Chuyên đề 7 Góc với đường tròn

nh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì nội tiếp đường tròn Mà B, C là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới môt góc vuông. Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Tâm O là trung điểm AD. a a · Trường hợp 2: Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a thì nội tiếp đường tròn. Mà B, C là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh AD dưới một góc a. Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. d/ Cách 4: Tứ giác góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện thì nội tiếp đường tròn. 2 1 (kề bù) Mà Nên Vậy: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. II. BÀI TẬP: Bài 1 :Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ) nội tiếp (O) .Vẽ các đường cao BE ,CF . a/ Cm :Tứ giác BFEC nội tiếp được một đường tròn b/ Cm : AE.AC =AF .AB c/ Vẽ tiếp tuyến Ax với (O) . Cm: AO EF HƯỚNG DẪN GIẢI : a/ Cm :Tứ giác BFEC nội tiếp được một đường tròn Ta có : = 1v (gt) = 1v(gt ) Mà E, F là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới môt góc vuông. Vậy : BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC b/Cm : AE.AC =AF .AB Cách 1 : Xét và có : chung ( cùng bù ) Suy ra : và đồng dạng Vậy : AE.AC = AF .AB Cách 2 : Xét hai tam giác vuông AEB và AFC có : là góc nhọn chung Vậy : Hai tam giác vuông AEB và AFC đồng dạng Suy ra : AE.AC = AF .AB (đpcm ) c/Cm : AO EF Ta có : ( cùng chắn ) ( cùng bù ) Suy ra : , mà và là hai góc so le trong Lại có: AOAx ( T/c tiếp tuyến ) AO EF ( Đpcm ) Bài 2 : Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC và A trên nửa đường tròn sao cho AB=R. Gọi M trên cung nhỏ AC, BM cắt AC tại I. Tia BA cắt tia CM tại D. a/ Chứng minh : Tam giác AOB đều b/ Chứng minh : Tứ giác AIMD nội tiếp c/Tính góc ADI d/ Cho .Tính AD theo R. HƯỚNG DẪN GIẢI : a/Chứng minh :Tam giác ABC đều có OA=OB=AB =R đều b/ Chứng minh :Tứ giác AIMD nội tiếp Ta có : ( nội tiếp chắn nửa (O) Tương tự : Suy ra : Tứ giác AIMD nội tiếp c/Tính Ta có : ( cùng chắn ) Mà Suy ra =30 d/ Cho . Tính AD theo R. vuông tại A và ( gt ) Suy ra : vuông cân tại A AI=AB=R Ta lại có: vuông tại A , =30. Suy ra = BÀI 3 : Cho đường tròn (O) , điểm A nằm bên ngoài đường tròn . Kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (M , N là các tiếp điểm ) . Chứng minh rằng : OA MN Vẽ đường kính NOC . Chứng minh rằng MC// AO Tính độ dài các cạnh của AMN . Biết OM = 3cm , OA = 5cm . HƯỚNG DẪN GIẢI : Chứng minh rằng : OA MN Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A AM = AN , AO là tia phân giác của góc A AMN cân tại A , AO là tia phân giác của góc A nên OA MN Chứng minh rằng MC// AO Ta có: 900(góc nột tiếp chắn nửa đường tròn) Þ CM MN Mà OA MN Vậy: MC// AO Tính độ dài các cạnh của AMN AN2 =AO2 – ON2 = 52 – 32 = 16 AN = 4 (cm) Ta có : AO. HN = AN.NO ( Hệ thức lượng trong tam giác vuông ANO ) 5.HN =4.3 HN = 2,4 (cm) Do đó MN = 4,8 (cm) BÀI 4 : Cho ABC vuông tại A . Trên cạnh AC lấy điểm M , vẽ đường tròn đường kính MC cắt BC tại D ( D khác C ) và cắt đường thẳng BM tại E (E khác M ). Đường thẳng AE cắt đường tròn tại S (S khác E ) . Chứng minh rằng : Tứ giác ABDM nội tiếp trong đường tròn AM . MC = BM.ME MDS cân HƯỚNG DẪN GIẢI : a)Tứ giác ABDM nội tiếp trong đường tròn = 900 (gt) = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) = 1800 Tứ giác ABDM nội tiếp trong đường tròn ( Tổng số đo 2 góc đối = 1800 ) b) AM . MC = BM.ME = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) MAB đồng dạng MEC (gg) AM . MC = BM.ME c) MDS cân Tứ giác ABCE nội tiếp (= = 900 ) Þ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AB ) Do đó MESC nội tiếp nên (cùng bù với góc MES ) Nên MD = MS Vậy MDS cân tại M Bài 5: Cho nửa đường tròn đường kính AB và dây AC, từ một điểm D trên dây AC vẽ DE ^AB. Gọi F là giao điểm của DE và BC. Chứng minh a/ Tứ giác BCDE nội tiếp b/ HƯỚNG DẪN GIẢI : a/ (gt), (góc nội tiếp chắn nửa đ/tr) Þ = 1800 Vậy: Tứ giác BCDE nội tiếp b/ Ta thấy (gt), = 900 (kề bù với góc ACB) nên tứ giác AECF nội tiếp được (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE) Bài 6: Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, M là một điểm trên cung BC, AM cắt CD tại N a/ Chứng minh tứ giác ONMB nội tiếp được b/ Chứng minh c/ Biết chu vi đường tròn là 12cm. Tính bàn kính R và diện tích của đường tròn d/ Tiếp tuyến tại M của (O) cắt AB tại S, cắt CD tại K. Chứng minh e/ Giả sử . Chứng minh tam giác KNM đều HƯỚNG DẪN GIẢI : a/ Chứng minh . Suy ra tứ giác ONMB nội tiếp được b/ Vì tứ giác ONMB nội tiếp được nên nhưng mà (kề bù) c/ cm d/ e/ Vì nên sđ và sđ = 600 BÀI TẬP TỰ RÈN Bài 1 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tam O. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H a/ Chứng minh rằng: tứ giác DHEC nội tiếp. Xác định tâm I b/ Chứng minh: c/ Cho góc BAC bằng 60. Chứng minh rằng : Tam giác AHO cân . Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB<AC ), gọi M là trung điểm của AC ,đường tròn đường kính MC cắt BC ở E và cắt đường thẳng BM tại D. a/Chứng minh rằng :tứ giác ABCD nội tiếp (O).Xác định tâm O. b/Chứng minh :DM là tia phân giác của góc ADE c/Chứng minh :OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC. d/Cho Chứng minh : OM = 2 .OE Bài 3 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và C thuộc nửa (O) sao cho CA =CB. Gọi I là trung điểm của AC, tia BI cắt nửa đường tròn (O) tại D, hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại E . a/ Chứng minh rằng : tứ giác EDIC nội tiếp b/ Chứng minh : EI // OC c/ Tứ giác EIOC là hình gì ? Giải thích d/ Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC. Chứng minh : AF = 2.DF Bài 4 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M thuộc nửa (O) sao cho MA > MB . Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I. Vẽ phân giác góc IAM lần lượt cắt nửa đường tròn tại E và cắt MI tại F. Vẽ tia BE cắt AM tại K và cắt AI tại H a/ Chứng minh : tứ giác EKMF nội tiếp b/ So sánh và c/Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn (O) để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn . Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và gọi E là trung điểm của cạnh BC. Vẽ BHDE (H thuộc DE ). Đường thẳng BH cắt DC tại K . Chứng minh rằng tứ giác DCHB nội tiếp được Tính góc CHK AH cắt DB tại M . Chứng minh MH.MA = MB.MD Tính EH theo a . Bài 6 : Cho ABC (AB < AC ) có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) hai đường cao BE , CF cắt nhau tại H Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn này . OI cắt cung nhỏ BC tại S . Chứng minh AS là tia phân giác của góc BAC . Vẽ đường kính AD cắt EF tại K . Chứng minh tứ giác KECD nội tiếp Trường hợp = 45 0 . Tính diện tích IEF theo R . Bài 7: Cho ABC có 3 góc nhọn . Đường tròn đường kính BC cắt AB , AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của BF và CE . Chứng minh rằng : AH BC Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp được . Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC . Chứng minh rằng K nằm trên đường tròn ngoại tiếp ABC tâm O . Chứng minh rằng : OA EF . CHUYÊN ĐỀ 8 HÌNH TRỤ - HÌNH NÓN – HÌNH CẦU h r I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 1. Hình trụ: * Diện tích xung quanh: Sxq = 2rh * Diện tích toàn phần: Stp = 2rh + 2r2 * Thể tích hình trụ: V = Sh = r2h h r 2. Hình nón: * Diện tích xung quanh: Sxq = prl * Diện tích toàn phần: Stp = prl + pr2 R * Thể tích hình nón: V = pr2h 3. Hình cầu: * Diện tích mặt cầu: S = 4pR2 hay S = pd2 * Thể tích hính cầu : V = II. BÀI TẬP: BÀI 1: Một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6 cm, chiều cao 9 cm. Hãy tính : Diện tích xung quanh của hình trụ . 9 cm 6 cm Thể tích của hình trụ ( Lấy 3,142 , làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ) HƯỚNG DẪN GIẢI : Diện tích xung quanh của hình trụ là : 6. 2 . 3,142 . 9 339 (cm2) b) Thể tích của hình trụ là : 62. 3,142 . 9 1018 (cm3) BÀI 2 : Cho ABC vuông tại A, góc B = 600 và BC = 2a ( đơn vị độ dài ) . Quay đó 1 vòng quanh cạnh huyền BC . Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo thành . HƯỚNG DẪN GIẢI : Tính được AH = (đvđd) Diện tích xung quanh của hình tạo thành: S = AH(AB+AC) = (đvđt) Thể tích của hình tạo thành V= .AH.BC = (đvtt) BÀI 3: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 4cm, chiều cao bằng 8cm. Tính: a. Đường kính đáy b. Chu vi đáy c. Diện tích đáy d. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ e. Thể tích của hình trụ HƯỚNG DẪN GIẢI : 4 cm 8 cm a. Đường kính đáy d= 2.R= 2. 4 = 8 cm b. Chu vi đáy C = 2 R= 2. .4 = 8 (cm) c. Diện tích đáy S= R2= 42=16 (cm2) d. Diện tích xung quanh của hình trụ Sxq = 2rh =2. .4.8=64(cm2) Diện tích toàn phần của hình trụ Stp = 2rh + 2r2 = 64 +2. 16=96 e. Thể tích của hình trụ V = Sh = r2h= 16.8=128 (cm3) BÀI 4: Một hình nón có bán kính đáy bằng 3cm, chiều cao bằng 12cm. Tính: 12cm 3 cm a. Chu vi đáy. b. Diện tích đáy c. Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón d. Thể tích của hình nón. HƯỚNG DẪN GIẢI : a. Chu vi đáy. C = 2 r= 2. .4= 6 (cm) b. Diện tích đáy S= r2= 32=9 (cm2) c. Độ dài đường sinh l = Diện tích xung quanh hình nón Sxq = prl = p.3.12,4 » 37,2p (cm2) Diện tích toàn phần của hình nón Stp = prl + pr2 = 37,2p + 9 =46,2 (cm2) d. Thể tích của hình nón. V = Sh = r2h = 9 .12 =108 (cm3) Bài 5: Diện tích của một mặt cầu là 1256 cm2. Tính: a. Thể tích hình cầu R b. Tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu có bán kính gấp đôi bán kính mặt cầu đã cho. HƯỚNG DẪN GIẢI : a. Ta có: S = 4pR2 Thể tích hình cầu: V = ==1333,3(cm3) b. Ta có: R’ = 2R= 2.10= 20 cm b. Tính diện tích mặt cầu: S’ = 4pR’2 = 4p102 = 2512 (cm2) Thể tích hình cầu: V’ = ==10666,7(cm3) BÀI TẬP TỰ RÈN Bài 1: Cho hình nón, biết đường sinh bằng 15 cm, diện tích xung quanh bằng 90cm2. Tính diện tích toàn phần của hình nón. Bài 2: Cho hình nón, biết đường sinh bằng 5 cm, chiều cao bằng 4 cm. Tính diện tích xung quanh, thể tích của hình nón. Bài 3: Một hình trụ có chiều cao 10 cm diện tích xung quanh bằng 160cm2. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.