50 bài ôn tập Hình học thi THPT - Phần II: Đường tròn

I C H M D F 1/ Cm:DBEF nt: Do ABCD nt trong (O) đường kính ACÞABC=ADC=1v (góc nt chắn nửa đường tròn)Þ FBE=EDF=1vÞđpcm. 2/ C/m DA.DF=DC.DE: Xét hai tam giác vuông DAC và DEF có: Do BF^AE và ED^AF nên C là trực tâm của DAEFÞGóc CAD=DEF(cùng phụ với góc DFE)Þđpcm. 3/ Cm:DIMF nt: Vì AC^BD(gt) ÞDIM=1v và I cũng là trung điểm của DB(đường kính vuông góc với dây DB)ÞDADB cân ở AÞ AEF cân ở A (Tự c/m yếu tố này)ÞĐường tròn ngoại tiếp DAEF có tâm nằm trên đường AM Þgóc AFM=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)ÞDIM+DFM=2vÞđpcm. 4/Bài 91: Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A.Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) tại B và C (khác A). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE(DỴ(O)); DB và CE kéo dài cắt nhau ở M. Cmr: ADEM nội tiếp. Cm: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. ADEM là hình gì? Chứng tỏ:MD.MB=ME.MC. 1/Cm:ADEM nt: Vì AEC=1v và ADB=1v(góc nt chắn nửa đtròn) ÞADM+AEM=2vÞđpcm. 2/C/m MA là tiếp tuyến của hai đường tròn; -Ta có sđADE=sđ cungAD=sđ DBA.Và ADE=AME(vì cùng chắn cung AE do tứ giác ADME nt)ÞABM=AMC. B O A O’ C E D Hình 91 554 M Tương tự ta có AMB=ACMÞHai tam giác ABM và ACM có hai cặp góc tương ứng bằng nhauÞCặp góc cònlại bằng nhau.Hay BAM=MAC.Ta lại có BAM+MAC=2vÞBAM=MAC=1v hay OA^AM tại điểm A nằm trên đtròn. 3/ADEM là hình gì? Vì BAM=1vÞABM+AMB=1v.Ta còn có MA là tt của đtrònÞDAM=MBA (cùng bằng nửa cung AD).Tương tự MAE=MCA.Mà theo cmt ta có ACM=AMB Nên DAM+MAE=ABM+ACM=ABM+AMB=1v.Vậy DAE=1v nên ADEM là hình chữ nhật. 4/Cm: MD.MB=ME.MC . Tam giác MAC vuông ở A có đường cao AE.Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:MA2=ME.MC.Tương tự trong tam giác vuông MAB có MA2=MD.MBÞđpcm. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 92: Cho hình vuông ABCD.Trên BC lấy điểm M. Từ C hạ CK^ với đường thẳng AM. Cm: ABKC nội tiếp. Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại N.Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường này cắt đường thẳng DK ở E. Cmr: BD.KN=BE.KA Cm: MN//DB. Cm: BMEN là hình vuông. Hình 92 554 A B N M E K D C 1/Cm: ABKC nội tiếp: Ta có ABC=1v (t/c hình vuông); AKC=1v(gt) Þ đpcm. 2/Cm: BD.KN=BE.KA.Xét hai tam giác vuông BDE và KAN có: Vì ABCD là hình vuông nên nội tiếp trong đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo.Góc AKC=1vÞA;K;C nằm trên đtròn đường kính AC.Vậy 5 điểm A;B;C;D;K cùng nằm trên một đường tròn.ÞGóc BDK=KDN (cùng chắn cung BK)ÞDBDE~DKANÞÞđpcm. 3/ Cm:MN//DB.Vì AK^CN và CB^AN ;AK cắt BC ở MÞM là trực tâm của tam giác ANCÞNM^AC.Mà DB^AC(tính chất hình vuông)ÞMN//DB. 4/Cm:BNEM là hình vuông: Vì MN//DBÞDBM=BMN(so le) mà DBM=45oÞBMN =45oÞDBNM là tam giác vuông cânÞBN=BM.Do BE^DB(gt)và BDM=45oÞMBE=45oÞDMBE là tam giác vuông cân và BM là phân giác của tam giác MBN;Ta dễ dàng c/m được MN là phân giác của góc BMNÞBMEN là hình thoi lại có goác B vuông nên BMEN là hình vuông. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB ở O. Gọi M là 1 điểm trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M. Kẻ NE; NF và NP lần lượt vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB ở Q. Cm: QPCB nội tiếp. Cm: AN//DB. Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng. Cm: DPEN là tam giác cân. F N I A Q E B P M O D C 1/C/m QPCB nội tiếp:Ta có:NPC=1v(gt) và QBC=1v(tính chất hình chữ nhật).Þđpcm. 2/Cm:AN//DB vì O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhậtÞO là trung điểm AC.Vì C và N đối xứng với nhau qua MÞM là trung điểm NC ÞOM là đường trung bình của DANCÞOM//AN hay AN//DB. 3/Cm:F;E;M thẳng hàng. Gọi I là giao điểm EF và AN.Dễ dàng chứng minh được AFNE là hình chữ nhậtÞDAIE và OAB là những tam gíc cânÞIAE=IEA và ABO=BAO.Vì AN//DBÞ IAE=ABO(so le)ÞIEA=EACÞEF//AC hay IE//ACu Vì I là trung điểm AN;M là trung điểm NCÞIM là đường trung bình của DANCÞMI//AC v.Từ uvà vTa có I;E;M thẳng hàng.Mà F;I;E thẳng hàng ÞF;F;M thẳng hàng. 4/C/mDPEN cân:Dễ dàng c/m được ANEP nội tiếpÞPNE=EAP(cùng chắn cung PE).Và PNE=EAN(cùng chắn cung EN).Theo chứng minh câu 3 ta có thể suy ra NAE=EAPÞENP=EPNÞDPEN cân ở E. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 94: Từ đỉnh A của hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạo với nhau 1 góc bằng 45o. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q. Cm:E; P; Q; F; C cùng nằm trên 1 đường tròn. Cm:AB.PE=EB.PF. Cm:SDAEF=2SDAPQ. Gọi M là trung điểm AE.Cmr: MC=MD. A B M P E Q D F C 1/Cm:E;P;Q;C;F cùng nằm trên một đường tròn: Ta có QAE=45o.(gt) và QBC=45o(t/c hình vuông)ÞABEQ nội tiếp ÞABE+AQE=2v mà ABE=1vÞAQE=1vu.Ta có DAQE vuông ở Q có góc QAE=45oÞDAQE vuông cânÞAEQ=45o.Ta lại có EAF=45o(gt) và PDF=45o ÞAPFD nội tiếpÞAPF+ADF=2v mà ADF=1vÞAPF=1vv và ECF=1v w .Từ uvwÞE;P;Q;F;C cùng nằm trên đường tròn đường kính EF. 2/Chứng minh: AB.PE=EB.PF.Xét hai tam giác vuông ABE có: ÞBAE=PFE -Vì ABEQ ntÞBAE=BQE(Cùng chắn cung BE) -Vì QPEF ntÞPQE=PEF(Cùng chắn cung PE) Þđpcm. 3/Cm: :SDAEF=2SDAPQ. Theo cm trên thì DAQE vuông cân ở QÞAE==AQ Vì QPEF nt ÞPEF=AQP(cùng phụ với góc PQF);Góc QAP chung ÞDAQP~DAEFÞ==2Þđpcm. 4/Cm: MC=MD.Học sinh chứng minh hai DMAD=MBC vì có BC=AD; MBE=MEB=DAE;AM=BM. Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở O.Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC.Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở I.Gọi E và F lần lượt là trung điểm DH và BC.Từ E dụng đường thẳng song song với AD.Đường này cắt AH ở J. C/m:OHIK nội tiếp. Chứng tỏ KH^OI. Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD.Đường này cắt AH ở J.Chứng tỏ:HJ.KC=HE.KB Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp được trong một đường tròn. 1/Cm:OHIK nt (Hs tự chứng minh) 2/Cm HK^OI. Tam giác ABI có hai đường cao DH và AK cắt nhau ở O ÞOI là đường cao thứ ba ÞOI^AB. A B J O F H K E D C I Ta có OKIH ntÞOKE=OIE(cùng chắn cung OH).Vì OI^AB và AD^AB ÞOI//ADÞOIH=HAD(so le).Mà HAD=HBA(cùng phụ với góc D).Do ABCD là hình chữ nhật nên ABH+ACE ÞOKH=OCEÞHK//AB.Mà OI^AB ÞOI^KH. 3/Cm: HJ.KC=HE.KB . Chứng minh hai tam giác vuông HJE và KBC đồng dạng 4/Chứng minh ABFE nội tiếp: VìAH^BE;EJ//AD và AD^ABÞEJ^ABÞBJ là đường cao thứ ba của tam giác ABEÞBJ^AE Vì E là trung điểm DH;EJ//ADÞEJ là đường trung bình của tam giác ADHÞEJ//=AB;BF=BC mà BC//=ADÞJE//=BFÞBJEF là hình bình hànhÞJB//EF.Mà BJ^AEÞEF^AE hay AEF=1v;Ta lại có ABF=1vÞABFE nt. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 96: Cho DABC, phân giác góc trong và góc ngoài của các góc B và C gặp nhau theo thứ tự ở I và J.Từ J kẻ JH; JP; JK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB; BC; AC. Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng. Chứng minh: BICJ nt. BI kéo dài cắt đường thẳng CJ tại E. Cmr:AE^AJ. C/m: AI.AJ=AB.AC. Bài 97: Từ đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay sao cho: Ax cắt cạnh BC ở P,Ay cắt cạnh CD ở Q.Kẻ BK^Ax;BI^Ay và DM^Ax,DN^Ay . Chứng tỏ BKIA nội tiếp Chứng minh AD2=AP.MD. Chứng minh MN=KI. Chứng tỏ KI^AN. x B P C K y Q N M I A D Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o.Phân giác góc A cắt cạnh CD và đường thẳng BC tại I và K.Hạ KH và KM lần lượt vuông góc với CD và AM. Chứng minh KHDM nt. Chứng minh:AB=CK+AM. Bài 99: Cho(O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC. Vẽ cát tuyến BEF.Đường thẳng CE và CF gặp lại đường tròn ở điểm thứ hai tại M và N.Dựng hình bình hành AECD. Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF. Chứng minh AFCD nội tiếp. Chứng minh:CN.CF=4BE.BF A D M B E C N F Chứng minh MN//AC. 1/Chứng minh D nằm trên đường thẳng EF:Do ADCE là hình bình hành nên E;B;D thẳng hàng.Mà F;E;B thẳng hàngÞđpcm. 2/Cm:AFCD nội tiếp: -Do ADCE là hình bình hànhÞBC//AEÞgóc BCA=ACE(so le) -sđCAE=sđcung AE(góc giữa tt và một dây) và sđ AFE=sđ cung AE ÞCAE=AFE.ÞBCN=BFAÞAFCD nội tiếp. 2/Cm CN.CF=4BE.BF. -Xét hai tam gáic BAE và BFA có góc ABF chung và AFB=BAE(chứng minh trên)ÞDBAE~DBFAÞÞAB2=BE.BFu Tương tự hai tam giác CAN và CFA đồng dạngÞAC2=CN.CFv.Nhưng ta lại có AB=AC.Do đóu trở thành:AC2=BE.BF hay AC2=4BE.BFw. Từ u và wÞđpcm. 4/cm MN//AC. Do ADCE là hbhÞBAC=ACE(so le).Vì ADCF nt ÞDAC=DFC(cùng chắn cung DC).Ta lại có EMN=EFN(cùng chắn cung EN)ÞACM=CMNÞMN//AC. ÐÏ(&(ÐÏ Bài 100: Trên (O) lấy 3 điểm A;B;C.Gọi M;N;P lần lượt theo thứ tự là điểm chính giữa cung AB;BC;AC .AM cắt MP và BP lần lượt ở K và I.MN cắt AB ở E. Chứng minh DBNI cân. PKEN nội tiếp. Chứng minh AN.BD=AB.BN Chứng minh I là trực tâm của DMPN và IE//BC. 1/C/m DBNI cân Ta có sđBIN=sđ(AP+BN) sđIBN=sđ(CP+CN) Mà Cung AP=CP; BN=CN(gt) ÞBIN=IBNÞDBNI cân ở N. 2/Chứng tỏ PKEN nội tiếp: A P M F K O E I B C N Vì cung AM=MBÞANM=MPB hay KPE=KNEÞHai điểm P;N cùng làm với hai đầu đoạn thẳng KEÞđpcm. 3/C/m AN.DB=AB.BN. Xét hai tam giác BND và ANB có góc N chung;Góc NBD=NAB(cùng chắn cung NC=NB)Þđpcm. 4/ ·Chứng minh I là trực tâm của DMNP: Gọi giao điểm của MP với AB;AC lần lượt ở F và D.Ta có: sđ AFD=sđ cung (AP+MB)(góc có đỉnh ở trong đường tròn.) sđ ADF=sđ cung(PC+AM) (góc có đỉnh ở trong đường tròn.) Mà Cung AP=PC;MB=AMÞAFD=ADFÞDAFD cân ở A có AN là phân giác của góc BAC(Vì Cung BN=NC nên BAN=NAC)ÞAN^MP hay NA là đường cao của DNMP.Bằng cách làm tương tự như trên ta chứng minh được I là trực tâm của tam gáic MNP. ·C/m IE//BC.Ta có DBNI cân ở N có NE là phân giác ÞNE cũng là đường trung trực của BIÞEB=EIÞDBEI cân ở E.Ta có EBI=EIB.Do EBI=ABP=PBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau PA=PC).Nên PBC=EIBÞEI//BC. Hết ÐÏ(&(ÐÏ