Tài liệu vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chương 5: Hình học không gian - Năm 2018 - Trần Công Diêu

mặt cầu nội tiếp hình chóp, bán kính Ta có: Dựa vào tính chất của đường phân giác ta có: Chọn B. Bài 6: Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại B và Cạnh bên và vuông góc mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A . B. C. D. Lời giải Gọi M là trung điểm AC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi I là trung điểm 2SC, suy ra nên Do đó IM là trục của , suy ra Hơn nữa , tam giác vuông tại A có I là trung điểm SC nên Từ và ta có hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp . Vậy bán kính Chọn C. Bài 7: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên và vuông góc với đáy Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta được: A . B. C. D. Lời giải Gọi suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Gọi I là trung điểm SC, suy ra Do đó là trục của hình vuông ABCD, suy ra: Tam giác vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên Từ và , ta có: Vậy diện tích mặt cầu (đvdt). Chọn B. Bài 8: Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và Cạnh bên , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: A . B. C. D. Lời giải Gọi M trung điểm AC, suy ra Tam giác có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên tam giác SAC cân tại S. Ta có suy ra tam giác đều. Gọi G trọng tâm tam giác SAC, suy ra Tam giác ABC vuông tại B, có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Lại có nên SM là trục của tam giác ABC. Mà G thuộc SM nên suy ra Từ , suy ra hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Bán kính mặt cầu Chọn B. Bài 9: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng . Gọi là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số bằng: A . B. C. D. Lời giải Gọi O là tâm suy ra và Trong ta có Trong mặt phẳng kẻ trung trực của đoạn SA cắt SO tại I, suy ra: nên nên Do đó nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Gọi M là trung điểm SA, ta có đồng dạng nên Vậy Chọn C. Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp là: A . B. C. D. Lời giải Gọi Ta có: Trong ta có Ta có SO là trục của hình vuông ABCD. Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực của đoạn SB. Gọi Xét có đều. Do đó, cũng là đường trung tuyến của . Suy ra là trọng tâm Bán kính mặt cầu Suy ra Chọn D. Bài 11: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình thang cân , đáy lớn Cạnh bên và vuông góc với đáy. Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp . Tỉ số nhận giá trị nào sau đây? A . B. C. D. Lời giải Ta có hay Gọi là trung điểm Ta có Nên ABCE là hình thoi. Suy ra Do đó tam giác vuông tại C. Ta có: hay Tương tự, ta cũng có hay Ta có nên khối chóp nhận trung điểm I của SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính Suy ra Chọn D. Bài 12: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình chữ nhật với Cạnh bên SA vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Biểu thức liên hệ giữa R và là: A . B. C. D. Lời giải Ta có Trong ta có Ta có Lại có Do đó, hai điểm cùng nhìn đoạn NC dưới một góc vuông nên hình chóp nội tiếp mặt cầu tâm J là trung điểm NC, bán kính: Chọn A. Bài 13: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng Đường thẳng vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng đi qua hai điểm A và M đồng thời song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm S, A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây? A . B. C. D. Lời giải Mặt phẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F nên cân tại A, trung tuyến AM nên Ta có Do đó Từ suy ra . Lại có: Từ suy ra Tương tự ta cũng có Do đó nên 5 điểm cùng thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA, bán kính Chọn C. Bài 14: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng Đường thẳng SA vuông góc đáy Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có giá trị nào sau đây? A . B. C. D. Lời giải Gọi Vì là hình vuông nên Ta có Lại có Suy ra nên tam giác vuông tại H và có O là trung điểm cạnh huyền AC nên suy ra Từ Chọn C. Bài 15: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại B và Cạnh bên SA vuông góc với đáy . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB và SC. Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A . B. C. D. Lời giải Theo giả thiết, ta có Do Từ suy r aba điểm cùng nhìn xuống AC dưới một góc nên hình chóp nội tiếp mặt cầu tâm I là trung điểm AC, bán kính Vậy thể tích khối cầu (đvdt). Chọn A. Bài 16: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông tâm O, Hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm OD. Đường thẳng SD tạo với mặt đáy 1 góc bằng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nhận giá trị nào sau đây? A . B. C. D. Lời giải Ta có Trong tam giác vuông SDH, có và Trong tam giác vuông SHB, có Xét tam giác SBD, ta có Suy ra tam giác SBD vuông tại S. Vậy các đỉnh cùng nhìn xuống BD dưới 1 góc vuông nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là O bán kính Chọn C. Bài 17: Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng bằng Gọi G là trọng tâm tam giác là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng Đẳng thức nào sau đây sai? A . B. C. D. Lời giải Ta có Tam giác đều cạnh nên Trong tam giác vuông SHA, ta có Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với nên bán kính mặt cầu Ta có Gọi M, E lần lượt là trung điểm Suy ra và Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên SE, suy ra Ta có Từ Trong tam giác vuông SHE, ta có Vậy Chọn D. Bài 18: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh Mặt bên là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là? A . B. C. D. Lời giải Gọi Suy ra Gọi M trung điểm AB, do tam giác SAB vuông tại S nên Gọi H là hình chiếu của S trên AB. Từ giả thiết suy ra: . Ta có: Nên OM là trục của tam giác suy ra Từ ta có Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bán kính (đvdt). Chọn A. Bài 19: Cho hình chóp có đáy ABC là một tam giác đều cạnh Cạnh bên và vuông góc với đáy (ABC). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: A . B. C. D. Lời giải Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G là tâm đường tròn ngoại tiếp tamm giác Từ G dựng tia (như hình vẽ). Suy ra là trục của tam giác ABC. TRong mặt phẳng kẻ trung trực của đoạn thẳng SA. Gọi Suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Ta có Trong tam giác vuông ta có Chọn C. Bài 20: Cho tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc và Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là: A . B. C. D. Lời giải Gọi M là trung điểm BC, suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp Kẻ (như hình vẽ). Suy ra là trục của Trong mặt phẳng kẻ trung trực của đoạn thẳng cắt tại I. Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bán kính mặt cầu: Chọn D. Bài 21: Cho hình chóp có đáy ABC là tam giác vuông tại A, Cạnh bên vuông với đáy Gọi I là trung điểm của BC, SI tạo với đáy một góc Gọi S, V lần lượt là diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp . Tỉ số bằng? A . B. C. D. Lời giải Ta có: Tam giác ABC vuông cân tại A, suy ra Trong ta có: Kẻ (như hình vẽ). Suy ra là trục của Trong mặt phẳng kẻ trung trực của đoạn thẳng SA cắt Ix tại J. Khi đó, J chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bán kính: nên Chọn B. Bài 22: Cho hình chóp có đáy ABCD là hình thoi cạnh góc Cạnh bên và vuông góc với đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp nhận giá trị: A . B. C. D. Lời giải Gọi G là trọng tâm tam giác đều ACD. Kẻ suy ra là trục của . Trong mặt phẳng kẻ trung trực của đoạn SA cắt Gx tại I. Khi đó I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp. Ta có Suy ra bán kính: Chọn A. Bài 23: Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại C và Mặt phẳng vuông góc với đáy, Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: A . B. C. D. Lời giải Gọi M trung điểm AB, suy ra và Do đó, là trục của tam giác ABC. Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực của đoạn SB cắt SM tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp , bán kính Ta có: . Trong tam giác vuông ta có Ta có Suy ra Chọn C. Bài 24: Cho hình cầu tâm O, bán kính R. Hình cầu ngoại tiếp một hình trụ tròn xoay có đường cao bằng đường kính đáy và hình cầu lại nội tiếp trong một nón tròn xoay có góc ở đỉnh bằng Tính tỉ số thể tích của hình trụ và hình nón A . B. C. D. Chọn khác Lời giải Bài quy về hình nón tâm O ngoại tiếp hình vuông ABCD và nội tiếp tam giác đều SEF mà Vì OAB là tam giác vuông cân nên: Suy ra Ta thấy, tâm O cũng hình tròn cũng chính là tâm của hình vuông ABCD đồng thời cũng là trọng tâm của tam giác đều SEF. Như vậy, đường cao của tam giác SEF là Trong tam giác EOH (vuông tại H, ). Ta có: Thể tích của hình nón: Vậy Chọn A. Bài 25: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại góc bằng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện bằng: A . B. C. D. Lời giải Ta có Trong tam giác ABC, ta có Trong ta có . Gọi N là trung điểm AC, suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi I là trung điểm suy ra Do đó là trục của , suy ra Hơn nữa, tam giác vuông tại A có I là trung điểm nên Từ , ta có hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp với bán kính Chọn B. Bài 26: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh Mặt phẳng tạo với mặt đáy góc và điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bằng: A . B. C. D. Lời giải \ Gọi M là trung điểm ta có: Trong có Gọi G’là trọng tam tam giác đều suy ra cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp vì lăng trụ đứng nên . Do đó là trục của tam giác Trong mặt phẳng kẻ trung trực của đoạn thẳng cắt tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp , bán kính Ta có Chọn D.