2 – 2m – 2 = 0 4 – 4m +16 – 2m – 2 = 0 - 6m + 18 = 0 m = 3 Vậy với m= 3 thì đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ bằng 2 Hoành độ giao điểm thứ 2 khác A là nghiệm thứ 2 của phương trình (*) Theo Vi-et : x1.x2 = = -2m – 2 = -2.3 – 2 = -8. Mà x1= 2 => 2.x2 = - 8 => x2= - 4 Tung độ của điểm thứ hai là : y = .(-4)2 = 8 Vậy toạ độ giao điểm thứ hai khác A là (- 4 ; 8) Phương trình (*) có : = (m – 4)2 + 2m + 2 = m2 – 6m + 18 = (m – 3)2 +9 > 0 với mọi m Suy ra điều phải chứng minh Gọi x1 , x2 lần lượt là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị (d) và (P) tương ứng với tung độ y1 ; y2 y1 = (m -4)x1 + m + 1 y2 = ( m- 4)x2 + m + 1 => y1 + y2 = ( m -4) (x1 + x2) + 2 m + 2 = (m – 4). 2(m – 4) + 2m + 2 = 2m2 – 14m + 34 = 2(m2 – 7m + 17) = 2( m2  - 2.m + + ) = 2(m -)2 + Suy ra : Min (y1 + y2 ) = khi m = Bài 23 :Cho đường thẳng (d) : y = 4x + m và parabol (P) : y = 2x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm A , B và cắt trục tung Oy tại M . Sao cho MA = 3MB Giải : Xét phương trình : 2x2 = 4x + m 2x2 – 4x – m = 0 (1) (d) cắt (P) tại 2 điểm A và B phương trình (1) có 2 nghiệm = 4 + 2m 0 m -2 Hai giao điểm là : A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2) (ở đó x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1) ) Theo Vi-et ta có : Theo giả thiết (d) trục Oy tại M sao cho MA = 3MB = 3. Với x2 = 3x1 => x1 + 3x1 = 2 => x1 = => x2 = => x1x2 = . = => m = - (Không thoả mãn điều kiện m -2 ) Với x2 = - 3x1 => x1 – 3x1 = 2 => x1 = - 1 => x2 = 3 => = x1.x2 = (-1) . 3 = -3 => m = 6 (Thoả mãn điều kiện m -2 ) Vậy m = 6 là giá trị cần tìm ChØ cã sù nç lùc cña chÝnh b¹n míi ®em l¹i thµnh c«ng