Tài liệu vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chương 6: Hình học Oxyz - Năm 2018 - Trần Công Diêu

CHƯƠNG 06 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ Chủ đề 1. Tọa độ của điểm và véc tơ trong không gian Véc tơ trong không gian Véc tơ đồng phẳng Tọa độ của véc tơ Tích có hướng của hai véc tơ và ứng dụng Một số kiến thức khác Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề 2. Mặt phẳng trong không gian Định nghĩa Các trường hợp riêng của mặt phẳng Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề 3. Đường thẳng trong không gian Định nghĩa Vị trí tương đối của hai đường thẳng Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Khoảng cách Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết Chủ đề 4. Mặt cầu Định nghĩa mặt cầu Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu (S) Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng Bài tập áp dụng – Lời giải chi tiết CHƯƠNG 06 BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO HÌNH HỌC OXYZ Phương pháp tọa độ trong không gian hay còn gọi ngắn là hình học là chuyên đề cuối cùng trong chương trình toán THPT. Phần này là một phần được đánh giá là không khó, tuy nhiên việc tính toán lại rất dễ sai và ngoài ra số lượng câu hỏi vận dụng cao cũng không phải là ít. Cùng đi ngay vào Chủ đề 1 sau đây: CHỦ ĐỀ 1. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Véc tơ trong không gian Định nghĩa Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng. 2. Vecto đồng phẳng A. Định nghĩa: Ba vecto khác gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Chú ý: vecto khác gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Các giá của các vecto đồng phẳng có thể là các đường thẳng chéo nhau. B. Điều kiện để 3 vecto khác đồng phẳng Định lý 1: đồng phẳng : C. Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng Định lý 2: Cho 3 vecto không đồng phẳng. Bất kì một vecto nào trong không gian cũng có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực duy nhất Chú ý: Cho vecto khác : đồng phẳng nếu có ba số thực không đồng thời bằng 0 sao cho: không đồng phẳng nếu từ Tọa độ của vecto Trong không gian xét hệ trục có trục vuông góc với trục tại O, và trục vuông góc với mặt phẳng tại O. Các vecto đơn vị trên từng trục lần lượt là Cho ta có: và M là trung điểm thì Cho và ta có: (với ) và vuông góc : và cùng phương: 4 . Tích có hướng và ứng dụng Tích có hướng của và là: Tính chất: và cùng phương: đồng phẳng Các ứng dụng tích có hướng Diện tích tam giác: Thể tích tứ diện Thể tích khối hộp : 5 . Một số kiến thức khác Nếu chia đoạn AB theo tỉ số thì ta có: với G là trọng tâm tam giác G là trọng tâm tứ diện BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho 4 điểm là: A . Tứ diện B. Hình chóp đều C. Tứ diện đều D. Hình thang vuông Lời giải là tam giác đều Hay ta có thể tính không đồng phẳng. là hình chóp đều , đỉnh S. Chọn B. Bài 2: Cho bốn điểm Gọi lần lượt là trung điểm của và là: A . Hình chóp B. Hình chóp đều C. Tứ diện đều D. Tam diện vuông Lời giải Tam giác: có Tương tự Các tam giác vuông vuông tại S, có các trung tuyến: Ta có: không đồng phẳng là tứ diện đều. Chọn C. Bài 3: Cho bốn điểm Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp A. B. C. D. Lời giải Ta có Chọn D. Bài 4: Cho 3 vectơ Xác định vec tơ thỏa mãn A. B. C. D. Lời giải và Chọn D. Bài 5: Cho khối tứ diện Nếu Gọi là trung điểm của thì: A. B. C. D. Lời giải Chọn C. Bài 6: Cho khối tứ diện Nếu Gọi G là trọng tâm tam giác thì: A. B. C. D. Lời giải Gọi là trọng tâm tam giác nên: Từ suy ra: Chọn B. Bài 7: Cho hình lập phương Gọi là tâm của hình lập phương, khi đó: A. B. C. D. Lời giải . Chọn C. Bài 8: Cho hình lập phương Gọi là tâm của mặt , khi đó: A. B. C. D. Lời giải là tâm hình lập phương . Chọn A. Bài 9: Cho khối tứ diện Gọi lần lượt là trung điểm của Tìm hệ thức đúng: A. B. C. D. Lời giải Chọn A. Bài 10: Cho hình hộp Tìm hệ thức sai: A. B. C. D. Lời giải là tâm hình hộp Vậy C sai. Chọn C. Bài 11: Cho tứ diện lần lượt là trung điểm Chọn hệ thức sai: A. B. C. D. Lời giải (hệ thức trung điểm). Gọi lần lượt là trung điểm của là hình bình hành: Chọn C. Bài 12: Cho hình hộp Xác định hệ thức sai: A. B. C. D. Lời giải Gọi là các giao điểm của các đường chéo ở 2 mặt đáy cắt các trung tuyến của tam giác và trung tuyến (của tam giác ) tại E và F. là trọng tâm của tam giác . Chọn A, B đúng. C sai D đúng. Chọn D. Bài 13: Cho khối tứ diện là trọng tâm của tứ diện, là trọng tâm tam giác là 1 điểm tùy ý trong không gian. Chọn hệ thức đúng: A. B. C. D. Lời giải Gọi là trọng tâm tam giác hai trung tuyến cắt nhau tại đồng dạng Chọn C. Bài 14: Cho hình hộp Chọn hệ thức sai: A. B. C. D. Lời giải Chỉ có hệ thức D sai. Chọn D. CHỦ ĐỀ 2. MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa Trong không gian phương trình dạng với được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng với có vec tơ pháp tuyến là Mặt phẳng đi qua điểm và nhận vecto làm vecto pháp tuyến dạng Nếu có cặp vecto không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trên Thì vecto pháp tuyến của được xác định . 2 . Các trường hợp riêng của mặt phẳng Trong không gian cho mp với Khi đó: khi và chỉ khi đi qua gốc tọa độ. khi và chỉ khi song song trục khi và chỉ khi song song mặt phẳng Đặt Khi đó : 3 . Vị trí tương đối của hai mặt phẳng Trong không gian cho và cắt // Đặt biệt: 4 . Góc giữa hai mặt phẳng Gọi là góc giữa hai mặt phẳng và BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho tứ giác có Viết phương trình của mặt phẳng qua và chia tứ diện thành hai khối và có tỉ số thể tích bằng 3. A. B. C. D. Lời giải cắt cạnh tại chia đoạn theoo tỷ số Vecto pháp tuyến của Chọn A. Bài 2: Cho tứ giác có Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng song song với mặt phẳng và chia tứ diện thành hai khối và có tỉ số thể tích bằng A. B. C. D. Lời giải Tỷ số thể tích hai khối và : chia cạnh theo tỉ số Vecto pháp tuyến của Chọn B. Bài 3: Từ gốc vẽ vuông góc với mặt phẳng ; gọi lần lượt là các góc tạo bởi vec tơ pháp tuyến của với ba trục Phương trình của là: A. B. C. D. Lời giải Gọi: Chọn A. Bài 4: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng cắt hai trục và tại và tạo với mặt phẳng một góc A. B. C. D. Lời giải Gọi là giao điểm của và trục Vec tơ pháp tuyến của là Vec tơ pháp tuyến của là: Gọi là góc tạo bởi và Vậy có hai mặt phẳng Chọn D. Bài 5: Cho mặt phẳng đi qua hai điểm và hợp với mặt phẳng một góc và cắt tại Tính khoảng cách từ đến A. B. C. D. Lời giải Vẽ với là giao điểm của và trục . Ta có: Chọn D. Bài 6: Cho mặt phẳng đi qua hai điểm và hợp với mặt phẳng một góc và cắt tại Viết phương trình tổng quát mặt phẳng A. B. C. D. Lời giải Vec tơ pháp tuyến của Vec tơ pháp tuyến của Chọn C. Bài 7: Trong không gian tọa độ cho mặt phẳng Tìm tọa độ điểm thuộc mặt phẳng sao cho nhỏ nhất. A. B. C. D. Lời giải Gọi là điểm thỏa mãn Có Vì không đổi nên là hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng . Đường thẳng đi qua và vuông góc với Chọn A. Bài 8: Cho 2 điểm và mặt phẳng Tìm sao cho nhỏ nhất. A. B. C. D. Lời giải Gọi sao cho Suy ra khi bé nhất hay là hình chiếu của trên Tìm được tọa độ . Chọn A. Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ cho mặt phẳng và hai điểm Tìm điểm thuộc mặt phẳng sao cho tam giác vuông cân tại A. B. C. D. Lời giải Gọi Tam giác cân tại khi và chỉ khi : Từ và ta có: Trung điểm là Tam giác cân tại suy ra: Thay và ta được: Chọn A. Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ cho 2 điểm và mặt phẳng Tìm điểm trên sao cho A. B. C. D. Lời giải Nhận thấy Áp dụng định lý côsin trong tam giác ta có: Do đó tam giác vuông tại Ta có: Ta có Với Chọn A.