Bài tập luyện thi olympic toán học toàn miền nam lần thứ XVIII

tổng như thế. Các tổng này nhận giá trị từ 2 đến 400. Nếu các tổng trên nhận đủ 399 giá trị từ 2 đến 400 thì 1 1 1a b  và 19 21 200a b  , như thế ta có điều phải chứng minh. Nếu các tổng trên không nhận đủ 399 từ 2 đến 400 thì có hai tổng bằng nhau và ta cũng có điều phải chứng minh. 7. Cho tập  1, 2,3,..., 200X  . Chứng minh rằng với mọi tập con A của X có số phần tử bằng 101 luôn tồn tại hai phần tử mà phần tử này là bội của phần tử kia. HD: Giả sử  1 2 101, ,...,A a a a . Viết các số ia dưới dạng: 2 .ii ia b , trong đó ib là số lẻ. Xét các số lẻ 1 2 101, ,...,b b b X và trong X chỉ có 100 số lẻ nên  i jb jb i  . Trong hai số ,i ja a có một số là bội số kia. 8. Cho tập  1, 2,3,...,81X  . Chứng minh rằng trong 3 phần tử tùy ý của X luôn có hai phần tử ,a b sao cho : 4 40 1a b   . HD: Xét 3 phần tử 1 2 3, ,x x x X . Đặt 4 , 1, 2,3i ic x i  ta có: 1 3ic  . Chia khoảng  1;3 thành hai khoảng  1;2 và  2;3 . Theo nguyên lý Dirichlet thì ba trong số 1 2 3, ,c c c có hai số cùng thuộc một MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 3 trong hai khoảng nói trên. Giả sử hai số đó là: 4x a và 4y b thì ,a b là hai số thỏa mãn yêu cầu bài toán. 9. Cho tập  1, 2,...,16A  . Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt ,a b mà 2 2a b là một số nguyên tố. HD: - Nếu ,a b chẵn thì 2 2a b là hợp số. Do đó nếu tập con X của A có hai phần tử phân biệt ,a b mà 2 2a b là một số nguyên tố thì X không thể chỉ chứa các số chẵn. Suy ra: 9k  . Ta chứng tỏ 9k  là giá trị nhỏ nhất cần tìm. Điều đó có ý nghĩa là với mọi tập con X gồm 9 phần tử bất kỳ của A luôn tồn tại hai phần tử phân biệt ,a b mà 2 2a b là một số nguyên tố. Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập A thành các cặp hai phần tử phân biệt ,a b mà 2 2a b là một số nguyên tố, ta có tất cả 8 cặp:                1;4 , 2;3 , 5;8 , 6;11 , 7;10 , 9;16 , 12;13 , 14;15 . Theo nguyên lý Dirichlet thì 9 phần tử của X có hai phần tử cùng thuộc một cặp và ta có điều phải chứng minh. 10. Cho các số thực  , 1, 2,..., 2009i ia b i  thỏa mãn: 2 2 1 1, 2,..., 2009i ia b i    . Chứng minh rằng tồn tại cặp chỉ số  ,p q với 2 01 0 9p q   sao cho   2 2 1 2. 1004p q p q a a b b    . HD: Viết các số ,i ia b dưới dạng:   , sin 0 2os ;i i i i ia bc      . Ta có:  osp q p q p qa q b b c     . Chia khoảng  0;2 thành 2008 khoảng, mỗi khoảng có độ dài 1004 d  :   2 20070;2 0; ; ... ; 2 1004 1004 1004 1004                        . Theo nguyên lý Dirichle thì có hai số ,p q  cùng thuộc một khoảng. Ta có: 0 1004p q     . Suy ra:    2 2 os os 1 1004 2. 1004pp q p q q a a b b c c        . MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 4 II. BÀI TẬP VỀ NGUYÊN TẮC CỰC HẠN 1. Trên bảng có 2012 câu khẳng định: Câu 1: Trên bảng có ít nhất một câu khẳng định sai. Câu 2: Trên bảng có ít nhất 2 câu khẳng định sai. ............................................................................. Câu 2012: Trên bảng có ít nhất 2012 câu khẳng định sai. Hỏi những câu nào đúng? HD: Gọi A là tập hợp các chỉ số k sao cho câu khẳng định thứ k là câu đúng. Vì câu thứ 2012 không thể là câu đúng nên câu 1 là câu đúng, do đó A   . Vì A có hữu hạn phần tử nên tồn tại một phần tử k lớn nhất. Do k A nên 1, 2,..., 1k A  . Do k là phần tử lớn nhất của A nên 1,.., 2012 Ak   .Suy ra: A k . Gọi B là tập hợp các chỉ số k sao cho câu khẳng định thứ k là câu sai. . Do khẳng định thứ k là câu đúng nên B k . Do câu khẳng định thứ 1k  sai nên B k . Suy ra: B k . Mặt khác. 2012A B  nên 1006k  . Vậy các câu khẳng định đúng là 1, 2,...,1006 . 2. Sau một giải bóng bàn theo thể thức đấu vòng tròn, mỗi đấu thủ được gọi tên những người thua mình và những người thua những người thua mình. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đấu thủ được gọi tên các đấu thủ còn lại. HD: Xét đấu thủ A được gọi tên nhiều đấu thủ khác nhất. Ta chứng minh A được gọi tên các đấu thủ. Giả sử trái lại, A được gọi tên 1 2, ,..., nA A A và tồn tại B mà A không gọi tên. Khi đó B được gọi tên 1 2, , ,..., nA A A A : trái với cách chọn .A 3. Có 2012 điểm trên mặt phẳng sao cho các tam giác bất kỳ có 3 đỉnh là 3 trong số 2012 điểm đã cho đều có diện tích không vượt quá 1 ( đơn vị diện tích). Chứng minh rằng có thể đặt 2012 điểm đã cho trong một tam giác có diện tích không vượt quá 4 ( đơn vị diện tích). HD: Vì số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 2012 điểm đã cho là hữu hạn nên tồn tại một tam giác T có diện tích lớn nhất. Giả sử 3 đỉnh của T là X, Y, Z. Xét tam giác ABC sao cho X, Y, Z tương tứng là các trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Ta có 4 4ABC XYZS S   . Ta sẽ chứng minh 2012 điểm đã cho nằm trong tam giác ABC? MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 5 Thật vậy, tồn tại điểm M nằm trong 2012 điểm đã cho nằm ngoài tam giác ABC. Không mất tính tổng quát có thể giả sử M nằm khác phía A đối với BC. Khi đó: MYZ XYZS S  ( vô lý). 4. Một tập M gồm những điểm nằm trên một đường thẳng sao cho: mỗi điểm đều là trung điểm của một đoạn thẳng nối hai điểm nào đó trong số còn lại. Chứng minh rằng M có vô hạn điểm. HD: Giả sử M có hữu hạn điểm. Khi đó tồn tại hai điểm A, B sao cho khoảng cách AB lớn nhất. Theo giả thiết A phải là trung điểm của một đoạn thẳng CD nào đó. Giả sử D nằm khác phía với B so với A. Khi đó BD AB : trái với cách chọn hai điểm A và B. 5. Trên mặt phẳng tọa độ có 3 điểm nguyên nằm trên một đường tròn bán kính r . Chứng minh rằng tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa đúng không nhỏ hơn 3 r . HD: Giả sử ba điểm đã cho là , ,A B C và a là độ dài cạnh lớn nhất của ABC . Ta có: 4abc rS . Hơn nữa dễ thấy 2S  nên 1 2 S  . Suy ra: 3 32 2abc r a r r a r      . 6. Cho ,a b là các số nguyên dương và b a . Biết rằng tồn tại cặp số nguyên dương  ;u v sao cho 2 2u v auv b   . Chứng minh rằng b là số chính phương. HD: Chọn cặp  ;u v sao cho u v nhỏ nhất. Giả sử : u v . Xem 2 2u v auv b   là PT bậc 2 đối với u và gọi u là nghiệm thứ hai. Vì u u av   nên u . Vì  2 2 1u v a u v    nên 0u  . - Nếu 0u  thì 2b v là số chính phương. - Nếu 0u  thì 2uu v b   ta suy ra u v u   . Suy ra: u v u v    vô lý. 7. Cho n là số nguyên dương và 2n  . Chứng minh rằng tổng sau không thể là số nguyên: 1 1 1... 2 3 S n     . HD: Xét tập  : 2xA nx   . Vì A bị chặn trên nên A có phần tử lớn nhất. Giả sử axAM M . Gọi a là tích của các số lẻ không vượt quá n . Xét 12Mb a . Ta có b là bội của tất cả các phần tử của tập hợp    2;3;4;...; 2\ Mn . Do đó . ... ... 2 3 2M b b b bb S n        . Vậy S  . MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 6 8. Cho ,x y là các số nguyên sao cho 2 2 6x yA xy    là một số nguyên. Chứng minh rằng A là một lập phương đúng. HD: Giả sử , 0x y  . Cố định A , chọn cặp ,x y sao cho x y nhỏ nhất và x y . Coi 2 2 6 0x y Axy    là phương trình bậc hai đối với x và gọi x là nghiệm còn lại. Ta có: x x Ay   , 2 6x x y   nên x và 0x  . Do cách chọn các cặp ,x y nên xx  và 22 6x y  . Suy ra  2 2 0;1;2;3;4;5;6x y  . Nếu x y thì do A là số nguyên nên 2 6x hay 1x  . Khi đó 8A  là lập phương đúng. Nếu x y thì bằng cách giải trực tiếp phương trình nghiệm nguyên ta suy ra không tồn tại ,x y . 9. Cho ,n p là các số nguyên dương và 3n  . Tìm nghiệm dương của hệ phương trình sau: 1 2 3 2 3 4 1 1 1 2 .................. p p p n n p n x x x x x x x x x x x x                . HD: Giả sử 1 i in M Max x    , 1 i in m Min x    . Vì  1 2, ; ;...; nM m x x x nên ta có: 1 1,p pk k s sM x x m x x     . Do 1,k kx x M  và 1,s sx mx   nên 2 , 2 pp M mM m  . Do đó: 1 12, 2p pM m   . Do M m nên 1 2pM m   . Vậy 11 2 ... 2 p nx x x     . 10. Chứng minh rằng phương trình nghiệm nguyên 3 3 32 4x y z  không có nghiệm nào khác nghiệm 0x y z   . HD: Giả sử ngoài nghiệm 0x y z   , phương trình còn có nghiệm    ,, ,, 0 0 0x y z  . Trong các nghiệm như vậy, chọn ra được nghiệm  0 0 0, ,x y z có tổng 0 0 0x y z  nhỏ nhất. Vì  0 0 0, ,x y z là nghiệm của phương trình nên 3 3 30 0 02 4x y z  . Suy ra 0x chia hết cho 2. Đặt 0 12x x ta được: 3 3 3 1 0 04 2x y z  . Suy ra 0y chia hết cho 2. Đặt 0 12y y ta được: 3 3 3 1 1 02 4x y z  . MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 7 Suy ra 0z chia hết cho 2. Đặt 0 12z z ta được: 3 3 3 1 1 12 4x y z  . Suy ra  1 1 1, ,x y z cũng là nghiệm của phương trình đã cho. Hơn nữa    1 1 1 0, , 0, ,0x y z  và 1 1 1 0 0 0x y z x y z     trái với cách chọn  0 0 0, ,x y z . Vậy ngoài nghiệm    , , 0,0,0x y z  phương trình không còn nghiệm nguyên nào khác. MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com