Bài tập vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chủ đề 2: Lũy thừa – mũ – logarit

trị của biểu thức bằng A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D. BÌNH LUẬN Sử dụng công thức , , (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Cho hai số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức . A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có . Suy ra . Khi đó . Vậykhi .  (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất cả các giá trị của để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt. A. . B. . C. . D. . Chọn D. PT . Đặt . Khi đó PT (1). Ta có . Suy ra bảng biến thiên: PT đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt (1) có đúng 1 nghiệm . BÌNH LUẬN Trong bài này các em cần lưu ý tìm điều kiện đúng cho và mối quan hệ số nghiệm giữa biến cũ và biến mới, tức là mỗi cho ta hai giá trị . (CHUYÊN ĐHSP HN) Số nghiệm thực phân biệt của phương trình là A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Chọn D. Điều kiện - Nếu , dấu bằng xẩy ra khi và , dấu bằng xẩy ra khi suy ra - Nếu , dấu bằng xẩy ra khi và , dấu bằng xẩy ra khi Suy ra Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. BÌNH LUẬN Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương , dấu “=” xảy ra khi (CHUYÊN ĐH VINH) Số nghiệm của phương trình là A. B. C. D. þĐáp án: B. ĐK: . Đặt . Đặt Xét Ta thấy là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm là duy nhất. Với , phương trình này vô nghiệm. Xét Ta thấy là 1 nghiệm, dùng phương pháp hàm số hoặc dùng BĐT để chứng minh nghiệm là duy nhất. Với , phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa . BÌNH LUẬN Cho nếu đối nghịch nhau nghiêm ngặt hoặc và tăng, giảm nghiêm ngặt thì (1) có nghiệm duy nhất. (CHUYÊN THÁI BÌNH) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: . A.. B. C. D.. Chọn C. Yêu cầu bài toán có 2 nghiệm phân biệt Cách 1: Dùng định lí về dấu tam thức bậc hai. Để thỏa yêu cầu bài toán ta phải có phương trình có hai nghiệm thỏa: . Cách 2: Với điều kiện có nghiệm, tìm các nghiệm của phương trình rồi so sánh trực tiếp các nghiệm với và . Cách 3: Dùng đồ thị Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt trong khoảng khi và chỉ khi đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt có hoành độ . Cách 4: Dùng đạo hàm Xét hàm số Có Ta có bảng biến thiên – Dựa vào bảng biến thiên, để có hai nghiệm phân biệt trong khoảng khi . Cách 5: Dùng MTCT Sau khi đưa về phương trình , ta nhập phương trình vào máy tính. * Giải khi : không thỏaloại A, D. * Giải khi : không thỏa loại B. Tập tất cả các giá trị của để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt là: A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D Ta có Xét hàm số Vìhàm số đồng biến trên Khi đó Phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt nếu xảy ra các trường hợp sau: +) PT có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT , thay vào PT thỏa mãn +) PT có nghiệm kép khác hai nghiệm phân biệt của PT , thay vào PT thỏa mãn +) PT có hai nghiệm phân biệt và PT có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm của hai PT trùng nhau ,với Thay vào PT tìm được KL: BÌNH LUẬN B1: Đưa phương trình về dạng với là hai hàm theo . B2: Xét hàm số B3: Dùng đạo hàm chứng minh hàm số tăng hoặc giảm nghiêm ngặt trên D. B4: (QUẢNG XƯƠNG I) Tất cả các giá trị của để bất phương trình có nghiệm đúng là: A.. B.. C.. D.. Chọn đáp án B Đặt . Do . Khi đó ta có : Xét hàm số BBT + Do đó thỏa mãn yêu cầu bài toán BÌNH LUẬN Sử dụng (QUẢNG XƯƠNG I) Trong các nghiệm thỏa mãn bất phương trình . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng: A.. B.. C.. D.9. Chọn đáp án B Bất PT . Xét T= TH1: (x; y) thỏa mãn (II) khi đó TH2: (x; y) thỏa mãn (I) . Khi đó Suy ra : BÌNH LUẬN - Sử dụng tính chất của hàm số logarit đồng biến nếu nghịch biến nếu Sử dụng bất đẳng thức BCS cho hai bộ số thì Dấu “=” xảy ra khi (MINH HỌA L2) Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực để phương trình có nghiệm thuộc khoảng . A. . B. . C. . D. . Chọn C. Ta có: Xét hàm số xác định trên , có nên hàm số đồng biến trên Suy ra vì Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng khi . ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Tìm để bất phương trình thoã mãn với mọi . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. BPT thoã mãn với mọi .ÛÛÛÛÛ. BÌNH LUẬN Sử dụng dấu tam thức bậc hai không đổi trên R : ( CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 3)Cho hàm số . Tìm để hàm số đồng biến trên khoảng . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. ·= ·Hàm số đồng biến trên khoảng Û (*), mà . Nên (*) ÛÛ ·Đặt , . Vậy (*) xảy ra khi Û. BÌNH LUẬN Sử dụng và phương pháp hàm số như các bài trên. (CHUYÊN BẮC GIANG) Trong hình vẽ dưới đây có đồ thị của các hàm số, , . . Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B. Từ đồ thị Ta thấy hàm số nghịch biến . Hàm số đồng biến nên loại A, C Nếu thì đồ thị hàm số và phải đối xứng nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất . Nhưng ta thấy đồ thị hàm số cắt đường nên loại D. (CHUYÊN BẮC GIANG) Biết rằng phương trình có hai nghiệm , . Tính . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện . Phương trình thành hay . Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế ta được . Suy ra và Vậy . (CHUYÊN KHTN L4) Cho là số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Từ . Ta xét: Nếu thì mâu thuẫn. Nếu thì . Vậy . Ta có xét trên . Có Vậy . (CHUYÊN KHTN L4) Tìm tập hợp tất cả các tham số sao cho phương trình có bốn nghiệm phân biệt. A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Đặt Phương trình có dạng: Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 Chọn đáp án: D BÌNH LUẬN Trong bài này do đề bài yêu cầu phương trình có 4 nghiệm phân biệt nên ta cần chú ý mỗi thì ta nhận được bao nhiêu giá trị Từ phương trình (*) chúng ta có thể cô lập và ứng dụng hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình thỏa đề bài. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trìnhcó nghiệm với mọi ? A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải BPT Đặt do BPT Với vớinên hàm đồng biến trên Nên Do đó để để bất phương trình có nghiệm với mọi thì : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có nghiệm thuộc  ? A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Điều kiện: Khi đó phương trình tương đương: . Đặt với hay Phương trình có dạng . Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm để phương trình (*) có nghiệm ” Với thì Ta có Với hay suy ra Vậy phương trình có nghiệm với BÌNH LUẬN Chúng ta có thể dùng hàm số để tìm max, min của hàm số Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để bất phương trình A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Bất phương trình tương đương : (2) không thỏa : (3) không thỏa (1) thỏa Tìm tất cả các giá trị thực của tham số sao cho khoảng thuộc tập nghiệm của bất phương trình . A.. B.. C.. D.. Hướng dẫn giải Hệ trên thỏa mãn Phương trình có hai nghiệm trong đó , hãy chọn phát biểu đúng? A. . B. . C. D. Hướng dẫn giải Logarit hóa hai vế của phương trình (theo cơ số 2) ta được: Phương trình có tổng các nghiệm là ? A. 0. B. 2. C. 3. D. 4 . Hướng dẫn giải Đặt Khi đó: Với Đặt . Khi đó: Với Với Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm không âm ? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Xét hàm số , ta có :. . Do đó hàm số đồng biến trên . Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là BÌNH LUẬN Có thể đặt sau đó tính delta theo Gọi là hai nghiệm của phương trình . Khi đó, tổng hai nghiệm bằng? A. B. C. D. Hướng dẫn giải Đặt , phương trình trên tương đương với (vì ). Từ đó suy ra Vậy tổng hai nghiệm bằng . Với giá trị của tham số thì phương trình có hai nghiệm trái dấu? A. B. Không tồn tại . C. . D. . Hướng dẫn giải Đặt . Phương trình đã cho trở thành: Yêu cầu bài toán có hai nghiệm thỏa mãn BÌNH LUẬN Tìm mối quan hệ nghiệm giữa biến cũ và mới, do nên thì phương trình có hai nghiệm trái dấu. Với giá trị nào của tham số thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn ? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Ta có: Phương trình là phương trình bậc hai ẩn có: . Phương trình có nghiệm Áp dụng định lý Vi-ét ta có: Do đó . Thử lại ta được thỏa mãn.Chọn A. BÌNH LUẬN Do phương trình là phương trình bậc hai ẩn có thể có nghiệm (vô lí) nên khi giải ra tham số thì phải thử lại. (CHUYÊN VINH – L2)Tìm tất cả các giá trị của tham số để hàm số xác định trên khoảng . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn A. Đặt , khi đó . trở thành . Hàm số xác định trên khoảng khi và chỉ khi hàm số xác định trên vô nghiệm . (CHUYÊN VINH – L2)Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt. A. . B. . C. Không tồn tại . D. . Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện: Xét hàm số Bảng biến thiên 0 + + Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (TIÊN LÃNG – HP)Cho bốn hàm số , , , có đồ thị là đường cong theo phía trên đồ thị, thứ tự từ trái qua phải là như hình vẽ bên. Tương ứng hàm số - đồ thị đúng là A. . B. C. . D. Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có và có cơ số lớn hơn 1 nên hàm đồng biến nên nhận đồ thị là hoặc . Lấy ta có nên đồ thị là và đồ thị là . Ta có đồ thị hàm số và đối xứng nhau qua nên đồ thị là . Còn lại là đồ thị của . Vậy ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho phương trình ( là tham số ). Tìm để phương trình có hai nghiệm , thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có: Đk: Đặt . Khi đó phương trình Phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn (Với và ) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình Ta có Vậy là mệnh đề đúng. (CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH – L2) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt? A. . B. . C. . D. Không tồn tại Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng . Ta thấy luôn đi qua điểm cố định nên +Nếu : phương trình có nghiệm duy nhất + Nếu : là hàm nghịch biến nên có đồ thị cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất. + Nếu :Để thỏa mãn ycbt thì đường thẳng phải khác tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm , tức là . Vậy