Tuyển tập 80 bài Toán Hình học lớp 9

g đó). d. Chứng minh: ∆IOE cân ở I. HD: a) ABHK nội tiếp ; ( cùng chắn cung BD) b) CE cắt AB ở F. ; AFEK nội tiếp = 1200 c) Vậy I chuyển động trên cung chứa góc 1200 dựng trên đoạn BC, cung này nằm trong đường tròn tâm (O). S D d) Trong đ/tròn (O) có = sđ ; trong đ/tròn (S) có = sđ vì = (so le trong) nên: = mà = = đpcm. Bài 64: Cho hình vuông ABCD, phía trong hình vuông dựng cung một phần tư đường tròn tâm B, bán kính AB và nửa đường tròn đường kính AB. Lấy 1 điểm P bất kỳ trên cung AC, vẽ PKAD và PH AB. Nối PA, cắt nửa đường tròn đường kính AB tại I và PB cắt nửa đường tròn này tại M. Chứng minh rằng: a. I là trung điểm của AP. b. Các đường PH, BI và AM đồng quy. c. PM = PK = AH. d. Tứ giác APMH là hình thang cân. HD: a) ∆ ABP cân tại B. (AB = PB = R(B)) mà (góc nội tiếp ) BIAP BI là đường cao cũng là đường trung tuyến I là trung điểm của AP b) HS tự c/m. c) ∆ ABP cân tại B AM = PH ; AP chung ∆vAHP = ∆v PMA AH = PM ; AHPK là hình chữ nhật AH = KP PM = PK = AH d) PMAH nằm trên đ/tròn đ/k AP mà PM = AH (c.m.t) = PA // MH Vậy APMH là hình thang cân. Bài 65: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Kẻ tia tiếp tuyến Bx, M là điểm thay đổi trên Bx;. AM cắt (O) tại N. Gọi I là trung điểm của AN. a. Chứng minh: Tứ giác BOIM nội tiếp được trong 1 đường tròn. b. Chứng minh:∆IBN ~ ∆OMB. c. Tìm vị trí của điểm M trên tia Bx để diện tích tam giác AIO có GTLN. HD: a) BOIM nội tiếp được vì b) ; (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BM) ∆ IBN ~ ∆OMB. c) SAIO = AO.IH; SAIO lớn nhất IH lớn nhất vì AO = R(O) Khi M chạy trên tia Bx thì I chạy trên nửa đường tròn đ/k AO. Do đó SAIO lớn nhất Khi IH là bán kính, khi đó ∆ AIH vuông cân, tức Vây khi M cách B một đoạn BM = AB = 2R(O) thì SAIO lớn nhất . Bài 66: Cho ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O; R). Gọi AI là một đường kính cố định và D là điểm di động trên cung nhỏ AC (DA và DC). a. Tính cạnh của ∆ABC theo R và chứng tỏ AI là tia phân giác của . b. Trên tia DB lấy đoạn DE = DC. Chứng tỏ ∆CDE đều và DI CE. c. Suy ra E di động trên đường tròn mà ta phải xác định tâm và giới hạn. d. Tính theo R diện tích ∆ADI lúc D là điểm chính giữa cung nhỏ AC. HD: a) ∆ ABC đều, nội tiếp trong đường tròn (O; R). HS tự c/m : AB = AC = BC = RTrong đ/tròn (O; R) có: AB = AC Tâm O cách đều 2 cạnh AB và AC AO hay AI là tia phân giác của . b) Ta có : DE = DC (gt) ∆ DEC cân ; = = 600 (cùng chắn ) ∆CDE đều. I là điểm giữa = = DI là tia phân giác ∆CDE đều có DI là tia phân giác nên cũng là đường cao DI CE c) ∆CDE đều có DI là đường cao cũng là đường trung trực của CE IE = IC mà I và C cố định IC không đổi E di động trên 1 đ/tròn cố định tâm I, bán kính = IC. Giới hạn : I (cung nhỏ ) D → C thì E → C ; D → A thì E → B   E đi động trên nhỏ của đ/t (I; R = IC) chứa trong ∆ ABC đều. Bài 67: Bài 5: TVL 10 đà nẵng 2011-2012 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ AB ( M không trùng với các điểm A và B). Chứng minh rằng MD là đường phân giác của góc BMC. Cho AD = 2R. Tính diện tích của tứ giác ABDC theo R Gọi K là giao điểm của AB và MD, H là giao điểm của AD và MC. Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, BD, HK đồng quy. a) a)Ta có: cung DC = cung DB chắn 600 nên góc CMD = góc DMB= 300 Þ MD là phân giác của góc BMC b) Xét tứ giác ABCD có 2 đường chéo AD và BC vuông góc nhau nên : SABCD=AD.BC = c) Ta có góc AMD = 900 (chắn ½ đường tròn) Tương tự: DB ^ AB,vậy K chính là trực tâm của DIAD (I là giao điểm của AM và DB) Xét tứ giác AHKM, ta có: góc HAK = góc HMK = 300, nên dễ dàng Þ tứ giác này nội tiếp. Vậy góc AHK = góc AMK = 900 Nên KH vuông góc với AD Vậy HK chính là đường cao phát xuất từ I của DIAD Vậy ta có AM, BD, HK đồng quy tại I. Bài 68: Bài 3. thi vao 10 2013 du bị (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d cố định không đi qua O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A và B. Từ điểm M bất kỳ nằm trên đường thẳng d và nằm ngoài đường tròn (O; R) kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O; R) (P, Q là các tiếp điểm). a) Chứng minh tứ giác OPMQ nội tiếp. b) Chứng minh rằng khi điểm M di động trên đường thẳng d (M nằm ngoài đường tròn (O; R)) thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ luôn đi qua hai điểm cố định. c) Xác định vị trí của điểm M để tam giác MPQ đều. a) (1,25 điểm) Ta có ( tính chất của tiếp tuyến) Þ P, Q nằm trên đường tròn đường kính OM Do đó tứ giác OPMQ nội tiếp trong đường tròn đường kính OM b) (0,75 điểm) Gọi I là trung điểm của AB Þ I cố định Ta có Þ I nằm trên đường tròn đường kính OM Vì OPMQ thuộc đường tròn đường kính OM ÞO, P, M, Q và I cùng thuộc một đường tròn. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua hai điểm cố định O và I c) (1,0 điểm) DMPQ đều khi ( vì MP = MQ) mà , DMPQ đều khi Þ MÎ(O; 2R) mà MÎd Vậy M là giao điểm của đường thẳng d với (O; 2R) thì DMPQ đều Bài 69: Bài 3: (3,0 điểm) thi vao 10 2013 chính thức Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H . 1. Chứng minh các tứ giác BDHF, BFEC nội tiếp. 2. Đường thẳng EF cắt đường tròn (O) tại M và N (F nằm giữa M và E). Chứng minh: . 3. Chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD. Bài 70: Bài 71: Bài 72: Bài 73: Bài 74: Bài 67: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Trên AD và DC, người ta lấy các điểm E và F sao cho : AE = DF =. a. So sánh ∆ABE và ∆DAF. Tính các cạnh và diện tích của chúng. b. Chứng minh AF BE. c. Tính tỉ số diện tích ∆AIE và ∆BIA; diện tích ∆AIE và ∆BIA và diện tích các tứ giác IEDF và IBCF. Bài 68: Cho ∆ABC có các góc đều nhọn; = 450. Vẽ các đường cao BD và CE. Gọi H là giao điểm của BD, CE. a. Chứng minh: Tứ giác ADHE nội tiếp được trong 1 đường tròn.; b. Chứng minh: HD = DC. c. Tính tỷ số: d. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Chứng minh: OADE Bài 69: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC. Chứng minh: a. Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn. b. Khi điểm D di động trên đường tròn thì ( + ) không đổi. c. DB.DC = DN.AC Bài 70: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Hai tiếp tuyến tại C và D với đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD; AD và CE. Chứng minh: a. BC // DE. b. Các tứ giác CODE, APQC nội tiếp được. c. Tứ giác BCQP là hình gì? Bài 71: Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B; các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O) và (O’) theo thứ tự tại C và D. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD. Chứng minh: a. ∆ABD ~ ∆CBA. b. = c. Tứ giác APBQ nội tiếp. Bài 72: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F. a. Chứng minh: AEMO là tứ giác nội tiếp được. b. AM cắt OE tại P, BM cắt OF tại Q. Tứ giác MPOQ là hình gì? Tại sao? c. Kẻ MHAB (HAB). Gọi K là giao điểm của MH và EB. So sánh MK với KH. d.Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp ∆EOF. Chứng minh:. Bài 73: Từ điểm A ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AKD sao cho BD//AC. Nối BK cắt AC ở I. a. Nêu cách vẽ cát tuyến AKD sao cho BD//AC. b. Chứng minh: IC2 = IK.IB. c. Cho = 600. Chứng minh: Cát tuyến AKD đi qua O. Bài 74: Cho ∆ABC cân ở A, góc A nhọn. Đường vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng BC ở E. Kẻ ENAC. Gọi M là trung điểm BC. Hai đ/thẳng AM và EN cắt nhau ở F. a. Tìm những tứ giác có thể nội tiếp đường tròn. Giải thích vì sao? Xác định tâm các đường tròn đó. b. Chứng minh: EB là tia phân giác của . c. Chứng minh: M là tâm đường tròn ngoại tiếp . Bài 75: Cho nửa đường tròn tâm (O), đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn đó. Dựng hình vuông ABED thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C. Gọi F là giao điểm của AE và nửa đường tròn (O). K là giao điểm của CF và ED. a. Chứng minh: Bốn điểm E, B, F, K nằm trên một đường tròn. b. ∆BKC là tam giác gì? Vì sao? c. Tìm quỹ tích điểm E khi A di động trên nửa đường tròn (O). Bài 76: Cho ∆ABC vuông tại C, có BC =AB. Trên cạnh BC lấy điểm E (E khác B và C). Từ B kẻ đường thẳng d vuông góc với AE, gọi giao điểm của d với AE, AC kéo dài lần lượt là I, K. a. Tính độ lớn góc . b. Chứng minh: KA.KC = KB.KI; AC2 = AI.AE – AC.CK. c. Gọi H là giao điểm của đường tròn đường kính AK với cạnh AB. Chứng minh: H, E, K thẳng hàng. d. Tìm quỹ tích điểm I khi E chạy trên BC. Bài 77: Cho ∆ABC vuông ở A. Nửa đường tròn đường kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy một điểm E. Nối BE và kéo dài cắt AC tại F. a. Chứng minh: CDEF nội tiếp được. b. Kéo dài DE cắt AC ở K. Tia phân giác của cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác của cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì? Tại sao? c. Gọi r, r1, r2 theo thứ tự là bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC. Chứng minh: r2 = r12 + r22. Bài 78: Cho đường tròn (O;R). Hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC; AE cắt CO ở F, DE cắt AB ở M. a. Tam giác CEF và EMB là các tam giác gì? b. Chứng minh: Tứ giác FCBM nội tiếp. Tìm tâm đường tròn đó. c. Chứng minh: Cấc đường thẳng OE, BF, CM đồng quy. Bài 79: Cho đường tròn (O; R). Dây BC < 2R cố định và A thuộc cung lớn BC (A khác B, C và không trùng điểm chính giữa của cung). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường kính AA’. a. Chứng minh: HEAC. b. Chứng minh: ∆HEF ~ ∆ABC. c. Khi A di chuyển, chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HEF cố định. Bài 80: Cho ∆ ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AH. Gọi I, K tương ứng là tâm các đường tròn nội tiếp ∆ ABH và ∆ ACH . 1) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HIK. 2) Đường thẳng IK cắt AB, AC lần lượt tại M và N. a) Chứng minh tứ giác HCNK nội tiếp được trong một đường tròn. b) Chứng minh AM = AN. c) Chứng minh S’ ≤ S , trong đó S, S’ lần lượt là diện tích ∆ ABC và ∆ AMN.