Bài tập vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chủ đề 8: Toán thực tế

m2 D. m2 Hướng dẫn giải Diện tích mặt cỏ ăn chung sẽ lớn nhất khi 2 sợi dây được kéo căng và là phần giao của 2 đường tròn. Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ, gọi là vị trí của cọc. Bài toán đưa về tìm diện tích phần được tô màu. Ta có phương trình đường tròn tâm và phương trình đường tròn tâm Phương trình các đường cong của đường tròn nằm phía trên trục là: và Phương trình hoành độ giao điểm: Diện tích phần được tô màu là: . Ta có thể giải tích phân này bằng phép thế lượng giác, tuy nhiên để tiết kiệm thời gian nên bấm máy. Chọn C. Bên trong một căn nhà bỏ hoang hình lập phương thể tích 1000 m3 có 3 chú nhện con rất hay cãi vã nên phải sống riêng. Mùa đông đến, vì đói rét nên chúng đành quyết định hợp tác với nhau giăng lưới để bắt mồi. Ba chú nhện tính toán sẽ giăng một mảnh lưới hình tam giác theo cách sau: Mỗi chú nhện sẽ đứng ở mép tường bất kì (có thể mép giữa 2 bức tường, giữa tường với trần, hoặc giữa tường với nền) rồi phóng những sợi tơ làm khung đến vị trí cũng 2 con nhện còn lại rồi sau đó mới phóng tơ dính đan phần lưới bên trong. Nhưng vì vốn đã có hiềm khích từ lâu, nên trước khi bắt đầu, chúng quy định để tránh xô xát, không có bất kì 2 con nhện nào cùng nằm trên một mặt tường, nền hoặc trần nhà. Tính chu vi nhỏ nhất của mảnh lưới được giăng (biết các sợi tơ khung căng và không nhùn). A. mét B. mét C. mét D. mét Hướng dẫn giải Bài toán này ta sẽ giải quyết bằng cách ứng dụng phương pháp tọa độ trong không gian. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Không mất tính tổng quát, và dựa vào yêu cầu về vị trí 3 con nhện ta xác định là các điểm nằm trên các cạnh như hình vẽ. Yêu cầu bài toán là cần tìm tọa độ của 3 điểm để chu vi tam giác nhỏ nhất. Đặt . Chu vi tam giác là: Áp dụng bất đẳng thức vecto : Dấu bằng xảy ra khi Vậy giá trị cần tìm là . Chọn A. Một ngôi nhà có nền dạng tam giác đều cạnh dài được đặt song song và cách mặt đất . Nhà có 3 trụ tại vuông góc với . Trên trụ người ta lấy hai điểm sao cho và góc giữa và bằng để là mái và phần chứa đồ bên dưới. Xác định chiều cao thấp nhất của ngôi nhà. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Đáp án B Để nhà có chiều cao thấp nhất ta phải chọn nằm trên mặt đất. Chiều cao của nhà là . Gọi là trung điểm của . Ta có đều , vì , từ đó suy ra vuông tại nhận là đường cao nên Theo bất đẳng thức Côsi: Do đó chiều cao thấp nhất của nhà là (NHO QUAN A) Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi diểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất. A. km B. km C. D. Hướng dẫn giải Trước tiên, ta xây dựng hàm số là hàm số tính tổng chi phí sử dụng. Đặt thì ta được: . Theo đề bài, mỗi km dây điện đặt dưới nước mất 5000USD, còn đặt dưới đất mất 3000USD, như vậy ta có hàm số được xác định như sau: với Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của để có được số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định được vị trí điểm S. Hàm số liên tục trên đoạn Ta có: Vậy giá trị nhỏ nhất của là 16000 và tại Khi đó chi phí là thấp nhất và điểm S nằm cách A một đoạn Vậy đáp án là B. (THTT SỐ 673) Có hai chiếc cọc cao và lần lượt đặt tại hai vị trí Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng . Người ta chọn một cái chốt ở vị trí trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giang dây nối đến hai đỉnh và của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào đề tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Đặt . Ta có .Suy ra tổng độ dài hai sợi dây là : Khảo sát hàm ta được: . Chọn A. (HÀ NỘI – AMSTERDAM) Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: A. 569,5 m B. 671,4 m C. 779,8 m D. 741,2 m Hướng dẫn giải Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B. dễ dàng tính được Ta đặt khi đó ta được: Như vậy ta có hàm số được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB: với Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M. Hàm số liên tục trên đoạn . So sánh các giá trị của , , ta có giá trị nhỏ nhất là Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m. Vậy đáp án là C. Anh Thái gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0,6%/tháng. Sau mỗi tháng, chú Tư đến ngân hàng rút mỗi tháng 3 triệu đồng để chi tiêu cho đến khi hết tiền thì thôi. Sau một số tròn tháng thì chú Tư rút hết tiền cả gốc lẫn lãi. Biết trong suốt thời gian đó, ngoài số tiền rút mỗi tháng chú Tư không rút thêm một đồng nào kể cả gốc lẫn lãi và lãi suất không đổi. Vậy tháng cuối cùng chú Tư sẽ rút được số tiền là bao nhiêu (làm tròn đến đồng)? A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Áp dụng công thức tính số tiền còn lại sau tháng Với triệu đồng, và triệu đồng ta được . Để rút hết số tiền thì ta tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho Khi đó số tiền tháng cuối cùng mà Anh Thái rút là triệu đồng đồng [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập lên màn hình máy tính , tính giá trị chạy từ 10 đến 20 với step bằng 1 ta được bằng giá trị tương ứng và số tiền còn lại nhơ hơn 3 ứng với . Từ đó tính được số tiền rút ra ở tháng cuối cùng là triệu đồng đồng Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau quảng cáo được phát thì số người xem mua sản phẩm là . Hãy tính số quảng cáo được phát tối thiểu để số người mua đạt hơn . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Khi có quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: Khi có quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: Khi có quảng cáo phát ra thì tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: Đáp án: A. (CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3) Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol). A. . B. . C. D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có Gọi là Parabol đi qua hai điểm Nên ta có hệ phương trình sau: Gọi là Parabol đi qua hai điểm Nên ta có hệ phương trình sau: Ta có thể tích của bê tông là: (NGUYỄN TRÃI – HD) Có một cái cốc làm bằng giấy, được úp ngược như hình vẽ. Chiều cao của chiếc cốc là , bán kính đáy cốc là , bán kính miệng cốc là . Một con kiến đang đứng ở điểm của miệng cốc dự định sẽ bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc ở điểm . Quãng đường ngắn nhất để con kiến có thể thực hiện được dự định của mình gần đúng nhất với kết quả nào dước đây? A. B. C. D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Đặt lần lượt là bán kính đáy cốc, miệng cốc và chiều cao của cốc, a là góc kí hiệu như trên hình vẽ. Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng sẽ được một hình quạt của một khuyên với cung nhỏ và cung lớn . Độ dài ngắn nhất của đường đi của con kiến là độ dài đoạn thẳng BA”. Áp dụng định lí hàm số cosin ta được: . Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm được Ghi chú. Để tồn tại lời giải trên thì đoạn BA” phải không cắt cung tại điểm nào khác B, tức là BA” nằm dưới tiếp tuyến của tại B. Điều này tương đương với Tuy nhiên, trong lời giải của thí sinh không yêu cầu phải trình bày điều kiện này (và đề bài cũng đã cho thỏa mãn yêu cầu đó). (NGÔ QUYỀN – HP) Một cơ sở sản xuất khăn mặt đang bán mỗi chiếc khăn với giá đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá đồng mà cứ tăng giá thêm đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là . Hỏi cơ sở sản xuất phải bán với giá mới là bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất. A. đồng. B. đồng. C. đồng. D. đồng. Hướng dẫn giải Chọn D. Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là (nghìn đồng). Vì cứ tăng giá thêm (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm chiếc nên tăng (nghìn đồng) thì số xe khăn bán ra giảm chiếc. Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: chiếc. Lúc đầu bán với giá (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi (nghìn đồng). Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: (nghìn đồng). Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là: (nghìn đồng). Xét hàm số trên . Ta có: . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi . Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là đồng. (CHUYÊN VINH – L2) Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính là nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên. Theo OECD (Tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế thế giới), khi nhiệt độ trái đất tăng lên thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm. Người ta ước tính rằng khi nhiệt độ trái đất tăng thêm thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 3%, còn khi nhiệt độ trái đất tăng thêm thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm . Biết rằng nếu nhiệt độ trái đất tăng thêm , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm % thì (trong đó là các hằng số dương). Nhiệt độ trái đất tăng thêm bao nhiêu độ C thì tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm ? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Theo đề bài ta có: . Cần tìm thỏa mãn . Từ và . Khi đó . (CHUYÊN VINH – L2) Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau. Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nữa hình cầu chứa cát). Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có thể tích của khối trụ là . Đường kính hình cầu là , suy ra thể tích của hai nửa khối cầu là Vậy lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ gần nhất với giá trị