30 đề học sinh giỏi môn Toán Lớp 7

§Ò 1 C©u 1. Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 2 hy so s¸nh: 1 1 1 1 a. A= + + + .... + víi 1 . 22 32 42 n2 1 1 1 1 b. B = + + + ... + víi 1/2 22 42 62 (2n)2 3 4 n +1 C©u 2: T×m phÇn nguyªn cña α , víi α = 2 + 3 + 4 + .... + n+1 2 3 n C©u 3: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn l−ît ®é di hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ l 5: 7 : 8. C©u 4: Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox v oy lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm A v B ®Ó cho AB cã ®é di nhá nhÊt. C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c v a + b + c l c¸c sè h÷u tØ. §Ò 2: Môn: Toán 7 Bài 1: (3 điểm): Tính  1 1 2   2 3  18 − (0,06 : 7 + 3 .0,38) :19 − 2 .4   6 2 5   3 4  Bài 2: (4 điểm): Cho a = c chứng minh rằng: c b a2 + c2 a b2 − a2 b − a a) = b) = b2 + c2 b a2 + c2 a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15 3 6 1 a) x + − 4 = −2 b) − x + = x − 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC 1 Bài 6: (2 điểm): Tìm x, y ∈ ℕ biết: 25 − y2 = 8(x − 2009)2 §Ò 3 Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 12 5 − 6 2 10 3 − 5 2 = 2 .3 4 .9 − 5 .7 25 .49 A 6 3 (22.3) + 84.35 (125.7) + 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n+2 − 2n+2 + 3n − 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x − + = (−3,2) + 3 5 5 x+1 x+11 b. ( x − 7) − ( x − 7) = 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tìm số A. a c a2 + c2 a b) Cho = . Chứng minh rằng: = c b b2 + c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC) . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A = 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM=BC §Ò 4 Bi 1: (2 ®iÓm) 2 Cho A = 25+811+1417+ +98101 a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A b, TÝnh A Bi 2: ( 3 ®iÓm) T×m x,y,z trong c¸c trêng hîp sau: a, 2x = 3y =5z v x − 2y =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z v xy = 90. y + z +1 x + z + 2 x + y − 3 1 c, = = = x y z x + y + z Bi 3: ( 1 ®iÓm) a a a a a 1 = 2 = 3 = = 8 = 9 1. Cho ... v (a1+a2+ +a9 ≠0) a2 a3 a4 a9 a1 Chøng minh: a1 = a2 = a3= = a9 a + b + c a − b + c 2. Cho tØ lÖ thøc: = v b ≠ 0 a + b − c a − b − c Chøng minh c = 0 Bi 4: ( 2 ®iÓm) Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. Gäi b1, b2, b3, b4, b5 l ho¸n vÞ cña 5 sè ® cho. Chøng minh r»ng tÝch (a1b1).(a2b2).(a3b3).(a4b4).(a5b5) ⋮ 2 Bi 5: ( 2 ®iÓm) Cho ®o¹n th¼ng AB v O l trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng ®ã. Trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau qua AB, kÎ hai tia Ax v By song song víi nhau. Trªn tia Ax lÊy hai ®iÓm D v F sao cho AC = BD v AE = BF. Chøng minh r»ng : ED = CF. === HÕt=== §Ò 5 Bi 1: (3 ®iÓm)   1   4,5: 47,375 − 26 −18.0,75.2,4 : 0,88  3  1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:     2 5 17,81:1,37 − 23 :1 3 6 3 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x v y tho¶ mn: 2x − 27 2007 + (3y +10)2008 = 0 3. T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ab l b×nh ph−¬ng cña sè tù nhiªn. Bi 2: ( 2 ®iÓm) x −1 y − 2 z − 3 1. T×m x,y,z biÕt: = = v x2y+3z = 10 2 3 4 2. Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 v tho¶ mn: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 a3 + b3 + c3 a Chøng minh r»ng: = b3 + c3 + d 3 d Bi 3: ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1. Chøng minh r»ng: + + + ...+ >10 1 2 3 100 2. T×m x,y ®Ó C = 18 2x − 6 − 3y + 9 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bi 4: ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E l ®iÓm thuéc c¹nh BC. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE). 1, Chøng minh: BH = AK 2, Cho biÕt MHK l tam gi¸c g×? T¹i sao? === HÕt=== §Ò sè 6 C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ mn: a,5x3 4 c, 4 x +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =x +8 x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+...+102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+...+202 C©u 5 : 4 Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I l trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD HÕt §Ò sè 7 Thêi gian lm bi: 120 phót 3 a b c  a + b + c  a C©u 1 . ( 2®) Cho: = = . Chøng minh:   = . b c d  b + c + d  d a c b C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = = = . b + c a + b c + a C©u 3. (2®). T×m x ∈ Z ®Ó A∈ Z v t×m gi¸ trÞ ®ã. x + 3 1− 2x a). A = . b). A = . x − 2 x + 3 C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: a) x − 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho
ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE). Chøng minh
MHK vu«ng c©n. HÕt §Ò sè 8 Thêi gian lm bi : 120 phót. C©u 1 : ( 3 ®iÓm). 1. Ba ®−êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é di l 4,12 ,a . BiÕt r»ng a l mét sè tù nhiªn. T×m a ? a c 2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc = ( a,b,c ,d≠ 0, a≠b, c≠d) ta suy ra ®−îc c¸c b d tØ lÖ thøc: a c a + b c + d a) = . b) = . a − b c − d b d C©u 2: ( 1 ®iÓm). T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. C©u 3: (2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | xa| + | xb| + |xc| + | xd| víi a<b<c<d. C©u 4: ( 2 ®iÓm). Cho h×nh vÏ. a, BiÕt Ax // Cy. so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C. b, gãc ABC = gãc A + gãc C. Chøng minh Ax // Cy. x A vBi 5 y C C©u 5: (2 ®iÓm) Tõ ®iÓm O tïy ý trong tam gi¸c ABC, kÎ OM, ON , OP lÇn l−ît vu«ng gãc víi c¸c c¹nh BC, CA, Ab. Chøng minh r»ng: 2 2 2 2 2 2 AN + BP + CM = AP + BM + CN HÕt §Ò sè 9 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1(2®): 3 4 5 100 a) TÝnh: A = 1 + + + +...+ 23 24 25 2100 b) T×m n ∈Z sao cho : 2n 3 ⋮ n + 1 C©u 2 (2®): a) T×m x biÕt: 3x 2x +1 = 2 b) T×m x, y, z biÕt: 3(x1) = 2(y2), 4(y2) = 3(z3) v 2x+3yz = 50. C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng 213 , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu 70 cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. C©u 4(3®): Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I l trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm B, I, C th¼ng hng. 1 1 C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x + = 7 y HÕt §Ò sè 10 Thêi gian lm bi: 120’. C©u 1: TÝnh : 1 1 1 1 a) A = + + + .... + . 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 b) B = 1+ (1+ 2) + (1+ 2 + 3) + (1+ 2 + 3 + 4) + .... + (1+ 2 + 3 + ... + 20) 2 3 4 20 C©u 2: a) So s¸nh: 17 + 26 +1 v 99 . 1 1 1 1 b) Chøng minh r»ng: + + + .... + > 10 . 1 2 3 100 C©u 3: T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã l béi cña 18 v c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 C©u 4 6 Cho tam gi¸c ABC cã gãc B v gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD v ACE ( trong ®ã gãc ABD v gãc ACE ®Òu b»ng 900 ), vÏ DI v EK cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x − 2001 + x −1 hÕt §Ò sè 11 Thêi gian lm bi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: + + + + + a, x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 349 =0 327 326 325 324 5 b, 5x − 3 ≥ 7 C©u2:(3 ®iÓm) 0 1 2 2007  1   1   1   1  a, TÝnh tæng: S = −  + −  + −  + ........ + −   7   7   7   7  1 2 3 99 b, CMR: + + + ........ + < 1 2! 3! 4! 100! c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d−¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é di ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t−¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè no? C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B = 600 hai ®−êng ph©n gi¸c AP v CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ 1 C©u5: (1 ®iÓm) Cho B = . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 2(n −1) 2 + 3 hÕt §Ò sè 12 Thêi gian : 120’ C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) (x −1)5 = 243 . x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 b) + + = + 11 12 13 14 15 c) x 2 x = 0 (x≥ 0 ) C©u 2 : (3®) 7 5 y 1 a, T×m sè nguyªn x v y biÕt : + = x 4 8 x +1 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ l 1 sè nguyªn biÕt : A = (x≥ 0 ) x − 3 C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 5x − 3 2x = 14 C©u 4 : (3®) a, Cho ∆ ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoi t−¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè no . b, Cho ∆ ABC c©n t¹i A v ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB . HÕt §Ò sè 13 Thêi gian lm bi: 120 phót Bi1( 3 ®iÓm) 1 1 176 12 10 10 (26 − ) − ( −1,75) a, TÝnh: A = 3 3 7 11 3 5 ( 60 91− 0,25). −1 11 b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 + + 100 – 410) Bi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d−¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2. Bi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dy 234 trang. Bi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ∆ ABC vu«ng t¹i B, ®−êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB. hÕt §Ò sè 14 Thêi gian lm bi 120 phót Bi 1(2 ®iÓm). Cho A = x + 5 + 2 − x. a.ViÕt biÓu thøc A d−íi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bi 2 ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 a.Chøng minh r»ng : < + + + .......+ < . 6 52 62 72 1002 4 2a + 9 5a +17 3a b.T×m sè nguyªn a ®Ó : + − l sè nguyªn. a + 3 a + 3 a + 3 8 Bi 3(2,5 ®iÓm). T×m n l sè tù nhiªn ®Ó : A = (n + 5)(n + 6)⋮6n. Bi 4(2 ®iÓm) Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §−êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : f ( x) − f ( x −1) = x.. ¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + + n. HÕt §Ò sè 15 Thêi gian lm bi: 120 phót x x − 2 C©u 1: (2®) Rót gän A= x2 + 8x − 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®−îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®−îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®−îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®−îc ®Òu nh− nhau. 2006 + C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 10 53 l mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®−êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ⊥ Ay,CM ⊥Ay, BK ⊥ AC. Chøng minh r»ng: a, K l trung ®iÓm cña AC. AC b, BH = 2 c, KMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d−íi ®©y ®óng mét nöa v sai 1 nöa: a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em hy x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. HÕt §Ò sè 16: Thêi gian lm bi 120 phót C©u 1: (2®) T×m x, biÕt: a) 3x − 2 − x = 7 b) 2x − 3 > 5 c) 3x −1 ≤ 7 d) 3x − 5 + 2x + 3 = 7 C©u 2: (2®) a) TÝnh tæng S = 1+52+ 54+...+ 5200 9 b) So s¸nh 230 + 330 + 430 v 3.2410 C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM v CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn l−ît l trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB v Ac cña tam gi¸c ABC. C¸c ®−êng ph©n gi¸c v ph©n gi¸c ngoi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®−êng th¼ng MN lÇn l−ît t¹i D v E c¸c tia AD v AE c¾t ®−êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P v Q. Chøng minh: a) BD ⊥ AP; BE ⊥ AQ; b) B l trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE 14 − x C©u 5: (1®) Víi gi¸ trÞ nguyªn no cña x th× biÓu thøc A= Cã gi¸ trÞ lín nhÊt? 4 − x T×m gi¸ trÞ ®ã. HÕt §Ò sè 17: C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt: a. 4x + 3 x = 15. b. 3x − 2 x > 1. c. 2x + 3 ≤ 5. C©u2: ( 2 ®iÓm) a. TÝnh tæng: A= ( 7) + (7)2 + + ( 7)2006 + ( 7)2007. Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43. b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn v ®ñ®Ó m2 + m.n + n2 chia hÕt cho 9 l: m, n chia hÕt cho 3. C©u 3: ( 23,5 ®iÓm) §é di c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nhau nh− thÕ no,biÕt nÕu céng lÇn l−ît ®é di tõng hai ®−êng cao cña tam gi¸c ®ã th× c¸c tæng ny tû lÖ theo 3:4:5. C©u 4: ( 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. D l mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c, biÕt ADB > ADC . Chøng minh r»ng: DB < DC. C©u 5: ( 1 ®iÓm ) T×m GTLN cña biÓu thøc: A = x −1004 x +1003 . HÕt §Ò sè 18 C©u 1 (2 ®iÓm): T×m x, biÕt : a. 3x − 2 +5x = 4x10 b. 3+ 2x + 5 > 13 C©u 2: (3 ®iÓm ) a. T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 v c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 1, 2, 3. b. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72+73+74+...+74n chia hÕt cho 400 (n∈N). C©u 3 : (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt α + β + γ = 1800 chøng minh Ax// By. 10