Tài liệu vận dụng cao Toán Lớp 12 - Chương 3: Nguyên hàm tích phân - Năm 2018 - Trần Công Diêu

m của phương trình . Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thi của hàm số được cho bởi công thức (2) Cũng với giải thiết như (1), nhưng: A. (1) đúng nhưng (2) sai. B. (2) đúng nhưng (1) sai. C. Cả (1) và (2) đều đúng. D. Cả (1) và (2) đều sai. Giải: Chú ý rằng với mọi và và đều liên tục trên khoảng , nên giữ nguyên dấu. Nếu thì ta có: Nếu thì ta có: Vậy trong mọi trường hợp ta đều có: Tương tự như thế đối với 2 tích phân còn lại. vì vậy, hai công thức (1) và (2) là như nhau: Chọn C. Bài 7: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường , trục hoành và đường thẳng là: A. 5. B. 3. C. 4. D. 6. Giải: Vẽ đồ thị ba đường và tìm các giao điểm: Từ đó Chọn C. Bài 8: Gọi M là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Diện tích hình M là: A. 5. B. 10. C. 6. D. 12. Giải: Ta có: trên đoạn [0;1] Vậy . Chọn A. Bài 9: Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành các đường . Diện tích hình H là: A. . B. . C. . D. . Giải: Ta có: Chọn A. Bài 10: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường là: A. . B. . C. . D. . Giải: Ta có: là hoành độ giao điểm của hai đường cong. Diện tích cần tìm là: . Chọn C. Bài 11: Ở hình bên dưới, ta có parabol và các tiếp tuyến của nó tại các điểm và . Khi đó, diện tích phần gạch chéo là: A. 1,6. B. 1,35. C. 2,25. D. 2,5. Hình: Giải: Ta có: Phương trình tiếp tuyến tại điểm là: Phương trình tiếp tuyến tại điểm là: Gia điểm của hai tiếp tuyến trên có hoành độ thỏa mãn phương trình: Diện tích phải tìm là: Chọn C. Bài 12: Gọi K là hình tạo bởi đồ thị hàm số trên đoạn [-1;2] và trục hoành. Khi đó diện tích của K bằng: A. (đvdt). B. (đvdt). C. (đvdt). D. (đvdt). Giải: Phương trình hoành độ giao điểm . Đồ thị gồm hai phần, phần nằm trên trục hoành ứng với x thuộc đoạn [-1;0] và phần nằm dưới trục hoành ứng với x thuộc đoạn [0;2]. Do đó: đvdt Chọn D. Bài 13: Gọi M là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Diện tích hình N là A. 5,1. B. 4,5. C. 6,25. D. 4,75. Giải: Chọn B. Bài 14: : Gọi M là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số trên đoạn và trục hoành. Diện tích hình M là A. 6. B. 4. C. 8. D. 10. Hình: Giải: Chọn B. Bài 15: Xét hai phát biểu: (1) Cho hai hàm và có đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B. Giả sử a, b tương ứng là hoành độ các giao điểm A, B (với a<b). Khi đó diện tích hình phẳng nằm giwuax hai đồ thị ấy bằng . (2) Giả sử là diện tích thiết diện của vaath thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x. Khi đó, thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại các điểm a và b là . Trong hai phát biểu trên. A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng. C. Cả hai phát biểu đều đúng. D. Cả hai phát biểu đều sai. Giải: Cả hai đều sai vì giả thiết. Bài (1), phải giả thiết thêm: với mọi . Bài (2), phải giả thiết thêm: là một hàm liên tục trên đoạn [a;b]. Chọn D. Bài 16: Gọi K là hình giới hạn bởi parabol và đường thẳng . Khi đó, K có diện tích bằng: A. 4,5 (đvdt). B. 4,11 (đvdt). C. 3,5 (đvdt). D. 4,55 (đvdt). Giải: Trước hết ta tìm hoành độ các giao điểm bằng cách giải phương trình . Suy ra và , trên đoạn [-1;2] đồ thị hàm số nằm trên đồ thị hàm số . Từ đó diện tích cần tìm là: Chọn A. Bài 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và là: A. 6,5 (đvdt). B. 3,5 (đvdt). C. 4,5 (đvdt). D. 5,5 (đvdt). Giải: Tương tự bài 16. Chọn C. Bài 18: Gọi P là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Diện tích hình P là: A. B. C. D. Giải: Tương tự bài 16. Chọn C. Bài 19: Gọi P là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Diện tích hình P là: A. 3,45. B. 2,5. C. 4. D. 4,25. Giải: Đặt . Diện tích phải tìm là: Chọn D. Bài 20: Gọi Q là hình phẳng giới hạn bởi đường và trục hoành. Diện tích hình Q là: A. B. C. D. Giải: Tương tự bài 16. Chọn D. Bài 21: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng là: A. B. C. D. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm . Diện tích cần tính là: . Chọn C. Bài 22: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị đó với trục Ox. Diện tích của hình tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường thẳng d được xác định bởi tích phân: A. . B. . C. . D. Giải: Tọa độ giao điểm của đồ thị y=lnx với trục Ox là nghiệm của hệ phương trình: Ta có: . Vậy phương trình của tiếp tuyến d là: . Diện tích phải tìm : . Chọn D. Bài 23: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường . Ta được kết quả: A. 6. B. 2. C. 3. D. 12. Giải: Trên đoạn , phương trình cosx=0 có các nghiệm. Vậy: . Chọn C. Bài 24: Gọi H là hình phẳng nằm giữa hai đồ thị các hàm số và . Khi đó H có diện tích bằng: A. 8. B. 12. C. 32. D. 40. Giải: Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là và . Ta có: . Chọn A. Bài 25: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol và là: A. B. C. 1,5. D. 1,25. Giải: Tương tự bài 24. Chọn A. Bài 26: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đường cong . Ta được kết quả: A. 9. B. 10,2. C. 31. D. 1,5. Giải: Ta có: . Chọn D. Bài 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và đường cong là: A. B. C. 144,5. D. 25,5. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: . Chọn B. Bài 28: Trong mặt phẳng Oxy, diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường được tính bằng tích phân: A. . B. C. . D. Giải: Phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm là Diện tích cần tìm là: Chọn C. Bài 29: Một miền được giới hạn bởi parabol và đường thẳng . Diện tích của miền đó là: A. 3. B. 4,5. C. 3,5. D. 4. Giải: Ta tìm giao điểm của hai đường đã cho bằng cách giải phương trình hoành độ giao điểm: Trên đoạn [-2;1] ta có: do đó: Chọn B. Bài 30: Gọi Q là hình phẳng nằm giữa hai đường và . Diện tích hình Q là: A. 8. B. 12. C. 14. D. 20. Giải: Ta có: . Diện tích phải tìm là: Chọn A. Bài 31: Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi parabol , tiếp tuyến tại đỉnh của parabol này và trục tung. Diện tích hình H là: A. 8. B. 8,5. C. 9. D. 9,5. Giải: Hàm số có hệ số a<0 nên parabol úp xuống. Hoành độ đỉnh của parabol là: . Phương trình tiếp tuyến của parabol tại đỉnh là Do đó diện tích cần tìm là (có thể sử dụng MTCT) Chọn C. Bìa 32: Ở hình bên ta có parabol , tiếp tuyến với nó tại điểm . Diện tích phần gạch chéo là: A. 9. B. 10. C. 12. D. 15. Hình: Giải: Đặt: . Ta có: . Tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm M(3;5) có phương trình Đặt: Đường thẳng phải tìm là: Chọn A. Bài 33: Gọi K là hình phẳng giới hạn bởi đường cong và tiếp tuyến với đường cong này tại điểm có hoành độ . Diện tích hình K là: A. . B. C. D. Giải: Tiếp tuyến của đường cong tại điểm có phương trình: Tiếp tuyến này cắt đường cong tại điểm có hoành độ x =1. Vậy diện tích hình phẳng K là: . Chọn D. Bài 34: Tính diện tích của hình gới hạn bởi đường cong có phương trình và đường thẳng . Kết quả là: A. 1,5. B. 2,5. C. 3. D. 4. Giải: Ta có: . Ta tìm giao điểm của và với : Giải phương trình và . Suy ra: Từ đó ta có: Chọn B. Bài 35: Diện tích của miền được giới hạn bởi hai đường cong và trên đoạn là: A. 0,3. B. 0,4. C. 0,5. D. 0,6. Giải: Đầu tiên giải phương trình trên Ta có: Suy ra diện tích cần tìm bằng : Chọn C. Bài 36: Diện tích của phần hình elip như hình vẽ là: A. B. . C. D. . Giải: Phương trình elip là: . Diện tích cần tìm là: là diện tích của một phần tư elip) ứng với nên được giwois hạn bởi đồ thị hàm số , đường thẳng x =0 và trục Ox. Do đó: Ta có: suy ra Chọn B. Bài 37: Hình phẳng gới hạn bởi các đường , quay xung quanh trục Ox tạo thành một vật thể tròn xoay T. Thể tích của T là: A. . B. . C. D. . Giải: Theo công thức sách giáo khoa thì chọn C đúng. Chọn C. Bài 38: Gọi G là hình phẳng giới hạn bởi đường cong và các tiếp tuyến với đường cong xuất phát từ điểm . Diện tích hình G là: A. B. C. D. Giải: Phương trình đường thẳng đi qua điểm là: . Đường thẳng này tiếp xúc với parabol khi và chỉ khi hoặc . Với . Tiếp điểm có hoành độ ; với , tiếp điểm có hoành độ . Phương trình tiếp tuyến tại là . Phương trình tiếp tuyến tại là: . Vậy diện tích hình phẳng là: Chọn A. Bài 39: Gọi Q là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đường parabol . Cho Q quay quanh trục Ox, ta nhận được hình tròn xoay có thể tích bằng: A. B. C. D. Giải: Ta có: . Vậy thể tích phải tìm là: Chọn A. Bài 40: Cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đường . Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình này quay xung quanh trục Ox là: A. B. C. D. Giải: Ta có: . Chọn B. Bài 41: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình và . Ta được kết quả: A. B. C. D. . Giải: Ta có: Đặt Chọn A. Bài 42: Gọi H là phần mặt phẳng hữu hạn được giới hạn bởi hai trục tọa độ, đường thẳng và đường cong có phương trình . Thể tích khối tròn xoay do H sinh ra khi quay quanh trục Ox là: A. . B. C. D. Giải: (sử dụng MTCT) Chọn B. Bài 43: Gọi M là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Thể tích hình tròn xoay khi M quay quanh trục Ox là: A. B. C. D. Giải: Tương tự bài 42. Chọn B. Bài 44: Khi quay hình phẳng tạo bởi đồ thị hàm số và các đường thẳng xung quanh trục hoành, ta được khối tròn xoay có thể tích là: A. B. C. D. Giải: Ta có: Chọn C. Bài 45: Diện tích của hình phẳng giwois hạn bởi đường thẳng và parabol là: A. 4,5. B. 5,6. C. 5,4. D. 5,2. Giải: Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng là: Chọn A. Bài 46: Gọi D là miền được giới hạn bởi các đường và D nằm ngoài parabol . Khi cho D quay xung quanh trục Ox, ta nhận được vaath thể tròn xoay có thể tích là: A. B. C. D. Giải: Gọi lần lượt là thể tích tam giác cong và tam giác HBC tạo nên khi xoay quanh trục Ox, phần diện tích được biểu diễn qua đồ thị sau: Vậy Chọn B. Bài 47: Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung, đường thẳng x=1 và đường cong . Cho H quay quanh trục Ox ta nhận được hình tròn xoay có thể tích bằng: A. B. C. D. Giải: Chọn C. Bài 48: Cho hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung,và các đường . Thể tích của vật thể tròn xoay khi cho hình này quay quanh trục Ox là: A. . B. . C. . D. . Giải: Chọn D.