Ứng dụng định lý Sin để giải các bài toán hình học phẳng (Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THPT)

Ứng dụng định lý Sin để giải các bài toán hình học phẳng (Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THPT) (Các thầy cô và các em học sinh tự vẽ hình). Biên soạn: Lương Đình Giáp - Trường THPT Sơn Động số 3 - Bắc Giang. Định lý Sin được dạy trong chương trình hình học 10 là một trong những định lý quan trọng và có nhiều ứng dụng. Bài viết này sẽ đưa ra cách giải các bài toán hình học phẳng dựa theo định lý Sin. Trong bài viết này kí hiệu MNP để chỉ góc MNP. 1) Định lý Sin. Với mọi tam giác ABC, ta có Trong đó BC=a, CA=b, AB=c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2) Một số ví dụ áp dụng. Ví Dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A có A= 100. Giả sử P là một điểm trong tam giác sao cho PBC=20, PCB = 300. Chứng minh rằng BP = BA. Lời giải. Áp dụng định lý Sin cho tam giác ABC, ta có: hay BC = AB2AB.Sin500. Lại áp dụng định lý Sin cho tam giác BPC ta có: hay BP = BC2AB.Sin5002AB.Sin300 = AB Vậy BP = BA. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A với góc A = 800. Trên hai cạnh BC và AC lấy điểm D và E sao cho BAD = 500, ABE = 300. Tính BED. Lời giải. Giả sử AD cắt BE tại O. Ta có AOB = 1000 , BDA = 800, CBE = 200, AEB = 700, CAD = 300. Áp dụng định lý Sin cho tam giác ODB ta có: Tương tự: , Do đó suy ra tam giác ODE cân tại đỉnh O mà EOD = AOB = 1000 nên BED = 400. Ví dụ 3. (USAMO, 1996) Cho tam giác ABC có tính chất sau: tồn tại một điểm P nằm trong tam giác sao cho: PAB = 100, PBA = 200, PCA = 300, PAC = 400. Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. Lời giải Đặt PCB = x suy ra PBC = 800 – x. Áp dụng định lý Sin ta có: Do đó 2sinx.cos400 = Sin(800-x) – sinx = 2sin(400-x)cos400 hay sinx = sin(400-x). Điều này cho ta x = 400 –x x = 200. Do vậy ta có ACB = 500 = BAC. Nghĩa là tam giác ABC cân tại B. Ví dụ 4. Cho tam giác ABC cân tại A và có A = 1000. Giả sử P là một điểm thuộc phần kéo dài của đoạn thẳng AB về phía B sao cho AP = BC. Hãy tính APC. Lời giải. Kí hiệu APC = x suy ra PCA = 800-x. Áp dụng định lý Sin cho tam giác APC và tam giác ABC ta có: ; Kết hợp với giả thiết AP = BC suy ra hay sin(800-x) = 2sinxcos400 = sin(x+400)+sin(x-400) sin(800-x)-sin(x+400) = sin(x-400)2cos600.sin(200-x) = sin(x-400) sin(200-x) = sin(x-400) từ đây suy ra 200-x = x-400 và do đó x = 300. Ví dụ 5. ( Bungari, 1999) Cho M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và CAB = 450 , ABC = 30o. a) Tìm AMC b) Chứng minh rằng: Lời giải. a) Kí hiệu CAM = x suy ra MAB = 450-x. Áp dụng định lý Sin cho tam giác ABM và ACM ta có: và Vì BM = CM nên hay sin(450-x) = 2sin150sinx = 2sinxcos750sin(450-x) = sin(x+750)+sin(x-750) sin(450-x)-sin(x+750) = sin(x-750) 2cos600sin(-x-150) = sin(x-750) sin(-x-150) = sin(x-750) từ đó suy ra –x-150 = x-750 x=300. Khi đó AMC = 450. b) Áp dụng định lý Sin cho tam giác AMB và ABC ta có: và suy ra Ví dụ 6. Cho tam giác ABC có ABC = 2ACB và BAC > 900. Đường thẳng vuông góc với AC cắt đường thẳng AB tại D. Chứng minh rằng: Lời giải. Đặt ACB = x. Khi đó ABC = 2x, DAC = 3x, BAC = -3x, BCD = , BDC = . Áp dụng định lý Sin vào tam giác ABC và BCD ta có: từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài tập tự luyện 1) Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm cạnh AB, CAB = 150, ABC = 300. Tìm ACM Chứng minh rằng 2) Cho tam tam giác ABC cân tại A; BD là phân giác và BD+DA = BC. Chứng minh rằng BAC = 1000